OFDM系统中基于稀疏信道估计的新导频设计方案*

黄菊菊

（南京邮电大学 通信与信息工程学院，江苏 南京 210003）

0 引 言

正交频分复用（OFDM）是一种多载波调制方案[1]。因为它对传输信号的多径传播引起的频率选择性衰落具有免疫效应，所以在现代无线通信系统中被广泛应用[1-2]。它将频率选择性衰落信道转换成多个并行平坦衰落信道，因此只需利用频域均衡器作为单抽头均衡器[3-4]。OFDM系统作为一种关键技术，在许多商业系统的物理层设计中已经被标准化[5-6]。在采用相干检测的无线通信系统中，信道估计是接收机设计的关键[7-9]。因此，准确的信道状态信息（CSI）对OFDM系统[10]中的相干检测至关重要。

在高速宽带无线通信中，信道的延迟扩展明显大于显著路径的数量[11-12]。因此，被定义为信道脉冲响应（CIR）的傅立叶变换分解的信道频率响应（CFR），通常会在特定的傅立叶条件上将信号通过稀疏化来表示。换句话说，如果φ=[φ1,φ2,…φN]，且φN∈RL×1，是真实值的表示基，离散时间信号为x∈RN，那{hi}Ni=1是信道系数的稀疏表示，h=[h1,h2,…,hN]T是N×1维矢量。于是，信号x为k阶稀疏。当它的l0范数在其非零系数中至多有k≤N个时，x表示为x=φh。在||h||0={hi≠0,i=1,2,…N}中，I0范数只计算k阶非零系数。因此，如果已知每个物理路径的正确延迟，则可以把最小二乘（LS）估计方法优化为去估计少数未知信号的方法。但是，在实际生活中，每个路径的延迟是未知的，使得在多径信道中基于压缩感知（CS）的信道脉冲响应（CIR）的稀疏化得到了进一步研究[13,5]。相对于传统的信道估计技术，压缩感知技术虽然可以有效重建稀疏信号，但非常依赖大量的多径信道假设[14]。

在传统的信道估计技术如LS中，等距导频算法是已知的最佳算法，且它们都是基于插值算法推导而来。但是，插值算法为了获得媲美均方误差算法（MSE）的性能[1]，过分依赖于极高的采样速率，不可避免地意味着要用更多的导频信号提升信道的估计性能，并因此在带宽效率与重构精度之间有所折中。由于新导频方案所需的算法不是基于插值算法，所以等距导频算法不适用于稀疏多径信道估计技术[15]。相对于传统的投影域，在已知的变换域中，稀疏信号可以通过更少的计算次数得到。因此，所需的导频开销可以大大减少，同时保证系统的频谱使用效率[2]。稀疏恢复的唯一条件是采样过程与实现稀疏表示的变换是非相干的[16]。

然而，研究表明，限制等距特性（RIP）是利用随机矩阵进行噪声测量的稀疏信号重构的充分条件[16]。基于RIP特性，已经被证实使用随机矩阵的计算方法大大提高了信号稀疏恢复的概率[15]。这就表明，均匀随机导频分配是最佳的导频分配模式。而在实际应用中，由于存储空间大、计算复杂度高、效率低，随机生成的导频模式极具挑战性[11]。在这些条件下，通过确定性分配来分配导频模式已经成为必经之路。

尽管如此，至今还没有很多关于优化导频分配设计的研究成果。而在采用最小二乘法的传统信道估计方法中，OFDM系统的最优导频模式是等电位、等间隔和相移正交的[16]。

在压缩感知框架中，不同的导频分配设计方案产生不同的压缩感知算法。因此，为设计一个最佳导频模式，可以大幅提升信号重建性能。然而，对于稀疏信道，目前还没有公认的理论来建立OFDM系统中稀疏信道估计的最优导频模式[11]。但是，多种基于互相关最小化的测量矩阵的分配导频模式优化算法已经被提出[11,16]。其中，循环差集（CDS）的导频模式是最佳的[17-18]。但是，在大多数实际的OFDM系统中，CDS是不可用的[11]。穷举搜索方法已被用于所有可行的导频副载波组合，但考虑到其过高的计算复杂度，对大多数实际OFDM系统来说是不可能实现的[17]。

本文采用测量矩阵互相关最小化的方法，研究了OFDM系统中确定性导频的分配问题。在CDS不可用的情况下，提出两种有效的近似最优导频分配方案来获得近似最优导频模式，即通用随机搜索（GRS）和渐进式搜索（PS）。仿真结果表明，在正交匹配追踪（OMP）、正则正交匹配追踪（ROMP）和子空间追踪（SP）算法的情况下，这两种导频分配设计方案与先前的导频分配设计方法相比具有更高的重构精度，更利于稀疏信道估计。

文章的其余部分如下：第1节提出了OFDM系统模型；第2节提出了两个基于非相关最小化特性（MIP）近似最优的导频设计方案；第3节介绍仿真结果；第4节总结。

1 系统模型

本文考虑一个梳状导频插入的OFDM系统，并且每个OFDM系统都包含N个子载波（N为2的幂），其中M个子载波为，用于导频传输，这对基于导频的频域CE接收机而言是先验的。如果信道经历频率选择性衰落，则可以将多径信道建模为具有L个抽头的时变有限脉冲响应（FIR）滤波器，表示为：

其中，h1表示与第1次抽头相关联的复数增益。向量[h1,h2,…,hN]与它的维度相比，是k阶稀疏且只有少数几个主元素（或非零元素）。所以，如果等效发射的导频信号被表示为{x( p1),x( p2),…x( pM)}，那么在导频位置频位置处接收到的矢量信号可以表示为：

其中，h=[h(1),h(2),…h(L)]T是长度为L的k阶稀疏基带信道脉冲响应，FM×L是一个从N阶标准傅里叶变化（DFT）子矩阵中截取前M行、前L列构成的离散DFT子矩阵。因此，FM×L可以表示为：

若A=XFM×L代表测量矩阵，那么式（2）可以重新表示为：

因此，如果测量矩阵A中行数（信道系数）M大于列数（导频信号）L即M＞L，则式（5）中的OFDM信道可以通过最小二乘法进行信道估计。但是，当M＜L时，问题将无法解决，因此最小二乘法在该种情况下并不适用。但是，既然h为k阶稀疏，可则通过应用压缩感知技术，在接收机处利用信道固有的稀疏脉冲响应降低信道估计所需的导频开销。

算法1：测量矩阵的互相关最小化算法

Initiazation:Z ∈ CM×N,FM×L=XM×N

2 导频设计方案

2.1 导频设计要求

限制等距特性（RIP）是测量矩阵A，在有噪声情况下能够从低维线性测量y中稳定恢复高维稀疏信号的充分条件。即使随机矩阵满足RIP条件[8]，但在计算上仍是不可行的（因为它需要对载波进行穷举搜索），因此可以用相互不一致条件替换RIP条件[8,10,12]。由μ(A)表示测量矩阵A的互相关，定义为：A的任何两个单独列之间的最大绝对内积相关，表示为：

那么测量矩阵A在导频位置的相关性可以表示为：

信号处理过程中，复值信号具有恒振且幅零自相关的波形特性，模值为1，自相关函数为零。由于OFDM系统具有这种性质，因此将导频序列假定为具有恒定的振幅，且幅度为

式（7）可以进一步简化为：

其中，popt是基于测量矩阵A的互相关最小化方法得到的最佳导频分配模式。例如，式（8）是基于算法1中呈现的互相关最小化算法而实现的。算法1中从是提出这两个导频设计方案的关键，下面将对其进行详细阐述。

首先，考虑具有N个子载波的OFDM系统，其中M个子载波专用于导频传输。其次，外循环迭代的总数定义为Nα=MN。最后，由式（4）可知，导频处的接收信号可以表示为：

2.2 分配方案

在上述设计要求下，本文提出了两种基于稀疏信道估计的导频设计方案。这些方案使测量矩阵Aγ的原子间干扰最小化，并且分别解决了OFDM系统块长度、导频数量和CIR长度的选择问题，表示为(N,M,L)。

2.2.1 随机搜索导频分配方案(GRS)

本节提出了一种导频分配方案，即通用随机搜索（GRS）。GRS将搜索和分配最佳的导频子集，并且将其对应的测量矩阵的相关性最小化。基于GRS的导频分配方案的代码见算法2，以下是使用的符号说明。pk表示集合{1≤p1＜p2＜…＜pM≤N}中导频p={p1,…,pM}的第k次迭代。最初循环迭代次数设为T1=12Nα，其中Nα=MN。导频选择矩阵从N维信号矢量中选择导频位置的M个元素。下面描述GRS导频分配的具体方案。在每次外循环迭代k从1到T1时，该算法执行以下循环操作：

（1）生成导频的子集pk={p1,…,pM}，{p1,…,pM}∈{1≤p1＜…＜pM≤N}；

（2）在迭代的第k个阶段构造测量子矩阵A{k}；

（3）使用算法1中的方法来计算构建的测量矩阵的互相关性μ(A{k})。在循环迭代结束时，最佳导频模式可以表示为popt=arg minPkw，其中k ∈ {1,2,…,T1}。

算法2：GRS导频分配设计算法

为了进一步提升方案的性能，降低其计算复杂度，本文提出了另一种导频分配方案。

2.2.2 渐进式搜索导频分配方案(PS)

在提出的基于GRS的导频分配方案中，每次迭代导频模式p被有序地更新。换句话说，算法2总是使用新生成的导频模式。对于贪心算法而言，导频模式的顺序更新可能导致对最佳导频模式的快速收敛。尽管如此，采用逐步更新的导频模式可能会使互相关最小化收敛速度变慢。因此，为了获得相对较快的收敛时间和较高的精度，本节提出了一种近似最优的方案，即渐进搜索（PS）导频分配设计方案。PS算法的代码如算法3所示。首先，算法初始化，建立一个互相关阈值，即。其次，在内部循环迭代中生成一个随机的导频模式p。最后，对于每个k从1到T2的外层迭代，执行以下操作：

（1）m从1到M的内层循环中，用算法3逐步处理M个副载波{p1,…,pM}的导频，并逐个在最内层的循环中进行优化；

（2）n从1到N的最内层循环中，用从N p( j )|=1,2,…,M, j≠m中选择的最优来更新导频p的第m个条目，使得试探值ξ最小；

（3）一旦ξ最小化，由pm控制的导频指标被重新确认，同时更新此值。重复先前的操作直到k在T2处终止。此时，优化后的导频模式是近乎最佳的导频模式。

算法3：PS导频分配设计算法

3 仿真

考虑一个由4QAM数据序列调制的OFDM系统，含有N=256个子载波，其中M=16个子载波被假定为导频信号。h是长度为L的稀疏瑞利多径衰落信道，它是用L=50个信道抽头均衡器建模的，其中k=6个被随机选择为独立且同分布的非零信道抽头。

GRS和PS两种导频设计方案运行时的仿真结果如图1所示，互相关的导频模式的各种值(N,M,L)以及OFDM系统的设置如表1所示。

表1 k=6时GRS和PS导频分配设计方案的性能比较以及OFDM系统(N,M,L)的设置

具体地，随着信噪比的增大，各方案的均方误差均逐渐减小。信噪比为15 dB时，各方案的均方误差基本保持不变。GRS和PS方案的误差最低为0.009。可见，在测量矩阵的互相关最小化方面，GRS和PS导频分配方案的效率随着导频方案的数量增加而改善。然而，与GRS导频分配设计方案相比，基于运行时间迭代的PS导频分配设计方案收敛速度更快。

图1 OMP的不同导频模式的MSE的信道估计性能的比较

表2则得出了相较于以往各种导频分配方案的最佳导频分配方案。与其他导频设计方案相比，图1显示了这两个导频分配设计方案与其他最小OMP信道估计方案的均方误差和信噪比的关系变化曲线的对比。显然，随机生成的导频模式在信道估计的均方误差方面表现最差。这是因为随机生成的导频模式的测量矩阵Aγ具有较高的相关性，所以它具有较差的RIP条件。但是，它又是稀疏重构的充分条件，所以它的性能最差。不难看出，对于底层信号的重构是很困难的，并且与之前的导频分配设计方案相比，这两个导频分配设计方案在均方误差性能方面的有效性和改进能力是显著的。

图2描绘了不同的导频设计方案的格拉姆矩阵对角线以上元素的绝对递减分布。可以看出，随着序列号的增加，各方案的内积绝对值递减，且GRS和PS方案的收敛速度相对更慢。可见，GRS和PS导频模式设计方案在它们各自的格拉姆矩阵中，对角线以上的元素更少，证明了它们在信道估计方面具有良好的性能。

表2 不同模式的比较

图2 GRS和PS导频分配方案的测量矩阵的所有列之间的相关性

图3 描绘了使用ROMP的不同导频模式下MSE和SNR的比较。信噪比达到18 dB时，各方案的均方误差基本保持不变。PS方案最低，误差在0.001 8波动；GRS次之，在0.011 0处波动。可见，与其他导频分配设计方案相比，GRS和PS导频分配模式的信道估计准确性和稳定性更为优秀。

图3 ROMP的不同导频模式下MSE的信道估计性能的比较

最后，图4利用SP重建算法对GRS、PS和其他导频分配设计方案的MSE和SNR进行了比较。根据图4的结果，信噪比在18 dB之前，各方案的均方误差随着信噪比的增加快速降低，其中PS最快，最终均方误差在0.007处波动。可见，这两种导频设计方案比其他导频设计方法在MSE最小化方面有更好的性能。对于GRS导频分配方案而言，PS导频分配方案产生导频信息更准确且稳定。

图4 使用SP的不同导频模式MSE的信道估计性能的比较

4 结 语

本文利用传统信道估计方法中常常忽略的CIR稀疏特性，重新研究了OFDM系统中的导频分配问题。在压缩感知框架下，基于相关性的部分DFT矩阵的优化对信号的精确重构极为重要。但是，设计导频分配方案又会影响信道估计性能，所以这是一个重要且困难的组合优化问题。本文提出的两种导频分配设计方案即GRS和PS，都得到了近似最优导频模式。与以往的导频分配设计方法相比，仿真结果证实了GRS和PS导频分配设计方案在最小化MSE方面的有效性。此外，产生确定性导频模式的PS导频分配方案比GRS导频分配方案更精确，复杂度更低，在许多工程应用中具有实用价值。