平行四边形，你找全了吗

2018-07-26浙江省宁波市镇海蛟川书院数学组

数学大世界 2018年17期

浙江省宁波市镇海蛟川书院数学组滕丽

纵观近几年中考，有这样一类问题：在平面直角坐标系中，已知一些点的坐标，求可以构成平行四边形的其他点的坐标，若再以抛物线等为背景，加大了题目的综合性，备受中考命题者的青睐。这类问题因为平行四边形的边或对角线的不确定性，需要分类讨论，而考生如果没有弄清分类标准常常会导致漏解。笔者从近几年的中考题中整理出三种类型，与各位同仁交流。

类型1：已知三个定点，找第四个点，使得以这四个点为顶点的四边形是平行四边形

分析：已知三个点A、M、N，求第四个点D，使其构成平行四边形，可以按边进行分类：①以AM、MN为一组邻边，AN为对角线；②以AN、MN为一组邻边，AM为对角线；③以AM、AN为一组邻边， MN为对角线。满足条件的点D的位置可能有如图1所示的三种情形。

解：易得A（0，2），B（4，0），M（2，1），N（2，5）。

当点D在y轴上时，设点D的坐标为（0，a），由AD＝MN得|a-2|＝4，解得a1＝6，a2＝-2，从而点D的坐标为（0，6）或（0，-2）。

当点D不在y轴上时，由图可知点D为D1N与D2M的交点。

图1

小结：已知三个定点A、B、C，可以确定△ABC，过三个顶点分别作对边的平行线，三条平行线两两相交有三个交点，这三个交点就是平行四边形第四个顶点所在的位置。一般地，如果已知三点坐标A（a1，b1）、B（a2，b2）、C（a3，b3），根据点的平移坐标变化规律，可知以AB、BC为一组邻边的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（a1+a3-a2，b1+b3-b2），其他情况同理可得。

类型2：已知两个定点，找两个点，使得这四个点为顶点的四边形是平行四边形

例2 如图2，已知抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C。（1）求抛物线的函数表达式。（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标。

分析：已知两个定点A，O，分别在抛物线及其对称轴上找两个点D，E，使得构成的四边形为平行四边形，分两种情况讨论：①OA为对角线，D，E关于x轴对称，则点D与点C重合；②OA为平行四边形的一边，则DE∥OA，DE=OA=2。

解：（1）设抛物线的函数表达式为y＝ax（x-2）。

∵抛物线过点B（3，3），∴3＝3（3-2）a，∴a＝1，∴y=x2-2x。

（2）若OA为对角线，∵C（1，-1），则点D的坐标应为（1，-1）。

若OA为平行四边形的一边，则DE＝OA=2。

∵点E在抛物线的对称轴上，∴点E的横坐标为1，

图2

∴点D的横坐标为3或-1，代入y＝x2-2x，得D（3，3）或D（-1，3）。

综上所述，点D的坐标为（1，-1）或（3，3）或（-1，3）。

小结：已知两个定点A、B，找两个点C、D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，这两个点确定线段AB，分别以AB为边或对角线进行分类讨论。一般地，在直角坐标系中，如果平行四边形的顶点坐标是 A（a1，a2），B（b1，b2），C（c1，c2），D（d1，d2），那么有：a1＋c1＝b1＋d1，a2＋c2＝b2＋d2，即相对顶点的横坐标之和相等，相对顶点的纵坐标之和相等。

类型3：已知两个定点，找两个点，使得这四个点为顶点的四边形是菱形

分析：若以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，则△ODM是等腰三角形，分三种情况进行讨论：①当MD、MO为菱形的邻边时，OD是△ODM的底边，点M在OD的垂直平分线上；②当OD、OM为菱形的邻边时，DM为△ODM的底边，点M在以O为圆心，OD长为半径的圆与直线的交点处；③当DO、DM为菱形的邻边时，OM为△ODM的底边，点M在以D为圆心，OD长为半径的圆与直线的交点处。

解：由已知得D（0，5）。

①如图4，当MD=MO时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点。