一道“希望杯”赛题的解决及应用

厦门大学附属实验中学 (363123) 林秋林

赛题过正方体ABCD-A1B1C1D1外一点，与直线AC1和BC的夹角都是80°的直线的条数是( )．

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(第26届“希望杯”高二2试)

本题旨在考查学生的空间想象能力、识图能力、化归能力，为了求解这道赛题，我们先证明一个引理：

图1 图2

由上述引理，可以得到下面的一个推论：

推论已知两条异面直线a,b所成的角为θ，过空间中任意一点O作与直线a,b所成角均为φ的直线l，则有：

且只有1条．

图3

证明：只证(Ⅰ)中②⑤，其余类似可得．如图3，由异面直线所成角的定义，可过O作直线AB∥a，直线CD∥b，则直线AB,CD确定一个平面α且其所成的角为θ，不妨设∠AOC=θ．

图4