有关电磁感应的易错题分类解析

辽宁

郑 金

在解答某些有关磁场及电磁感应的问题时，很容易出现错误解法，通过对常见的易错问题进行分类解答和辨析，查找原因或归纳知识点，有助于对知识的确切理解和灵活运用，以防患于未然。下面从六个方面进行举例分析。

一、有关电荷量的计算

【例1】如图1所示，匀强磁场沿水平方向，其理想边界水平，竖直宽度为L=0.1 m，磁感应强度为B=1.0 T。有一质量为m=0.1 kg、边长为L=0.1 m、总电阻为R=0.02 Ω 的正方形金属线框abcd，其下边到磁场的上边界距离为h=0.2 m。在线框由静止开始自由下落的过程中，其平面始终在竖直平面内并与磁场方向垂直，ab边始终保持水平。取g=10 m/s2。求线框在穿越磁场的全过程中通过顶点a的电荷量。

【错解】线框的ab边进入磁场时的速度为

产生的感应电动势为E=BLv=0.2 V

【辨析】由于没有考虑电流方向的变化而导致错误结果。线框的两边先后切割磁感线产生的感应电流的方向相反，则对先后通过顶点a的电荷量取值应考虑正负号，可知在全过程中通过a点的电荷量为零。

【另解】在线框穿越磁场的整个过程中，穿过线框的磁通量开始时为零，最后还为零，所以磁通量的变化量为零，可知感应电动势的平均值为零，则感应电流为零，因此电荷量为零。

【小结】在计算一段时间内通过同一电路的电荷量时要考虑不同时间段的电流方向的变化，由此考虑到电荷量取值的正负。如果在不同时间段通过同一个导体中的电流方向相反，则应对反向电流的大小取负值。对于大小或方向变化的电流，在求电荷量时要用电流的平均值。求电荷量还可利用i-t图象，图象与坐标轴围成的几何图形的面积表示电荷量。例如，对于正弦式交变电流，在一个周期内i-t图象面积的代数和为零，所以通过线圈的电荷量为零。

二、有关磁通量的计算

【例2】如图2所示，在同一平面上放有两个同心导体圆环A、B，在下列情形中，关于磁通量的说法哪些是正确的 ( )

A.若给A通入逐渐增大的电流，则穿过B的磁通量减小

B.若给B通入逐渐减小的电流，则穿过A的磁通量减小

C.若给A通入恒流并增大B的面积，则穿过B的磁通量减小

D.若给B通入恒流并增大A的面积，则穿过A的磁通量减小

【解析】假设电流方向为逆时针，当给A环通电流时，穿过B环的磁感线方向只有向外的，若电流增大，则穿过B环的磁通量增大，故选项A错误。若A环中的电流恒定，且B环的面积增大，则穿过B环的磁通量也增大，故选项C错误。当给B环通电流时，穿过A环的磁感线既有向外的，也有向里的。若B环中的电流减小，则穿过A环的磁通量减小，故选项B正确。若B环中的电流恒定，由通电圆环磁感线的形状特点可知，内部磁感应强度大于外部磁感应强度，则内部磁感线条数大于外部磁感线条数，因此若A环的面积增大，则相互抵消的磁感线条数增多，那么穿过A环的磁通量减小，故选项D正确。

【拓展1】若给B环通入逐渐变化的电流，A环产生逆时针的电流，而且具有扩张趋势，那么B环中的电流是 ( )

A.顺时针增大的电流 B.顺时针减小的电流

C.逆时针增大的电流 D.逆时针减小的电流

【解析】由于A环具有扩张趋势，即欲减少磁通量，表明原来的磁通量是增大的，因此B环中的电流是增大的；为了减少磁通量，那么A环产生电流的磁场方向与原来的方向相反，因此是顺时针方向的电流，故选项A正确。还有一种解法，根据同向电流相吸，异向电流相斥可知，为了减少磁通量，二者电流方向相反，因此B环中的电流沿顺时针方向，再根据“增反减同”的规律可知原来B环中的电流是增大的。

【拓展2】若给B环通入顺时针减小的电流，则A环有收缩趋势还是扩张趋势？两个圆环中的电流方向关系如何？

【解析】为了阻碍磁通量减少，A环有收缩趋势，这是因为，B环产生的磁感线在B环内外的方向相反，A环的面积越小，则抵消的磁感线越少，磁通量就越大。为了阻碍磁通量减少，二者电流方向相同。

【易错点】对于这类问题，如果不考虑磁感线的方向而根据磁通量公式Φ=BS盲目地认为面积越大磁通量就越大，面积越小磁通量就越小，将得到错误结果。

【小结】对于通电圆环或一定长度的通电螺线管，内部的磁感应强度大于外部的磁感应强度，则内部的磁感线条数大于外部的磁感线条数。由于磁感线有一部分是闭合的曲线，则内部与外部的磁场穿过某一横截面的方向相反，那么磁通量可以相互抵消一部分。或者说，穿过某个面积的磁通量等于两部分磁通量的代数和。虽然磁通量是标量，但要注意磁通量取值的正负。

三、有关磁通量变化量的计算

【例3】如图3所示为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，矩形线圈的匝数为N，面积为S，其电阻、电感均不计，外电路接有电阻R。若线圈以角速度ω在磁感应强度为B的匀强磁场中绕轴OO′匀速转动，从图示位置开始计时，则下列说法正确的是 ( )

A.位于中性面时穿过线圈的磁通量为NBS

B.位于中性面时穿过线圈的磁通量变化率为0

C.经历半个周期时穿过线圈的磁通量变化量为BS

D.经历一个周期时通过线圈的电荷量为0

【解析】当线圈位于中性面时，磁场方向与线圈平面垂直，则穿过线圈的磁通量最大，大小为BS，选项A错误。此时线圈不切割磁感线，则感应电动势瞬时值为零，因此磁通量的变化率为零，选项B正确。在半个周期内，线圈平面转过180°，开始时磁通量的大小为Φ1=BS，最后磁通量的大小仍为BS，考虑到是从平面的另一侧穿过，则此时磁通量为Φ2=-BS，因此在半个周期内的磁通量的变化量为2BS，选项C错误。对于正弦交流电，在一个周期内电流的平均值为零，则通过R的电荷量为0，选项D正确。或者说，刚开始时磁通量大小为Φ1=BS，经历一个周期，磁通量大小仍为BS，而且从线圈的同一侧穿过，因此磁通量的变化量为零，则感应电动势的平均值为0，所以通过R的电荷量为0。

【易错点】如果认为穿过线圈的磁通量与线圈的匝数有关，或者忽视磁通量穿过平面时的方向，都将得到错误结果。

【小结】由于磁通量具有方向性，所以要明确磁感线是从平面的哪一侧穿过的。或者说，分别从某平面两侧穿过时，磁通量的方向是相反的，因此对应磁通量的取值有正负之分。对于整个过程，磁通量的变化量只与初、末状态的磁通量有关，而与中间过程无关，与运动形式也无关。

四、有关公式的应用

【例4】如图4所示，足够长的两个光滑导轨水平放置，间距为L，左端用电阻不计的导体bc相连，金属杆ef可以在导轨上滑动，电阻不计，导轨单位长度的电阻为r0。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度随时间均匀增加且B=kt，其中k为常数。若金属杆ef在水平外力的作用下，以速度v沿导轨向右做匀速运动，当t=0时，ef与bc相距非常近，求在时间t0内通过金属杆的电荷量。

【错解】在t时刻的磁通量为

Φ=BS=kt·Lvt=kLvt2

则在t0时间内磁通量的变化量为

在t0时刻回路的电阻为R=2r0vt0

【解析】在t时刻的磁通量为

ΔΦ=BS=kt·Lvt=kLvt2

此时回路的电阻为R=2r0vt0

由于电流强度恒定，所以在时间t0内通过金属杆的电荷量为

五、有关欧姆定律的应用

【例5】如图5所示，在跟匀强磁场垂直的平面内放置一个折成α角的裸导线MON，在其上面放置另一根与ON垂直的裸导线PQ，PQ紧贴MO、ON，并以平行于ON的速度v，从顶角O开始向右匀速滑动。设裸导线单位长度的电阻为R0，磁感应强度为B，求回路中的感应电流的大小。

【解法1】设PQ从顶角O开始向右运动的时间为Δt，则

【解法2】回路中的电动势为

E=Blv=B·ab·v=Bv2tanα·Δt

【辨析】两种解法所得结果不同，原因是在应用欧姆定律时，电动势与电阻的取值性质不对应。在解法1中，电动势为平均值，电阻为瞬时值，因此是错误的。在解法2中，电动势和电阻都是瞬时值，因此是正确的。

【小结】在应用欧姆定律求感应电流时，要注意物理量的统一性，不能混杂。即对直流电而言，三个量都为平均值或都为瞬时值。对交流电而言，若为纯电阻电路，则物理量同为最大值、有效值或瞬时值；若为非纯电阻电路，则不能同为瞬时值，因为有时电流与电压存在相位差。

六、有关楞次定律的应用

【例6】如图6所示，在水平面上有一个圆形导体环，在其内部的圆形区域内存在匀强磁场，其方向垂直于水平面向里，当磁感应强度均匀增大时，则下列判断正确的是 ( )

A.导体环上无感应电流，也无扩张的趋势

B.导体环上有感应电流，但无收缩的趋势

C.导体环上有感应电流，也有扩张的趋势

D.导体环上有感应电流，也有收缩的趋势

【错解】当圆形磁场区域的磁感应强度增大时，圆形导体环的磁通量增加，产生感应电流，由楞次定律可知，感应电流的方向沿逆时针方向。另一方面，利用楞次定律的等效形式可知，为了阻碍磁通量的增加，导体环有收缩的趋势以使其面积减小，故选项D正确。

【辨析】虽然圆形导体环中有感应电流，但导体环所处的位置没有磁场，因此不能受到安培力的作用，则没有收缩趋势。再者，即使圆环面积略微变小了，但其面积仍然大于磁场的横截面，则磁通量不变。

【另解】由于磁通量增大，则圆环产生感应电流的磁场方向与原来磁场的方向相反，因此感应电流的方向为逆时针方向。或者说，变化的磁场在其周围产生感生电场，电场线为系列同心圆，沿逆时针方向，由于线圈导体位于电场中，则其自由电荷受到电场力的作用，发生定向移动，在线圈中形成电流，沿逆时针方向。由于整个通电线圈在电场中不会受到电场力的作用，则没有收缩或扩张的趋势，故选项B正确。

【小结】这类问题既可应用麦克斯韦的电磁场理论解答，也可应用原始的楞次定律进行解答，但不能利用楞次定律的等效形式来解答。在利用楞次定律的等效形式解题时，要注意线圈是否位于磁场中，若在磁场之外，则不受安培力的作用。若线圈在电场中，也不受电场力的作用。