错位相减法的满分解法

摘 要 错位相减法是一种常用的数列求和方法，且也是高考的高频考点、重点、难点，错位相减法结果的化简复杂而繁琐，所以我们将采取公式的形式来计算错位相减法的结果，将非标准题型化归为 ，从而达到公式求解的目的。

关键词 错位相减法；化归；标准题型

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）33-0216-01

数列模块，是高中数学的重要组成部分，也是高考必考的知识点。而在求数列的前n项和问题中，错位相减法，是高中同学的噩梦。因此，找到合适的公式解法可以略去诸多计算方面的繁杂，并且能够保证结果的绝对正确性。

一、错位相减法概述

错位相减法是一种常用的数列求和方法，在人教A版《数学5》[1]中在等比数列求和公式的推导的方法就使用到了错位相减法。在平时模拟考试或者是高考中，错位相减法也经常涉及，是高考的一个高频高点、重点、难点。而且我们大部分老师都为学生总结了这样的题型，当数列的通项公式是一次函数×等比数列时用错位相减法。但是由于错位相减法复杂而繁琐的计算，使得学生感到力不从心，即使知道用错位相减法解此题，但是结果往往算不出来。所以我将从这一现实出发，寻求一个公式来有效解决错位相减法的结果算不对的问题。

二、公式推导

我们不妨将“数列 ，（ ）求該数列的前 项和”称为错位相减法的“标准题型”，下面我们用错位相减法来求该数列的和：

解：

两式相减得：

化简可得： ，令 ，

则 ，令 ，

则 （其中 ， ）

三、例题讲解

例1：求数列 的前 项和 。

解：

两式相减得：

化简可得：

其中 的求解过程请在草稿纸上完成如下

，从而

例2：求数列 的前 项和 。

解：

两式相减可得：

化简可得：

其中 的求解过程请在草稿纸上完成如下：

由于此题给的通项公式并不是标准形式，所以我们自然想到将其化归为标准形式： ，即 ，所以 ，

从而

例3：求数列 的前 项和 。

解：设

则

两式相减得：

化简可得：

其中 的求解过程请在草稿纸上完成如下：

草稿纸上化归标准题型并计算： ，即 ，代入公式即可得

从而

四、结束语

由于课堂上教师讲解错位相减法的应用时，举的例子几乎都是上述“等差乘等比型”数列的求和，因此大多数学生认为错位相减法也就只能应用在这种类型的数列求和上，但实际上并非如此，在数学解题过程中，应根据数学问题的不同特点与要求，正确区分不同类型的数学问题，分别采用不同的推理思想。

参考文献：

[1]高中数学必修5[M].人民教育出版社，2006.

作者简介：顾超（1986-），男，彝族，本科，教师，籍贯：贵州赫章，研究方向：高中数学。