对高中数列求和问题的探究
2018-07-26高山山朴勇杰
高山山 朴勇杰
摘 要 数列求和问题是高中数学中一个非常重要的部分,一直都是高考的重点和热点内容,下面总結了数列求和的常用方法,以期开阔学生处理数列问题的视野,帮助学生在高考中灵活处理数列求和问题。
关键词 数列求和 错位相减 倒序相加
中图分类号:G632 文献标识码:A
纵观近年来高考试题,数列求和逐步转变为对一般数列求和,而这些数列求和都有一定的技巧,下面笔者将介绍一些高中数列求和的主要方法,并给出具体的高考题实例。
1常用公式法
直接利用公式求和是数列求和的基本方法,除了等差数列和等比数列的求和公式,常用的数列求和公式还有:
(1)
(2)
2错位相减法
错位相减法主要适用于当是等差数列,是等比数列时求或者时,通过两边乘以等比数列的公比来列出一个式子,然后将两个式子错位相减可得到。需要注意的是等比数列的公比等于1就不适用了。
例1:设,求数列的前项和。
解:
两式相减可得,
所以
3倒序相加法
倒序相加法适用于与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和的数列,运用这种方法首先需要将一个数列倒过来进行排列,再与原数列相加得到,利用数列特点最终求得数列之和。
例2:已知,则的值为多少?
解:因为,
,相加得
,即。
4裂项相消法
裂项相消法就是将已知数列的通项拆成两项之差,通过一些正负项相互抵消,就可以获得该数列的前n项和转变为首尾少数项的和,这是分解和组合思想在数列求和中的具体应用。一般地,通项分解形式常见的有如下两种类型。
(1)
(2)
5分组求和法
这种方法一般适用于可化成等差加减等比形式的数列求和,然后进行分组,把等差数列放一起,等比数列放一起进行求和。
例3:求数列9, 99, 999,…,99…9(n个9),…的前n项和。
解:此数列是一个循环数列,我们可以将9转换为1011,将99转换为1021,以此类推,将99…9(n个9)转换为10n1,再将其看成是两个数列相加。
(n个9)
6数学归纳法
对于与自然数有关的数学命题,依据数学归纳法原理,可以得到可靠评析的一种归纳推理方法,把归纳和演绎结合起来,是一种完全归纳法。
数学归纳法原理:(1)已知命题P(1)成立;(2)若命题P(k)成立,则P(k+1)成立;由(1)(2)命题得P(n)成立。
注:第一,两步缺一不可。第二,第二步证明必须利用归纳假设得出结论。
例4:已知,,求。
解:猜想,下面用数学归纳法证明
(1)当时,符合;
(2)假设时,成立。那么当时,
符合上式,综上可得成立。
数列求和问题方法灵活多样,以上所说的几种求和方法,给出了很多解题的思路和方法,只有把握解题思路,才可以熟练掌握求和的方法。鉴于该知识点难度较大,需要学生在学习过程中加以理解记忆,灵活运用。
参考文献
[1] 吴腾飞.对一般数列求和问题的研究[J].数学教学与研究考试刊,2012(82).
[2] 阴夏玲.对某些特殊数列求和方法的探讨[J].山西师范大学学报(自然科学版),2013(12).
[3] 吴琪.浅谈数列求和的类型及解题方法分析[J].数学学习与研究,2014(11).