函数与方程思想在高中数学解题中的应用

湖北省孝感市云梦县黄香高级中学 田永红

函数与方程思想其实是包括两个方面的内容：函数思想与方程思想。函数思想指的是运用函数的概念和性质来分析数学问题、转化数学问题并解决数学问题，而方程思想则是从遇到的数学问题中找到数学关系，运用我们掌握的数学语言把问题中的已知条件转化为可以解答的数学模型。在我们学习和教学的过程中，会遇到许多函数的问题，我们要运用方程的方式进行解决和理解，也会遇到很多方程的问题需要我们通过函数思想来解决，所以说，函数和方称二者是可以相互转化的，两者关系密切。我们以高中数学人教A版为例，对函数与方程思想在解决问题中的应用进行简单的分析和说明。

在高中数学学习的过程中，我们可能会遇到以下几类需要运用函数与方程思想的题型：

一、用转化函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式的问题

（1）设t=k2，若函数f（x），g（x）在区间（0，+∞）上单调性相同，求k的取值范围;

（2）是否存在正实数k，都能找到t∈[1，2]，使得关于x的方程f（x）=g（x）在[1，5]上有且仅有一个实数根，且在[－5，－1]上至多有一个实数根？若存在，请求出所有k的值的集合；若不存在，请说明理由。

此题考查的是运用导数来研究函数的单调性，求解参数的取值范围，并且还对应方程解的问题，可以将其转化为图象与图象的交点问题来进行处理。

二、通过构造函数或方程来解决问题

在进行数学学习的过程中，我们会遇到需要通过构造一个函数或者方程才能解决的数学题，例如：设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当 x＜0 时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是？

我们会在解题的过程中首先可以构造一个函数h（x）=f（x）g（x），x∈R，我们可以得到h（x）是定义在R上的奇函数，通过题意，可得h（x）在（-∞，0）区间是单调递增的，并且零点是-3，通过数形结合，我们就可以得出h（x）＜0的解集是：（-∞，-3）∪（0，3）。

三、数列问题也可以运用函数与方程的思想

数列问题是高考中的一个重要部分，但是，很多时候，数列问题的解决并不是只靠数列的公式就可以的，而是需要结合函数与方程思想。

例如：已知数列{an}是各项均为正数的等差数列。（1）若a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列，求数列的通项公式an；（2）在（1）的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn=若对任意的n∈N＊，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值。

（1）数列{an}是等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列，

所以设等差数列的公差为d，即可得到(2+2d)2=(2+d)(3+3d)，解得d=2或d=-1。

当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去，所以d=2。

所以an=a1+2(n-1)=2n，即数列{an}的通项公式an=2n。

（2）由（1）可得Sn=n(n+1)，所以：

这样，我们就把一个复杂的数列问题转化为一个简单的函数问题，使解题过程变得容易。

四、不等式中运用函数思想

不等式在高考中占有很大的比例，而很多的不等式都是和函数相结合，使得题目的难度增加，这就要求学生在解题的过程中找准函数关系，例如：解关于x的不等式：x2+5ax+6a＞0。

分析：此不等式可以分解为：（x+2a）（x+3a）＞0，故对应的方程必有两解。又因为二次项系数为1，大于0，所以本题只需讨论两根的大小即可。

解：原不等式可化为：（x+2a）（x+3a）＞0，

对应一元二次方程（x+2a）（x+3a）=0的两根为-2a，-3a。

①-2a＞-3a→a＞0，所以不等式的解集为：（-∞，-3a）∪（-2a，+∞）。

②-2a=-3a→a=0，此时不等式为x2＞0，所以不等式的解集为（-∞，0）∪（0，+∞）。

③-2a＜-3a→a＜0，所以不等式的解集为：（-∞，-2a）∪（-3a，+∞）。

二次项系数正负确定的情况下，先看能否因式分解，若能因式分解，则自然不必去求对应的一元二次方程的求根判别式，因为分解之后，根已显而易见，同样，因为根中含有字母，故其大小也不确定，所以讨论又势在必行。

五、在解决实际问题时灵活运用函数思想，简化解题过程

在人教版高中数学必修五《基本不等式》的教学中，有这样一个例题：用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形菜园的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短是多少？

在解答这个问题时，求的其实是周长最短，实际上我们已经可以知道xy=100，求当x和y分别为多少时，2（x+y）的值最小，即（x+y）的值最小。这样，一个实际问题就被我们用一个方程表达出来了，使我们的解题思路清晰起来。

六、三角函数中运用函数思想

三角函数本身就是一种函数的类型，所以在进行三角函数的学习时，要注意的就是把函数的思想和三角的特点和公式相结合，达到高效率地解决问题，实现数学思想的内化。

七、在函数最值问题中应用方程思想

最值问题可以和很多知识相结合，和代数、三角函数、一次函数等等，我们现在就以二次函数为例进行解释说明：

已知a、b、c为正整数，方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2（x1≠x2），且|x1|＜1，|x2|＜1，则a+b+c的最小值为？

依题意，可知Δ=b2-4ac＞0,x1+x2=0,＞0,从而可知 x1，x2∈（-1,0)，

又 a，b，c为 正 整 数，取 c=1，则 a+1＞ b a≥ b， 所 以a2≥b2＞4ac=4a a＞4，从而a≥5，所以b2＞4ac≥20。又b＜5+1=6，所以b=5，因此a+b+c有最小值为11。下面可证c≥2时，a≥3，从而b2＞4ac≥24，所以b≥5，又a+c＞b≥5，所以a+c≥6，所以a+b+c≥11。

综上可得，a+b+c的最小值为11。

本题主要考查了一元二次方程的根的分布问题的求解，主要应用了方程的根与系数的关系及，还考查了一定的运算推理的能力.

函数与方程思想在高中数学学习中是非常重要的，要想在高中这个重要的阶段要求学生在数学上取得好的成绩，那么，掌握函数与方程的数学思想就是一个重要的跳板，教师要在不断地学习中为学生的进步做出研究，引导学生学会学习，提高学习效率。