天体运动易错问题分析

湖北

许 文

学习中防止错误，才能取得进步。认识每一道错题背后可能隐藏着的知识上的疏漏、理解上的偏差，透过错误表象看到其本质，往往比正确的做出一道题收效更大。本文分析天体运动中的易错问题，帮助同学们利用错题宝库来提升复习效能。

一、因乱套公式致错

【例1】空间站是一种在近地轨道长时间运行，可供多名航天员巡访、长期工作和生活的载人航天器。如图1所示，某空间站在轨道半径为R的近地圆轨道Ⅰ上绕地球运行，一宇宙飞船与空间站对接检修后再与空间站分离，分离后空间站仍在轨道Ⅰ上围绕地球运行，分离时宇宙飞船依靠自身动力装置在很低短的距离内加速，进入椭圆轨道Ⅱ上运行。已知椭圆轨道的远地点到地心的距离为 3.5R，地球质量为M，万有引力常量为G。则分离后飞船在椭圆轨道上至少运行多长时间才有机会与空间站进行第二次对接？

图1

飞船所在椭圆轨道的半长轴：

则飞船在轨道Ⅱ上运动的周期：

设再次对接所需至少时间为t，空间站比飞船多运行一周，则有：

飞船和空间站须同时到达椭圆轨道的近地点才能进行对接，故至少所需时间t应为T1、T2的最小公倍数，即t=27T1

二、因受力分析不清致错

【例2】西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，成功将第十一颗北斗导航卫星送入了太空预定轨道。这是一颗地球同步卫星，若卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上待发卫星随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列关系式正确的是 ( )

【错因】以上错解的原因在于混淆赤道上待发卫星、近地卫星及同步卫星的区别。它们的受力情况不同，近地卫星与同步卫星只受地球的万有引力作用，做圆周运动的向心力由万有引力提供；而地球赤道上的待发卫星除受地球的万有引力作用外，还受到地面的支持力，由这两个力的合力提供做圆周运动的向心力。

【答案】AD

【感悟】赤道上的物体、近地卫星、同步卫星之间的区别如下表。

比较内容赤道表面物体1近地卫星2同步卫星3受力分析万有引力与弹力万有引力向心力来源F引-FN=F向F引=F向重力GG=FN< F引G=F引线速度vv1=ω1Rv2=GMRv3=ω3(R+h)=GMR+hv1

续表

三、因运动分析不清致错

【例3】如图2所示为某天体系统的模型图。图中a为恒星，b、c为绕a运行的双行星，在它们的相互引力的作用下绕它们的共同质量中心O做圆周运动。已知O、a间的距离远大于b、c间的距离，b、c绕O点做圆周运动的周期为T，O点绕a做圆周运动的周期为2T，绕行方向均为逆时针方向。当a、b、c共线且c在a、b之间时，b上出现a的“全食”。以下说法中正确的是 ( )

图2

A．b、c的总质量一定小于a的质量

B．b、c绕O点运行的角速度可能等于O点绕a运行的角速度

C．连续两次“a全食”的时间间隔是T

D．连续两次“a全食”的时间间隔是2T

【错解】b、c双星系统在与a间的万有引力作用下绕a运行，b、c双星系统与a之间的万有引力大小相等，不能判断b、c的总质量与a的质量的大小关系；在图示位置b上出现a的“全食”， 由于b、c绕O点做圆周运动的周期为T，经历时间T，b、c系统的相对位置回到原位置，故连续两次“a全食”的时间间隔是T。选C。

【错因】以上错解的原因是对运动情况分析不清。(1)a、b、c三星系统中的b、c子系统质量中心O与a均绕三星系统的质心做圆周运动，但题给出“a为恒星”，又“O、a间的距离远大于b、c间的距离”，故a到三星系统的质心的距离很小，相对b、c子系统，a的质量应很大；(2)b、c绕O点做圆周运动的同时，还要考虑到O点也在绕a点做圆周运动，因此b、c也在绕a点转动。

【答案】AD

【感悟】本题中b、c组成一个双星小系统，b、c的质心O与a又组成一个双星大系统(三星系统)。如图3所示，双星系统模型有以下特点：

图3

(2)两颗星的绕行方向、周期及角速度都相同，即：T1=T2，ω1=ω2；

(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1+r2=L；

四、因模型建立不清致错

【例4】1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》指出：两个质量相差悬殊的天体(如太阳和地球)所在同一平面上有5个特殊点，如图4中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点．若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是 ( )

图4

A．该卫星绕太阳运动周期和地球自转周期相等

B．该卫星在L2点处于平衡状态

C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度

D．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处大

【错解】该卫星在L1、L2、L3、L4、L5这些拉格朗日点上，在太阳与地球的引力共同作用下，可以几乎不消耗燃料而绕太阳运动，因此该卫星在L2点相对太阳与地球处于平衡状态，合力为零；选B。

【错因】以上错解的原因是卫星在这些拉格朗日点的运动模型建立不清。卫星在拉格朗日点上，受太阳与地球的引力共同作用，与地球同步绕太阳做圆周运动。卫星在运动过程中与太阳、地球的相对位置保持不变。而物体在做匀速圆周运动时由合力提供向心力，是一种非平衡状态。

【正解】该卫星在这些拉格朗日点上保持与地球同步绕太阳做圆周运动，因此该卫星圆周运动的角速度、周期与地球绕太阳公转的角速度、周期相等；卫星由太阳与地球引力的合力提供向心力；该卫星在L2处绕太阳运动的半径较地球运动的半径大，由a=ω2r知该卫星的向心加速度较大；该卫星在L1点与L2点比较，做圆周运动的角速度相等，但在L2处圆周运动的半径较大，由F合=F向=mω2r知，该卫星在L2处受到的合力较大。

【答案】CD

五、因变轨实质不清致错

【例5】如图5所示，为了探测某未知星球，探测飞船载着登陆舱先在椭圆轨道Ⅰ上运行，在Q点变速后先进入椭圆轨道Ⅱ运行，再顺利进入圆轨道Ⅲ绕星球运行，展开对该星球的探测，则关于探测飞船 ( )

图5

A．在轨道Ⅱ上运动到P点的速率小于在圆轨道Ⅲ上运动速率

B．在轨道Ⅱ上运动到Q点的加速度小于在圆轨道Ⅲ上的加速度

C．从轨道Ⅱ上变轨到轨道Ⅲ上运动，必须在Q点减速

D．在轨道Ⅰ上运行的机械能最大

【错解】探测飞船在轨道Ⅱ上从Q点到P点的运动过程是减速运动，因此vP

【错因】以上错解的原因是对航天器变轨的实质不清所致。探测飞船由椭圆轨道Ⅰ变到椭圆轨道Ⅱ、由椭圆轨道Ⅱ变到圆轨道Ⅲ，都应在Q点瞬间适当减速，才能实现以上的变轨运动。

【答案】CD

六、因数学变换不彻底漏解

【例6】用m表示地球的通讯卫星(同步卫星)的质量，h表示离地面的高度，用R表示地球的半径，g表示地球表面的重力加速度，ω表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为 ( )

由万有引力充当向心力得：F=mω2(R+h) (4)

选BC。

【原因】以上漏解的原因是数学变换不彻底所致。卫星受到的万的引力提供向心力，而向心力可以有多种表达。因此，应结合具体的已知条件，进行有效的数学变换。

【正解】在以上漏解的基础上，将(4)式两边平方后与第(3)式相乘，可以消去h，得：

【答案】BCD