基于压缩感知的大规模MIMO系统导频优化及信道估计算法

金 凤，唐 宏，张进彦，尹礼欣

(重庆邮电大学移动通信技术重庆市重点实验室，重庆400065)

(*通信作者电子邮箱2530299308@qq．com)

0 引言

大规模MIMO(Multiple-Input Multiple-Output)技术作为5G通信的关键技术之一，利用大量空间自由度以提升系统容量和鲁棒性。为满足绿色无线通信系统更高数据吞吐量的需求，大规模MIMO技术已成为一种最具潜力的技术来提高频谱效率和能量效率［1］。为充分实现大规模MIMO技术优势，精确的信道状态信息(Channel State Information，CSI)的获取对于上下行信道起着至关重要的作用;然而，随着大规模MIMO系统发射天线数的不断增多，信道估计所需的导频开销也呈高比例增加，因此如何利用合理的导频开销实现精确的信道估计是下一代绿色无线通信系统最具挑战性的问题［2］。

为减小下行信道估计开销，许多研究采用时分复用(Time-Division Duplexing，TDD)通信方式［3］，即利用信道互易性直接从上行信道的测量结果中推断出下行信道状态信息。然而，由于相邻小区需要复用有限的正交导频，TDD通信方式会导致严重的导频污染问题。与TDD相比，基于频分双工(Frequency-Division Duplexing，FDD)模式的蜂窝网络具有低迟延和对称通信量的优势［4］，并且它目前已经广泛应用于无线通信系统，因此，对FDD模式下大规模MIMO系统信道估计的研究更具有实际应用价值。研究表明，无线通信系统中的信道冲激响应向量(Channel Impulse Response，CIR)具有稀疏性［5］，即CIR的绝大部分能量仅集中于较少路径上。因此，利用信道稀疏性，将压缩感知(Compressive Sensing，CS)理论应用到大规模MIMO信道估计中成为目前很受欢迎的一种技术［6］。

事实上，许多文献已应用CS技术来改善信道估计的性能。例如，文献［7］提出一种基于CS技术的低阶矩阵近似算法来提高TDD通信方式下大规模MIMO系统信道估计性能，但是该理论不适用于FDD系统;文献［8］依据FDD通信方式下大规模MIMO系统信道的时空特性提出一种减小导频开销的方式，但是随着基站端天线数量的增多，由不同发射天线的导频序列产生的干扰将会加剧;文献［9］利用无线信道的时间相关性提出一种适用于FDD大规模MIMO系统的稀疏信道估计机制，但是该文献并未考虑无线信道的空间相关性因素。目前，许多研究重点都在于大规模MIMO系统稀疏信号的重建算法的改进，很少考虑对导频进行优化以改善信道估计性能。合理设计导频放置方式不仅可以提高信道估计的可恢复性和信道估计精度，而且能够有效节省所需导频开销。文献［9］仅提到“伪随机”导频位置的概念，这种导频下标序列可以避免由随机导频造成的不确定性且兼具随机导频的良好性能，但该文献并未提出具体如何设计导频优化方案;文献［10］采用等间隔放置方式，但这种导频放置方式并不是最优的;文献［11］采用逐位置优化方案，该方案需对个体进行逐位置优化，计算复杂度较高。

本文针对以上问题联合利用无线信道的时间相关性和空间相关性，展开对基于CS技术的大规模MIMO系统导频优化设计及信道估计的研究。对于下行FDD大规模MIMO系统，由基站向用户发射非正交导频信号。在基站端，本文以最小化观测矩阵的互相关为优化目标设计一种伪随机导频方案，少量导频信号依据最优导频设计图案确定性地分布在频带中。在用户端，本文联合利用大规模MIMO信道的时空相关性设计了一种CSI估计算法，用户利用该算法可以获取信道的公共稀疏支撑集，进而实现低导频开销的信道估计，并将最终估计结果反馈给基站。

1 系统模型

1．1 时空相关性

研究表明，时域无线MIMO信道通常表现出稀疏性。路径延迟比路径增益慢得多，因此时域CIR向量中非零元素的位置变化很慢可近似为常数，即相邻L个OFDM信号表现出时间相关性［10］，用式(1)表示为:其中:M为基站端发射天线数，L为OFDM符号数，gm，n=为第 m 个发射天线和一个用户间的时域CIR向量，NCIR表示时域CIR向量的长度，表示gm，n的稀疏支撑集。

CIR向量gm，n中非零系数的个数K远小于NCIR，又因为不同发射接收天线对的CIR向量具有相似的路径延迟，因此M个不同发射接收天线对表现出空间相关性［12］，用式(2)表示:

综合式(1)和式(2)可知，无线MIMO信道表现出空时相关性。本文联合利用无线信道的空时相关性来设计大规模MIMO系统模型。

1．2 大规模MIMO系统

考虑FDD大规模MIMO系统，基站端配备M根天线，用户配备单根天线。假设每个包含导频的OFDM符号有NFFT个子载波，导频子载波个数为Np。由基站端发射非正交导频信号，pm为Np×1维第m根发射天线的导频序列;μ={c1，c2，…，cNp}为导频子载波的下标集(所有发射天线完全相同)。在用户端，离散傅里叶变换(DiscreteFourier Transformation，DFT)后第n个包含导频的OFDM符号的接收序列rn为:

其中，Pm为Np×Np维对角矩阵;F为NFFT×NFFT维DFT矩阵，第(k，l)项可用exp(－j2πkl/NFFT)表示;FNp为Np×NFFT维子矩阵，该子矩阵由F中行下标属于μ的行向量组成;Π =［e1，e2，…，eNCIR］表示NFFT×NCIR维的CIR矩阵的坐标矩阵，ei为第i个长度为NFFT的坐标向量;zn表示Np×1维加性高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise，AWGN)向量，服从独立同分布。定义一个Np×NCIR维矩阵:

则式(3)可以表示为:

对式(5)进一步简化，可得:

其中，Ψ =［Ψ1，Ψ2，…，ΨM］为 Np× MNCIR维矩阵;gn=×1维 CIR向量。因此式(6)可以表示为:

对于一个无线大规模MIMO信道，连续的OFDM信号具有相同的导频模型，因此L个包含导频的OFDM符号接收序列可表示为:

定义一个M×L维矩阵:

2 导频优化方案

本文采用非正交导频设计方式，即不同发射天线的导频占用完全相同的子载波，并且不同发射天线的导频序列互不相同。为解决大规模MIMO系统稀疏信道恢复时导频子载波产生的干扰，在压缩感知理论的框架下需要保证由导频决定的观测矩阵尽可能满足受限等距性(Restrict Isometry Property，RIP)，而实际设计时通常以最小化观测矩阵的互相关为设计准则［13］。由式(4)可知，测量矩阵Ψm是由导频符号pm取值和导频位置μ={c1，c2，…，cNp}决定。即测量矩阵Ψm的互相关值越小，越接近RIP，对CIR的估计越精确。定义矩阵Ψm的互相关为:

其中:(Ψm)i表示Ψm的第i列，上标H表示矩阵的共轭转置。将式(4)代入式(11)中，得到:

假设发射的导频功率相同，即:

此时，互相关函数f仅与导频位置和导频功率有关，与导频位置相比，导频功率对f影响较小，因此可以假设E=1，对式(12)进一步简化，可得:

因此，大规模MIMO系统导频优化问题就可以转化成对式(14)求最小化问题，则最优导频位置表示为:

由于大规模MIMO系统中NFFT和Np值相对较大，采用穷举法直接列出所有的导频位置不太现实;因此本文以最小化观测矩阵的互相关为优化目标，建立合适的遗传模型并提出算法1，得到最小互相关对应的导频子载波下标，即最佳导频放置方式。算法1具体过程如下:

步骤1 初始化种群规模Msize，最大遗传代数T，交叉概率pc，变异概率pm。

步骤2 采用实值编码随机生成Msize个个体(导频位置序列)作为初始群体X={x1，x2，…，xMsize}，导频数量Np作为个体长度。

步骤3 以测量矩阵互相关的倒数作为个体的适应度F(xi)，i=1，2，…，Msize，最大适应度值 Fmax对应的个体为最优个体。

步骤4 选出适应度最强的两个体:父代1、2，同时生成两个随机数 a，b∈ (0，1)。

步骤5 若a＜pc，对父代1、2执行交叉操作:

1)生成一个0-1随机序列，长度为Np;

2)令1对应基因位置的两个个体执行基因互换操作，0对应的基因不变，从而产生两个新个体;

3)若后代新个体基因间出现重复，则用另一父代与相应位置对应的基因替换，直至无重复;

4)对个体中基因从小到大排序，即子代1、2。

否则，直接将父代1、2视为子代1、2。

步骤6 若b＜pm，对子代1、2执行变异操作:

1)随机选择一个基因变异位置;

2)随机产生一个1～NFFT的基因(除自身以外)，用它代替变异位置处的值;

3)若新个体中的基因重复出现，则再从1～NFFT中随机选择一个元素替换，直至没有重复;

4)对个体中基因从小到大排序。

步骤7 (内循环)将新生成的子代1、2存入群体X1中，计算适应度值，继续执行步骤4，直到满足一定的循环次数(大于等于Msize)，从X1中选取适应度强的Msize个子代作为新的群体X2。

步骤8 从X2中选出最优个体xbest及适应度值Fbest最大的个体。判断当前种群中最优个体的适应度是否等于前一代中最优个体，如果连续gen代的个体适应度相等，则结束循环，得到的适应度最大的个体xbest，即最佳导频放置序列。否则继续执行步骤4。

采用非正交导频设计可以大幅降低大规模MIMO信道估计过程中产生的巨大导频开销，为减小信号重构时由导频子载波造成的干扰同时提高信道估计性能，本文基于观测矩阵最大列相关最小化准则提出了伪随机导频优化算法1。算法1对遗传模型进行改进，并引入了内、外循环机制来保证种群中最优个体的获取，从而提高了信道估计的精确度。

3 CSI估计算法

利用Jacks信道模型［14］可以得到CIR矩阵复数增益的时间相关性，表示为:

其中:1≤m，n≤M，J0(·)为零阶贝塞尔函数，fd为多普勒频移，Ts为相邻OFDM信号的时间间隔。本文利用线性最小均方误差(Linear Minimum Mean Square Error，LMMSE)估计算法计算，表示为:

其中，wi为M×Np维与LMMSE估计相关的系数［14］，表示为:

已知信道稀疏支撑集，由式(8)和式(16)可得互相关矩阵的两个不同增益

利用式(1)和式(2)的空时相关性，本文基于LMMSE估计提出算法2，通过自适应获取信道稀疏度和稀疏支撑集以实现对大规模MIMO信道的估计，算法2具体步骤如下:

输入 Np×L维接收信号{珋r}，Np× MNCIR维感知矩阵i个分量的方差{Ai，i}，i=1，2，…，NCIR。

步骤1 初始化迭代值 p=1;稀疏支撑集 Λ(p－1)=Ω(p)=;稀疏度 K，残留矩阵 R(p－1)= 珋r。

步骤2 根据最大相关性原则选取感知矩阵Φi(i=1，2，…，NCIR)和残留矩阵R(p－1)最匹配的列的下标，从而确定支撑集 Λ(p－1):

其中‖·‖2表示l2范数。

步骤3 更新估计得稀疏支撑集:

算法2与文献中［9］的局部公共支撑算法相比具有以下几方面差异:1)局部公共支撑算法利用一个支撑向量来确定CIR向量的非零元素位置;在算法2中使用公共支撑集来确定CIR向量中的非零元素位置然后进行LMMSE估计。2)局部公共支撑算法仅考虑单个发射接收天线对的情况并从一个低维度测量向量中重构一个高维度稀疏向量;算法2考虑了许多个发射接收天线对的情况，利用大规模MIMO信道的空时相关性从低维度测量矩阵中恢复高维度稀疏矩阵，这种方式大幅减少了算法的运算时间，并能高效地恢复原始信号，从而提高了信道估计的精确度。

4 仿真实现及分析

为了验证提出的算法对于FDD大规模MIMO系统具有有效性，本文进行了如下仿真，系统参数为:OFDM子载波数N=4096，基站端配备的天线数M=64，每根天线中相邻OFDM信号的时间间隔Ts=0．5 ms，多径信道的最大延迟扩展为 4．88 μs，相邻子载波间隔为 7．5 kHz，CIR 向量的长度NCIR=4．88 μs× 7．5 kHz× 4 096≈150，相邻 OFDM 信号数R=2，多普勒频移fd=70 Hz，假设CIR向量中随机分布的非零元素数K=10% ×NCIR=15。假设非正交导频信号的随机生成，导频子载波下标集由算法1生成，导频开销比为(Np/N)×100%。假设算法1中连续遗传代数为gen=0．4T，交叉概率为 pc=0．6，变异概率为 pm=0．03，初始群体数Msize=10。

4．1 不同导频优化方案下SNR对MSE性能的影响

图1是使用连续导频放置方式、等间隔导频放置方式［10］、逐位置优化方案［11］、随机搜索优化方案［15］以及算法 1进行信道估计时归一化均方误差(Mean Square Error，MSE)随信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)变化曲线。假设最大遗传代数T=10，导频开销比为1%，此时表1计算出SNR=5 dB时各种导频放置方式对应的测量矩阵互相关值。其中算法1(最优)指经算法1计算得到的最小互相关值对应的导频放置方式，算法1(最差)指经算法1计算得到的最大互相关值对应的导频放置方案。结合图表可以看出互相关值越小，MSE越小，信道估计性能越好且算法1性能最好，该结论验证了测量矩阵互相关最小特性。

图1 不同方案下SNR对MSE的影响Fig．1 MSE versus SNR under different scheme

表1 SNR=5 dB时不同方案的互相关值对比Tab．1 Cross-correlation comparison of different schemes with SNR 5 dB

4．2 不同导频优化方案下导频开销比对MSE性能的影响

图2是使用连续导频放置方式、等间隔导频放置方式、随机搜索优化方案、逐位置优化方案以及算法1进行信道估计时MSE随导频开销比的变化曲线。假设最大遗传代数T=10，SNR=15 dB，此时表2计算出导频开销比为1%时各种导频放置方式对应的互相关值。结合图表可以看出互相关值越小，MSE越小，信道估计性能越好且算法1(最优)性能最好，因此可以通过调节算法1相应参数来减小互相关值进而提高信道估计性能。为简单起见，后文所提算法1均指算法1(最优)。

图2 不同导频优化方案下导频开销比对MSE的影响Fig．2 MSE versus pilot overhead ratio under different pilot optimazation scheme

表2 导频开销比1%时不同方案的互相关值对比Tab．2 Cross-correlation comparision of different schemes with pilot overhead ratio of 1%

4．3 导频开销比对最小互相关值的影响

图3是使用算法1进行信道估计时最小互相关值随导频开销比的变化曲线。假设最大遗传代数T=10，SNR=15 dB。由图知随着导频比开销增加，测量矩阵最小互相关值逐渐减小。

图3 导频开销比对最小互相关值的影响Fig．3 Influence of pilot overhead ratio on minimum cross-correlation

4．4 最大遗传代数对最小互相关值的影响

图4是使用算法1进行信道估计时最小互相关值随最大遗传代数变化曲线。令导频开销比为3%，SNR=15 dB。由图知随着最大遗传代数增多，测量矩阵最小互相关值逐渐减小。

图4 最大遗传代数对最小互相关值的影响Fig．4 Influence of maximum genetic number on minimum cross-correlation value

4．5 不同导频优化方案算法复杂度和运行时间对比

表3给出连续导频放置方式、等间隔导频放置方式、随机搜索优化方案、逐位置优化方案以及算法1的算法复杂度和平均运行时间情况。仿真中导频开销比为1%，SNR=15 dB，最大遗传代数T=10。算法1运算复杂度分析如下:步骤2复杂度为O(Msize)，步骤3复杂度为O(MsizeNpNCIR2)，步骤4和6复杂度为O(MsizeT)，步骤5复杂度为O(MsizeNp2T)，步骤7复杂度为O(MsizeNpNCIR2T)，经过对比分析可知算法1时间复杂度为O(MsizeNpNCIR2T)。由表3可知逐位置优化方案由于采用内、外循环且需对个体逐位置优化导致运行时间最长，其次是采用内、外循环机制的算法1，随机搜索优化方案仅含有单层循环耗时略短，而连续、等间隔导频放置方式运行时间最短但信道估计性能很差。

表3 不同导频优化方案运算复杂度和运行时间对比Tab．3 Running time comparison of different schemes

4．6 不同信道估计算法下导频开销比对MSE性能的影响

图5比较局部公共支撑算法［9］、自适应结构子追踪(Adaptive Structured Subspace Pursuit，ASSP)算法［10］、逐步正交匹配追踪(Stepwise Orthogonal Matching Pursuit，StOMP)算法［16］、正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法［17］以及本文提出的算法2在不同导频开销时的MSE性能。假设信道估计中导频设计方案利用算法1产生的伪随机导频序列，信噪比SNR=15 dB。

图5 不同信道估计算法下导频开销比对MSE的影响Fig．5 MSE versus pilot overhead ratio under different channel estimation algorithms

从图5中可以看出算法2的性能优于OMP算法、StOMP算法、局部公共支撑算法和 ASSP算法，因为该算法利用MIMO信道的空时相关性，且采用LMMSE方式进行矩阵估计以获取信道稀疏度及稀疏支撑集，改善了信道估计性能。ASSP算法在矩阵估计过程中采用的是LS估计，LS估计没有LMMSE估计性能好。当导频开销比大于等于3%时，算法2的MSE值趋于稳定，表明算法2在低导频开销时能够精确地获取信道稀疏度和稀疏支撑集。

4．7 不同信道估计算法下信噪比对MSE性能的影响

图6比较了局部公共支撑算法、ASSP算法、OMP算法、StOMP算法以及算法2在不同信噪比时的MSE性能，假设导频开销比为3%。从图6中可以看出随着SNR的增加，所有算法的MSE逐渐减小，且算法2的性能优于其他几种算法。

4．8 不同信道估计算法运算复杂度和运行时间对比

表4给出了局部公共支撑算法、ASSP算法、OMP算法、StOMP算法以及算法2的运算复杂度和平均运行时间运算时间对比。仿真中SNR=15 dB，导频开销比为3%。算法2运算复杂度分析如下:步骤2复杂度为O(NpMNCIRRK)，步骤3复杂度为O(K)，步骤4复杂度为O(NpM2K2)，步骤5复杂度为O(MNp

2K)，步骤6复杂度为O(MNpK2R)，经过仿真对比，算法2的主要运算复杂度为Ο(NpM2K2)。通过分析表4可以看出，算法2比局部公共支撑算法、OMP算法和StOMP算法运行时间更短;ASSP算法运行时间最短，因为该算法采用LS估计和自适应更新稀疏度方法。局部公共支撑算法运算时间最长，因为该算法利用支撑向量b存储CIR向量非零元素位置，增加了算法复杂度。

图6 不同信道估计算法下SNR对MSE的影响Fig．6 MSE versus SNR under different channel estimation algorithms

表4 不同信道估计算法运算复杂度和运行时间对比Tab．4 Operation times of different scheme comparison

5 结语

针对基于压缩感知的FDD大规模MIMO系统，在基站端，本文设计了一种非正交伪随机导频优化方案，该方案对遗传模型进行改进，并引入了内、外循环机制来保证种群中最优个体的获取;在用户端，本文设计一种基于空时相关性的CSI估计算法，该算法利用LMMSE进行矩阵估计以精确获取信道稀疏支撑集并重构原始信号。仿真结果验证了本文工作的有效性，所提算法能够在降低导频开销的同时保持良好的信道估计性能。