基于高斯导函数的超宽带脉冲设计*

李佩琳,周青松,张剑云

（国防科技大学 电子对抗学院，安徽 合肥 230037）

0 引 言

美国联邦通信委员会（FCC）对超宽带通信所占用的带宽提出了一个限定标准，从而可以确保超宽带设备能够与其他通信设备共存且不会相互干扰[1]。超宽带通信在信息传输过程中采用超宽频带的窄脉冲，因此采用何种脉冲波形会影响超宽带通信的特性。

脉冲波形的设计要求传输功率在低于FCC限定的条件下取得最大值，同时生成的波形要逼近FCC所制定的辐射掩蔽。文献[2]中对hermitian多项式函数进行了一定改进，得到了一种改进的hermitian脉冲；文献[3]通过对扁长球体波函数的介绍，提出了一种正交的脉冲波形。高斯单周期脉冲是常用的超宽带脉冲波形，文献[4]提出了一种算法能够选择最佳的脉冲形成因子和最佳的脉冲微分阶数，并使之能逼近3.1～10.6 GHz的辐射掩蔽。上面提到的脉冲都可以作为超宽带通信的脉冲。为了获得可以在全频段（包括0～0.96 GHz）中逼近辐射掩蔽标准的波形，本文通过对高斯脉冲的不同导函数进行线性组合来寻找符合辐射掩蔽标准的最优波形。

1 超宽带原理

1.1 超宽带的概念

现在对超宽带信号的定义有两种方式，一种是根据绝对带宽来确定，一种是根据相对带宽来确定。美国联邦通信委员会（FCC）对超宽带信号有如下规定：在3.1～10.6 GHz频段中占用500 MHz以上的带宽信号称为超宽带信号，即：

根据相对带宽来确定超宽带信号，美国国防高级计划局对超宽带信号有如下定义：将带宽与中心频率之比超过20%的信号称为UWB信号[5]，即：

其中，信号功率谱密度在-10 dB处测量的值被记为式（1）和式（2）中的fH和fL。因此，超宽带无线通信系统要求系统的绝对带宽不低于500 MHz或者相对带宽不低于20%。

1.2 超宽带信号的辐射掩蔽

一般情况下，超宽带无线通信系统对其他通信系统的干扰必须要限定在一定范围内，因为各类无线电信号与超宽带无线电信号是同时存在的。因此，需要根据辐射掩蔽来确定在任意给定频率情况下的最大允许功率[6]。

某一频率范围内的等效各项同性辐射功率（Equivalent Isotropic Radiated Power，EIRP）是由辐射掩蔽设定的功率极限值，等于发射天线增益GAT与发射机能够提供给天线的最大功率PTX的乘积：

美国联邦通信委员会（FCC）对于超宽带系统的等效各项同性辐射功率做出的限制如图1所示。

图1 FCC制定的超宽带系统等效各项同性辐射功率限制

2 超宽带系统的脉冲

2.1 高斯脉冲及其导数

在脉冲形成器中选择不同的滤波器单位冲激响应对超宽带通信系统有着很大影响，因为滤波器单位冲激响应与传输信号的功率谱密度密切相关。一个类似于高斯函数波形的钟形是脉冲产生器最易产生的脉冲波形。高斯脉冲函数容易实现，同时高斯脉冲函数的频谱形状和时域波形都是钟形，可以满足超宽带脉冲的频限与时限要求。可以用下列表达式描述一个高斯脉冲p(t)：

频谱形成可以通过改变脉冲波形来获得。改变脉冲波形主要有以下三种不同的方法：改变脉冲宽度、脉冲微分和基函数线性组合。

2.2 改变脉冲宽度和脉冲微分

（1）脉冲形成因子α的改变会改变脉冲宽度。α值的减小会压缩脉冲宽度，从而使传输信号的带宽扩展。因此，改变脉冲形成因子的值可以令同一波形得到不同的带宽。

（2）高斯脉冲的能量谱密度也受高斯脉冲微分的影响。增加微分阶数，脉冲宽度和峰值频率都会随之改变。高斯脉冲k阶导数的傅里叶变化性质如下：

关于微分阶数k、脉冲形成因子α以及峰值频率fpeak三者之间的一般关系式如下：

表明峰值频率随着高斯导函数阶数的提高也相应提升。因此，微分可以将能量搬移至更高频段。

2.3 基函数线性组合

高斯脉冲的能量谱密度受脉冲宽度和脉冲微分的影响。脉冲宽度的改变和脉冲微分都可以用来形成发射波形。但是，很多情况下，3.1～10.6 GHz范围外的辐射掩蔽要求仅仅使用单个脉冲很难满足，即FCC制定的辐射掩蔽使用单个脉冲波形并不能严格逼近。

因此，为了获得可以在全频段（包括0～0.96 GHz）中逼近辐射掩蔽标准的波形，考虑通过高斯脉冲不同导函数的线性组合来寻找最优波形。为了得到N个高斯导函数的线性组合，首先由给定的脉冲形成因子α值来表征每个导函数，每个导函数可以被认为是N维空间中独立的基函数。另外，给定的设计要求决定线性组合的权重系数，如线性组合的权重系数要满足给定的功率谱密度。

选择线性组合的权重系数有以下几个步骤：

（1）选择一组基函数。

（2）随机产生一组权重系数，记为W。

（3）检验由权重系数W线性组合得到的功率谱密度是否满足FCC所制定的辐射掩蔽标准。

（4）如果是第一组满足条件的系数，并且W也满足辐射掩蔽的要求，则进行初始化，令WB=W。如果过程已经初始化，且W满足辐射掩蔽的要求，则令W与WB进行比较。以预先设定的距离度量为标准，如果W生成的波形优于WB生成的波形，则令WB=W。

（5）重复（1）～（3），直到辐射掩蔽与生成波形的功率谱密度之间的距离固定在一个门限值之下。

可以看到，脉冲形成因子α值的W不同以及N个高斯导函数的线性组合，可以灵活产生不同的脉冲波形。但是，上述算法需要进行多次迭代，才能保证合成函数与目标函数的差异在要求的范围之内。

N个高斯导函数的线性组合可以通过以下两种方法来近似达到辐射掩蔽：一种是所有高斯导函数的脉冲形成因子α都相同，另一种是每个高斯导函数具有不同的α值。下面将N个导函数的脉冲形成因子α定义为一个“α矢量”，记作alphavector。

3 仿真结果与分析

首先在MATLAB中生成一个GUI界面，如图2所示。

图2 超宽带脉冲设计GUI界面

设置阶数g=10，脉冲形成因子α=0.714e-9，即alphavector=[0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9]。点击button 1，可以得到高斯脉冲及其前10阶导函数波形如图3所示。

图3 高斯脉冲及其前10阶导函数波形

设置阶数g=10，脉冲形成因子α=0.714e-9，点击button 2，可以得到前10阶高斯导函数脉冲的ESD，如图4所示。

图4 前10阶高斯导函数脉冲的ESD

设置阶数g=10，生成模式i=1，脉冲重复周期Ts=1e-7，允许的最大迭代次数attempts=100，点击button 3，生成前10阶高斯导函数脉冲的PSD，如图5所示。

图5 生成模式1

如图5所示，高斯函数的前10阶归一化导函数满足FCC所规定的室内辐射掩蔽标准，同时由前10阶高斯导函数脉冲的线性组合生成的拟合函数也满足FCC所规定的室内辐射掩蔽标准。但是，选择模式1所生成的各个频带的利用率不高。因此，将生成模式换成2，即令alphavector=[1.5e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9]，再次实验，观察高斯函数的前10阶归一化导函数及其拟合函数的性能优劣，如图6所示。

图6 生成模式2

图6 中，采用生成模式2得到的高斯函数的前10阶归一化导函数及其拟合函数的性能明显优于生成模式1。因为生成模式2中的一阶脉冲形成因子为1.5e-9，比生成模式1中的一阶脉冲形成因子要高，可以提高拟合脉冲函数在低频部分的频带利用率；生成模式2中其他各阶脉冲形成因子为0.314e-9，比生成模式1中的其他各阶脉冲形成因子要低，可以提高拟合脉冲函数在高频部分的频带利用率。为了进一步验证一阶脉冲形成因子的对拟合脉冲函数的影响，将一阶脉冲形成因子改为3.0e-9再次实验，得到如图7所示的新的拟合脉冲函数的波形。可见，新的拟合脉冲函数波形在低频阶段更加符合FCC制定的辐射掩蔽标准。

为了考察不同阶数对最终形成的拟合脉冲函数的影响，在GUI中点击button 4，生成结果如图8所示。

通过分析图8可以得到，前10阶和前12阶高斯拟合脉冲函数在低频部分表现最好；前10阶和前13阶高斯拟合脉冲函数在中频部分性能最好；前14阶和前15阶高斯拟合脉冲函数在高频部分性能最好。可见，在低频部分，阶数高的高斯拟合脉冲函数不一定性能最好。

图7 提高一阶脉冲形成因子

图8 前10阶到前15阶高斯拟合脉冲函数对比结果

4 结 语

本文通过对高斯脉冲的不同导函数进行线性组合来寻找符合辐射掩蔽标准的最优波形。经过对仿真结果进行分析可以得到：高斯函数的一阶脉冲形成因子α的数值大小与高斯函数的各阶归一化导函数及其拟合函数在低频部分的功率成正比；而高斯函数的其他各阶脉冲形成因子的数值大小与高斯函数的各阶归一化导函数及其拟合函数在高频部分的功率成反比。同时，由于增加拟合阶数会拉低低频部分的拟合功率，因此拟合阶数并非越高越好。