定解问题中无穷远边界条件的严格表示

庞宇萱　史庆藩

摘要：数学物理方法教科书在表示稳定场的定解问题时，将无穷远边界条件用了“～”符号来表示，然而在确定通解中的系数时却用“=”带入求解过程。本文讨论了这种表示的逻辑内涵，并给出了严格的无穷远边界条件的表达形式，为这类定解问题的求解提供了有价值的參考。

关键词：数学物理方法；无穷远边界；特殊方程

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）21-0181-02

引言

众所周知，数理方程与特殊函数是物理及工程类专业本科生的一门重要必修课。这门课程的教学对培养学生综合应用数学和物理规律去分析和解决实际问题的能力具有不可替代的作用。在实际的物理与工程问题中，定解条件决定了定解问题求解的最终结果。然而，由于特殊函数方程和定解条件所构成的定解问题其处理过程较为复杂，有些细节的数学与物理逻辑不易被学习者所理解。例如，处理稳定场的定解问题时，关于无穷远处的边界条件，在大多数的数学物理方法教科书中列为：u ～Arcosθ+C，其中r是极矢，A代表着不同的强度量，即在温度场中代表热流，在静电场中代表电场强度，在稳态电流场中代表电流密度等[1]。但在利用定解条件来确定通解中的系数时却以“=”代替了所列条件中的“～”进行结果的计算，同时也未说明理由，因此这样的处理方式令人感到困惑。本文首先以静电场为例给出了教科书中对于无穷远边界条件的应用过程，接着讨论了以“=”代替“～”进行计算的值得商榷的原因，最后给出了严格的无穷远边界条件的表达形式，为这类定解问题的求解提供了有价值的参考。

一、问题的引出与讨论

静电场定解问题示例：在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的电场强度为E ，球的半径是r ，介电常数是ε，求解介质球内外的电场强度。通常，取球心为球坐标系的极点，极轴沿电场方向。考虑边界条件u 有限，球内电势的解为

u = A lrlPl（cosθ） （1）

球外电势的通解易知为

u = Clrl+D P （cosθ） （2）

为了确定（2）式中的系数，考虑很大的r，并利用边界条件

u ～-E rcosθ+C （3）

易得：

ClrlPlcosθ～-E rcosθ+C

=-E rP （cosθ）+CP （cosθ） （4）

比较两边系数得出：C =-E ，C =0（l≠0，1）。最后再通过衔接条件得出其余的系数A 和D 。值得注意的是，在上述教科书求解过程中将边界条件中的“～”变成“=”而进行了定系数的运算，为什么这样处理却未有交代。

事实上，从物理的角度来说，本题的边界条件应当写为

=-E cosθ （5）

为了得出u ～的精确结果，我们需要对 的精确表述来进行积分。考虑到[2]

=-E cosθ+o（r） （6）

其中： o（r）=0。对（6）式积分得：

u ？摇-u ？摇= dr

= -E cosθdr+ o（r）dr

=-E rcosθ+ o（r）dr （7）

∴u =-E rcosθ+ o（r）dr+u

式中u 可以看作常数，但∫ o（r）dr则不能确定其类型，它可能为0，例如：o（r）=0，也可能为常数，如：o（x）=e ，亦可能为无穷大，如：o（x）= 。那么，显然教科书中（4）式表达的不是相等关系，而是：

ClrlPlcosθ～-E rP （cosθ）+CP （cosθ） （8）

即：-E rcosθ+ o（r）dr+u

～-E rP （cosθ）+CP （cosθ）

（ o（r）=0） （9）

实际上，如果 o（r）dr为零或常数，（9）式显然成立，而若其为无穷大，由洛必达法则，注意到：

由此，我们可以用等价无穷大来理解（虽然书中尚未注明），本题的球函数解与均匀平直场在趋于无穷远时应该是等价无穷大。

二、边界条件的精确表示

由上述讨论我们知，原教科书的解法需要复杂的逻辑讨论过程。实际上，我们不难给出（5）式所表示的边界条件。对（2）式求偏导并代入（5）式得：

实际上，因为静电场的库伦定律，保证了在电荷有限的情形下（本题的导体有限大，带的总电荷必然是有限的），电荷在无穷远的影响应当正比于r-2，从而积分是有限值，属于第二种情形，所以两种边界条件的列法最后得出了同样的结论。

参考文献：

[1]梁昆淼.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2008.