浅谈立体几何解题教学的三种意识

浙江省绍兴鲁迅中学 (312000) 陈少春 虞关寿

立体几何作为培养学生空间想象能力的重要载体，在高考中一直有着非常重要的份量.另一方面学生从初中到高中，从平面几何进入立体几何，突然间就感觉到不适应.很多学生习惯于用平面几何的眼光学习立体几何，看不懂直观图，更不会根据题意画出对应直观图.缺乏空间想象能力是学习立体几何的最大障碍.笔者经过几年的教学探究，觉得在立体几何解题教学中有三种意识要渗透到位，也许对突破立体几何障碍有些许帮助.

一、模型化意识

高中立体几何课本中的线面、面面位置关系都是通过长方体这个大家非常熟悉的几何体呈现的，也就是说长方体这个简单完美的几何体贯穿了高中立体几何教学的始终，可以毫不夸张地说长方体是我们解决立体问题的“百宝箱”，因此在平时的概念教学中要利用好它来培养学生的空间感，同时在解题教学中也要重视它.

图1

图2

图3

例3 (2013年“学数学”邀请赛)用四块腰长为a，上下底边长分别为a，2a的等腰梯形硬纸片，和两块长和宽分别为2a和a的矩形硬纸片，可以围成一个六面体，则该六面体的体积为___________.

图4

例4 (2015年浙江高考)如图4，在A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M，N分别为AD,BC的中点，则异面直线AN与CM所成角的余弦值___________.

图5

例5 已知A,B分别为直二面角α-l-β两个半平面上的点，AB与这两个半平面所成的角均为30°，则异面直线AB与l所成的角是___________.

图6

二、降维意识

对空间图形问题的研究经常都是借助或转化为平面问题来解决的，我们教材中对三个空间角的定义与研究利用了这种转化，教材中的各种位置关系的性质定理，也体现了这种转化，平时的教学中要重视降维意识的渗透.因为这种转化是解决空间图形中许多问题的一种重要的思想方法，各省的竞赛与高考中也频频考查，因此空间问题平面化的这种降维意识在我们的解题教学中要多加引导.

图7

图8

例7 (2016年温州模拟17)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1和面对角线B1C上分别有两动点E,F，G为底面ABCD上动点，求线段EF+EG的最小值___________.

图9

解：如图9，连结BC1交B1C于点P，连结BD，作EM⊥BC1于点M，EQ⊥BD于点Q.因为面ABCD⊥面BB1D1D，面ABCD∩面BB1D1D=BD，所以EQ⊥面ABCD，从而EG≥EQ；又由于B1C⊥面ABC1D1，EP⊂面ABC1D1，故B1C⊥EP，则线段EP为点E到面对角线B1C的距离，从而EF≥EP，EF+EG≥EP+EQ.又EM=EQ，则EF+EG≥EP+EM.

而EP、EM在平面BC1D1内，作面对角线B1C关

图10

例8 (2016年浙江高考理14)如图11，在ΔABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是___________.

图11

解：由AB=BC=2,∠ABC=120°，可得AC=

三、升维意识

图12

“空间问题平面化”是立体几何里非常重要的思想方法，但是我们不能思维僵化，机械操作，有时候问题也需适度“复杂化”，线面问题转化为面面问题，线线问题转化为空间问题，棱锥“改造”成棱柱等.而我们教材中的线面平行和面面平行的判定定理中就隐藏着这种升维思想，我们的高考模拟卷里这种问题也不少，我们要多加关注.

解：过点D作DO⊥AC，垂足为O，则动点D′轨迹是以O为圆心，DO为半径的圆.故问题可转化为求圆锥上动点D′与定点B构成的动直线BD′与圆锥的轴AO所成角余弦的最大值.

图13

图14

例10 (2017年名校协作体)如图14，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，在面对角线A1D上取点M，在面对角线CD1上取点N，使得MN∥平面AA1C1C，当线段MN长度取到最小值时，三棱锥A1-MND1的体积为 ___________.

解：作MM′⊥AD，NN′⊥DC,连结M′N′.因为MN∥平面AA1C1C,NN′∥平面AA1C1C，所以平面MM′N′N∥平面AA1C1C，平面MM′N′N∩平面

ABCD=M′N′,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,

图15

图16

解：求点A1到平面的距离本质上是要求直线AA1与平面α的线面角θ的正弦值，又因为AA1⊥面ABCD，故问题可转化为求平面ABCD与平面α的二面角的余弦值.