地转偏向力的物理实验及旋转流体定量分析

王坚红, 宋 欣, 刘 刚, 朱自强

(南京信息工程大学 a.海洋科学学院; b.气象灾害预报预警与评估协同创新中心, 南京 210044)

0 引 言

对于涉及地球科学的学科而言，地转偏向力是一个重要概念。 这是一个地球旋转时才表现出的力，它影响着地球上的大气、海洋、河流以及地球外型的状态特征[1]; 更影响着气体和流体的运动规律,也影响着环绕地球运动的物体,如卫星、飞行器、导弹等[2]。 地转偏向力不同于常见的实际力,如推力、拉力、压力，它是一个虚拟力又称惯性力[3-4]。它的确认是通过地球上运动物体在实际力作用下运动形态与实际力的匹配有偏差,尤其是方向的差异与变化，从而认识存在一个伴随地球旋转运动的惯性离心力[5]，其作用效果是可见的并遵循一定规律。

地转偏向力是地球旋转产生的力，其效果是大范围非局地现象。 由于人们个体相对于地球十分渺小，以单独视野日常体会去观察和理解地转偏向力有一定难度，因此形成地转偏向力概念成为教学难点。 为介绍地转偏向力的概念，已有各种形式的地转偏向力描述，有文字与图示[6-7]，也有动画或短视频，但是多为框架图像或定性图像的动态演示。如果定量、实验性地展示地转偏向力，将提供直观体验，和数字比较,有望产生更佳效果。 尤其是地转偏向力的效果主要是当旋转与直行两种运动合成时才显现出的特定现象，实验室的实验具有模拟分项运动与将运动合成的能力，对地转偏向力原理与机制的展示将具有高于自然环境的优势。

本文通过流体旋转平台物理实验及其结果分析，介绍地转偏向力在简化的大气海洋理想环境下的作用效果，介绍不同旋转运动及其运动坐标系，为丰富现代地球物理实验内容，有效改善理论教学效果，提供有意义的参考。

1 实验设备

1.1 流体旋转平台

进行地转偏向力效果实验的设备为流体旋转平台，其基本结构如图1所示。

(a) 旋转平台外观(b) 平台控制界面

图1 旋转流体实验平台

流体旋转平台由3个主要部分组成，①电动机控制的机械旋转转台，可以做顺时针和逆时针两种旋转; ②钢化玻璃水槽，有不同直径的圆形水槽和不同尺寸的方形水槽; ③上部直行电动机机械钢架，电动机控制可以进行沿转台半径往复的两种方向直行。该旋转平台可以分别进行旋转运动与直行运动，也可以做旋转与直行的叠加运动，即模拟地转偏向力的运动。图1(b)显示了转台运动的控制与调试界面，旋转平台的控制有转速与旋转方向两个可调节参数，而后续的参数则确定直行电动机的运行方向与快慢。

1.2 旋转平台坐标系

采用摄像机进行转台运动的记录，便于实验中的连续图像记录和实验后的回放以及图片的选择及定量记录。摄像机的安置以及对转台运动的观察角度确定了不同的运动坐标系。一台摄像机安放在水槽上方，随转台一起同步转动，可以从上方记录转台水槽中染色水体旋转形态，如图2所示。

图2 旋转平台方形水槽旋转流体环形形态

图2显示当仅有旋转运动时,流体形成嵌套的环状流动。这样的流体运动记录坐标系相当于地球中心坐标系。坐标中心是地球轴，地球大气绕着地球轴旋转，在中高纬度形成西风带[8]。接近地轴的是极区，远离地轴的是低纬度。 因此旋转平台实验显示的环形流动,就类似于理想化的大气极地涡旋,因为此时没有直行运动叠加， 涡旋呈正圆形。坐标系反映的水平区域相当于气象上的极坐标图。

另一个坐标系是将摄像机放置在转台平面上，流体水槽的一侧，如图3 所示。这是一个小型无线摄像机，避免了在随转台坐旋转运动时，由电源线引起的影响与干扰。这台摄像机可以记录旋转流体在水槽中侧面的运动形态。摄像机确定的坐标系与旋转水槽平行，坐标系反映的垂直区域相当于气象上的柱坐标图。

第3个坐标系由固定在水槽槽壁边缘的防水摄像机确定，如图4所示，记录旋转流体垂直方向上的状态。这也是一个小型无线摄像机，可以记录水槽中染色流体的运动轨迹。摄像存储在可移动存储器,实验后可从摄像机中取出。

图3 位于旋转平台上的摄像机

该摄像机不仅随水槽旋转，并且摄像范围接近水面，拍摄图像清楚，能较好地记录直行与旋转两种运动

(a) 无线摄像机(b) 配套遥控器

图4 固定在水槽壁边缘的摄像机

的合成效果。而第1个摄像机距离水槽水面较远，摄像范围较小，对水槽边缘部分拍摄不到，因此对两种运动合成的地转偏向力效果的记录，有一定局限性。 位于水槽边壁的摄像机较好地跟拍了旋转流体基本特征，摄像机确定的坐标系类似于气象上的局地坐标系，可以跟踪旋转流体系统的运动。

2 实验方案设计与实验参数

2.1 实验方案

依据实验条件与地转偏向力对环境的响应，确定了几种系列实验: ① 旋转平台的旋转速度，设计3种不同转速；② 实验水槽的水深变化，提供2种均匀水深，以及3种非均匀水深；③ 地转偏向力效果，包括不同水深,不同转速,以及双向直行的配置；④ 摄像观察的角度、正上方、侧面和表面等。

进一步地,为能够定量描述流体运动的轨迹与进行物理量计算,实验前在转台的水槽底部铺设了两维直角坐标网格，网格精度为10 cm×10 cm(见图5)，这样可以定量地确认 和记录水槽内流体的运动特征。

图5 旋转平台水槽配套两维坐标底图

表1列出了实验设计参数分类。

表1 旋转平台实验设计方案

2.2 转台与横杆速度

实际转速公式为：

v实际=电动机极对数×60×输入频率值×齿轮数

实际转速并非控制平台界面上输入的转速v0，横杆移动的速度也只给出了步进电动机的频率和脉冲，因此对横杆速度和转台速度需要进行测算和标定,从而获得旋转平台物理速度与单位，见表2、3。

表2 转台速度的测算与标定

表3 直行横杆速度的测算

2.3 流体示踪

流体实验中的示踪剂通常使用墨迹或细线。使用彩色细线的实验显示细线长度有限，流动显示区域小,并且流态表现不够清晰。使用墨水示踪，虽然墨水在流体中会扩散，但在实验的几min内扩散效果对流体形态的表现影响不大，尤其使用单点墨迹显示，对质点运动轨迹表现较为清楚，示踪效果满足实验要求。特别地通过液体黏度实验[9]确定了通常墨水的黏度大于清水的黏度，因此可以在有效时间内保持墨水痕迹，显示水体的运动形态。 同时墨水的黏度随温度的升高逐渐减小，并随温度的升高其黏度与水体的黏度差也逐步减小，即环境温度和水温越高，墨水扩散加快，所以根据实验结果，水温在10～15 ℃的条件下,墨水示踪效果较理想。

实验还发现，采用方形水槽进行实验，当转台旋转时，在水槽边缘尤其是4个直角区域内会产生较明显的湍流，促使墨迹快速扩散，并影响到水槽内部流动形态的变形。因此选用圆形水槽，水槽中流体运动与圆形边壁相符合，墨迹旋转运动过程中边壁处湍流不明显，墨水运动轨迹较清晰。因此采用圆形水槽进行实验。

3 实验结果分析

3.1 地转偏向力效应

地转偏向力效应是旋转平台的旋转运动与沿着平台上安置的经圆台直径的直杆往复运动两者的叠加效果。墨迹显示的是两种运动的综合流态。

(1) 不同转速效果。将水槽水深设置为5 cm，当转台转速为20 r/min,并叠加直线运动时，流体运行效果墨迹显示如图6所示。

(a) 流形轨迹(b) 轨迹走向标注

图6 旋转运动与直行运动叠加的地转偏向力效果演示

图6显示的实验运动过程为直行电动机携带墨迹从转台边缘向中心运动,到中心后再返回边缘。这样的运动在实验参数确定的环境中其轨迹为圆弧形态. 并有2个嵌套圆环。整个轨迹由三部分组成: ① 墨迹从转台水槽边缘向水槽中心运动，在直行与旋转两个运动分矢量的叠加下,墨迹以圆弧形轨迹向水槽中心趋近。这与低纬度天气系统如台风等从低纬地区向中纬度移动时常常具有弧形路径类似。② 墨迹到达转台中心区，由于此时机械电动机须将向中心的直行路径转成反方向,即从中心移向边缘，在此阶段,墨迹在中心区的直行停滞,而平台的旋转持续，因此墨迹轨迹在中心区形成一个绕中心的墨迹圆。③ 墨迹从转台中心区向水槽边缘运动，在直行与旋转两个运动分矢量的叠加下,墨迹以圆弧形轨迹向水槽边缘移动。这与高纬度天气系统如气旋、锋面等从高纬地区向中纬度移动时常常具有弧形路径类似。因此这项实验显示了地球上的天气系统在不同纬度带之间的移动是弧形路径。

进一步地测试不同转台转速10、15 r/min,与20 r/min实验对比，获得旋转流体流形如图7所示。图7显示，当转台转速较小为10 r/min时(见图7(a))，涡旋直径较大为15 cm，墨水扩散较快，计算出的涡旋移速也较慢(为涡旋中心移动速度)，仅为3.4 mm/s；而转台转速20 r/min时(见图6(a))，涡旋直径较小为12 cm，涡旋移速增大为5.8 mm/s。而图7(b)速度15 r/min，介于20和10 r/min之间，涡旋直径为14 cm，涡旋移速也介于两者之间为5.0 mm/s。同时图7还显示速度慢,涡旋容易扩展变形。

(a) 10 r/min(b) 15 r/min

图7 不同转速的地转偏向力效果演示

图8的侧面图像显示旋转中,流体表现为层状,速度增大对应分层层厚减薄，因此速度与分层层厚成反比。

(a) 10 r/min(b) 20 r/min

图8 旋转流体不同转速的侧向特征

(2) 不同水深效果。图9为固定转台转速为15 r/min时，取不同水深的实验结果。当水深增加后，涡旋发生形变，涡旋的移动速度由5.0 mm/s增加到5.8 mm/s，并且涡旋的直径由14 cm增加为28 cm。实验显示涡旋在深水中更容易扩展。

(a) 水深5 cm(b) 水深8 cm

图9 转速15 r/min下不同水深的实验

当转台转速增加，固定为20 r/min时，改变水深，效果如图10所示，当水深由5 cm增加到8 cm时，涡旋直径由12 cm增加为16 cm，涡旋变形不显著。但是涡旋移动速度由5.8 mm/s减小为5.1 mm/s。显然，大转速维持了涡旋形态，而水深则干扰涡旋的维持。

(a) 水深5 cm(b) 水深8 cm

图10 转速20 r/min下不同水深的实验

(3) 非均匀水位效应。对非一致水深的环境进行简化模拟。 在水槽下方的一侧垫一块木板，将水槽一侧抬高，模拟出水深在空间的深度变化 如图11所示。

① 非均匀水深不同转速。实验设置两组测试，两组测试中水槽非均匀水深均为一侧6.1 cm，另一侧3.8 cm，结果如图12所示，图中圆形水槽外有坐标纸的一侧(图右上角)为垫高的一侧，也是水位浅的一侧。

图11 非均匀水深实验环境概况

(a) 10 r/min(b) 15 r/min

图12 非均匀水深的两种转速对比

与图11相比，当水位不等时，两种转速下， 涡旋均发生形变，且涡旋中心偏离转台中心，涡旋整体偏向深水一侧。此时涡旋的移动速度相对于图11的均匀水深5 cm的5.8 mm/s有所减慢，分别为5.04 mm/s和5.06 mm/s，且涡旋尺度均有增加。速度大则对应涡旋尺度更大。将实验结果综合列表见表4。结果显示，在非均匀水深条件下,转速影响涡旋尺度与移速。即地转偏向力的作用更显著,其影响增强。

表4 不同转速下确定的非均匀水深与均匀水深涡旋特征对比

② 确定转速下不同的非均匀水深。取转台转速为15 r/min，对比不同的非均匀水深实验，如图13所示，当非均匀水深逐渐减小时，涡旋尺度形变更为显著，且涡旋尺度增加，而涡旋中心移速变化不明显。实验显示，非均匀水位的浅水易造成墨迹轨迹变形,及尺度伸展。偏向力作用更明显。

(a) 6.1～3.8 cm(b) 5.0～2.8 cm

(c) 4.1～2.0 cm

3.2 墨水轨迹的涡度特征

涡度可以描述流体的旋转强弱程度。由于地转偏向力的效应，实验中墨水的轨迹表现出流体涡旋形式。通过计算轨迹的涡度可以定量认识墨迹形成的轨迹在偏向力作用下的旋转强度。选取水深为5 cm，转台转速为20 r/min的地转偏向力实验进行墨水轨迹的涡度计算，定量认识在确定参数的转台旋转过程中，由墨迹显示的流体旋转特征的演变,也定量反映了地转偏向力强弱的空间分布特征。

(1) 涡度及计算。涡度是一个三维矢量，其定义是速度场的旋度。在气象学应用中，一般只考虑涡度的垂直分量，即围绕垂直轴旋转的涡度分量，其垂直涡度等于相应角速度的2倍，流体的角速度并不是整体一致的，平均涡度是平均角速度的2倍。对于旋转水槽中墨迹显示的流体流动是相对于旋转中心的旋转与沿圆半径直行的运动叠加，其旋转中心为转台中心，这个流体实验中也仅考虑涡度的垂直分量，因此,墨迹线的角速度为[10]

ω=v/R

(1)

式中：v为轨迹上某点的线速度；R为轨迹上该点的圆半径,即该点距离转台中心的距离。对应的垂直涡度,即水面上轨迹流形的涡度为

ζ=2ω

(2)

涡度单位为s-1，因此墨迹流形的涡度计算需要首先获得沿墨水轨迹各点的R和v。

(2) 墨水轨迹的数值提取。墨迹上线速度利用某点示踪墨水的位置时间变化来计算[11]:

v=Δs/Δt

(3)

式中：Δt为时间间隔，可取单位时间，如1 min; Δs为时间间隔两端的两个时刻同一墨点移动的距离。

由于移动的墨点在图像中易于辨识，所以对实验中录制的视频进行墨迹时间与位置分析。具体的操作方法为，对视频作每24帧截取。通常1 min有24帧图像，并且图像上也有时间记录，易于计算出单位时间。将截取的各时刻照片保存到文件夹中，这样获得单位时间间隔的图像。然后通过确认相邻两张照片的墨水位置的变化来计算墨点的瞬时速度v，进而计算出对应的涡度，计算通过Matlab编程进行。墨点的位置通过转台水槽配置的坐标图获取,坐标系如图5所示。坐标轴的方向如图中黄色箭矢及坐标数据的符号所示。

(3) 墨点位置确定。由于摄像机拍摄的实验照片相对于实际实验环境有变形[12]，近摄像机镜头的部位偏大，远离部位则偏小，因此在读取墨点位置时不能直接依据坐标系读数，需通过网格标定的方法对实验所拍摄的图像进行轨迹读数。具体做法为分别量出实际环境中各网格点之间的距离、纵横坐标轴长度等，并用此实际距离与拍摄图像中的坐标轴长度和网格点间距计算比值，获得纵横坐标轴以及各网格的对应比值系数，就是通过比值对图像中的数值进行标定，再通过比值系数读出图像中的墨迹质点的数值坐标。 以此标定方法可以消除由于摄像机拍摄照片的变形所造成的质点位置偏差，可以更加准确地记录旋转流体质点的位置，能更准确地刻画出流体真实轨迹特征。

(4) 墨点轨迹涡度特征。读取墨迹点的坐标值后，根据前述流体涡度计算式(1)～(3)，可以得到流体轨迹在运动各阶段的对应涡度。对几种实验环境下的墨迹进行涡度计算。

① 转速20 r/min墨迹涡度。对水深5 cm,转速20 r/min的地转偏向力实验进行涡度计算,结果列于表5。

表5 实验1中墨迹移动过程涡度分析

实验过程中，前16 s无直行运动叠加，为旋转运动使墨迹沿水槽边缘旋转成圆，沿半径向中心的直行从第17 s开始。17 s后，随着向中心的直行运动，旋转半径减小,偏向力的作用增强，形成的涡度逐渐加强。到27～41 s期间直行运动停止，此时墨迹随着转台旋转，墨迹涡旋闭合形成，涡度增加到最大,墨迹的软迹半径为10.7 cm。42 s时，直行开始向反方向运动，即自中心向转台水槽边缘运动，此阶段旋转半径逐步增大，墨迹弧度减小，涡度减小。过程中涡度最大为0.9 s-1与最小0.2 s-1变化幅度在0.7 s-1

② 转速10 r/min墨迹涡度。为了定量认识旋转速度的作用，对于实验1相同条件，取转台不同旋转速度10 r/min，计算墨迹的涡度，涡度列于表6。

实验2中视频录制的第10 s时，转台开始旋转；24 s时，沿半径向中心的直行开始，在偏向力的作用下，墨迹的弧度加大即轨迹涡度逐渐增加；34 s时直行停止，此时墨迹随着转台旋转，形成闭合涡旋，涡旋半径尺度为12 cm，在中心区加速旋转，其涡度持续增加。52 s时，直行开始相反方向运动,即从转台中心向边缘运动，墨迹弧度减弱，涡度减小。

表6 实验2中墨迹移动过程涡度分析

对比表5、6，相同的水深，在转台中心区，单纯旋转作用下，转速小(实验2,表6)，相应的涡度也小，0.827 s-1<0.906 s-1(实验1,表5)，涡旋的闭合性与圆环形也弱一些,涡旋半径12 cm>10.7 cm(实验1)。这与海洋涡旋在深水强度大,在浅水强度相对减弱的实际情况相符。在直行与旋转叠加过程中，墨迹点的涡度变化幅度在0.6 s-1，其轨迹弧度也弱于实验1中的轨迹弧度。

③ 非均匀水深环境墨迹涡度。考虑非均匀水深的实验3，实验中转台转速为15 r/min，水深为4.1～2 cm。

此实验过程中，总体趋势与前两个实验类似，直行从第18 s开始，随着运动向中心趋近，墨迹轨迹的弧度增加，表现为定量涡度值逐渐增加。到27 s时直行停止，此时墨迹单纯随着转台旋转，可是由于非均匀水深，涡度增加不多,最大涡度为0.618 s-1,明显小于前面实验中的0.9 s-1和0.8 s-1。在中心区涡旋尺度因向深水一侧扩展，尺度较大,半径为12.4 cm，较前两个实验的10.7 cm和12.0 cm要大。37 s时，直行开始反转方向向边缘运动，墨迹弧度减弱，轨迹涡度减小。墨迹涡旋向深水一侧扩散，与大气涡旋跨纬度带的运动特征类似，包围地球的大气厚度在热带低纬地区较厚，极地地区较薄。这与赤道热极地冷有关,但近似实验中的水位一侧深,一侧浅类似。大气中台风从热带低纬度向中纬度移动，由于地转偏向力的增强，大气层厚的降低，台风的旋转涡度是增强的; 而极地冷涡南下，大气层厚升高，极涡的尺度扩展强度有所减弱。非均匀水深还造成一种现象，墨迹点的移速,在中心区是减速的(表7),而均匀水深的墨迹速度均为增加(表5与表6)，这也是墨迹向深水一侧扩展,造成中心区墨迹涡旋变形显著,降低了墨迹速度。

表7 实验3中墨迹移动过程涡度分析

4 结 论

通过设计和实施地转偏向力实验，在定性和定量两方面对地转偏向力效应做出了良好的应证与说明.，总体上可归纳为以下几点。

(1) 南京信息工程大学自主设计制作的旋转平台能够将旋转运动与直行运动叠加，驱动转台水槽中的水流作合成运动，并采用墨迹示踪，显示效果清晰，对属于虚拟力的地转偏向力原理学习和解释，从定性与定量两方面进行验证，起到良好效果。

(2) 运用该旋转平台的功能，配置不同的观察坐标系，对具有偏向力的环境进行各类参数变换实验，定量地认识地转偏向力的效果，定量地对比各类环境参数的影响效果，并可以从表面和侧面多角度获得量化的深入认识， 扩展了旋转平台的科研功能。 通过定性与定量的结合，使运用此设备的系列实验具有了创新性。对设备的更多完善与更优实验设计，将进一步提升此类物理实验的科研能力。

(3) 定量实验显示，由于地转偏向力的作用， 流体系统在赤道与极地间穿越纬带的运动，取弧形路径；并且自低纬向高纬，系统旋转强度增加，涡度加强；自高纬向低纬，系统旋转强度减小，涡度减弱。 更快的转速，有利于流型的涡度增大，轨迹的弧形更大些，侧面观察到系统垂直层化更薄；高水位则有利于系统扩展；非均匀水深易造成旋转系统变形，向深水位区拓展。