排列组合解题之拙见

卢佳荣

摘 要：在解决排列组合问题过程当中，学会总结，从该模块入手，寻求解决排列组合问题的解题思想方法。

关键词：解题方法 两个特殊

一、相邻问题（捆绑法）

某些元素要求必须相邻时，可将这些元素看成一个，然后与其他元素排列。

Eg1、7 人站成一排，甲、乙、丙三人须相邻，有多少种不同排法？

[析]：把甲、乙、丙三人看作一人以保证三个人相邻，与其余 4 人共 5 个人全排列，有A55种排法，切勿忘记而甲、乙、丙三人之间又有A33种排法，故共有A33·A55种排法

二、相离问题（插空法）

某些元素要求必须相离时，可将其他元素全排列，再将相离元素排入已排好的元素的左右空隙中

Eg2、7 人站成一排，甲、乙、丙三人彼此互不相邻，有多少种不同排法？

[析]：先安排除甲乙丙以外的四人共有A44中排法，四个人所留下的五个空再排入甲乙丙三人共有A53种排法，故共有A44·A53种排法。

三、同种元素分配问题（隔板法）

Eg3、学校组织篮球比赛，从4个班级中挑选12人组成一支代表队，每班至少一人，共有多少种不同分配方案

[析]：为了保证每班至少一人，我们可把4个班级看成4个盒子，12人看成完全相同的球，则4个盒子两两之间共有3个隔板，而12人之间共有11个空隙，将3个隔板放入11个空隙中保证了每个盒子至少一个球，所以共有C113种分配方案

四、错位问题（树型图）

Eg4、甲乙丙丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同的取法

[析]：树形图解决排列组合问题是一种比较直接的办法，对结果总数较少的问题可直接作图分析，结果不重不漏，如该题的树形图结构

五、抓住“特殊”合理分析

对于事件发生的过程，常常遇见含有约束条件的问题，应当做到从特殊条件入手（如特殊位置、特殊元素），按照事件发生过程，合理分类与分布，层层推进，做到不重不漏！

Eg5、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 种

[析]：由题目所提供条件，很容易能确定出特输元素：甲和乙及特殊位置：排头与排尾。解决问题可分两类从甲排尾与甲不排尾（乙排头与乙不排头）入手。

甲若排尾则此时余下四个位置可全排列共有A44=24种排法

甲若不排尾则此时排尾只能从除甲乙外3人选1人排，有A31种排法，再考虑排头，则排头扣除已排掉的一人和甲不能排可从余下3人再选1人排，也有A31种排法，中间三个位置再全排列有A33种排法，故此时共有A31 A31 A33=54种排法，综上不同排法共有78种.

此类问题常见还有如：5列火车进入轨道时，快车A不能停放在第一轨道，慢车C不能停放在第三轨道，共有多少种不同停放方法

六、顺序固定问题

对于某些元素顺序固定的排列问题，可将所有元素全排列，然后除以顺序固定的几个元素的全排列。

Eg6、7个人排成一排，其中甲乙丙三人顺序一定，则共有 种排法？

[析]：七个人排不考虑甲乙丙三人顺序共有A77种排法，而甲乙丙三人顺序一定所以共有 种排法

七、平均分配问题

分配过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的，若属于平均分成几堆就除以所分堆数的全排列（如⑶），若是部分均分则可先选再分再排（如⑷）

分配过程种可把握先选后排（先分后排）的原则

Eg7、将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？

（1）分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；

（2）分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；

（3）分给甲、乙、丙3人，每人2本；

（4）分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；

（5）分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本

[析]：

（1）是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为 ；

（2）是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为 ；

（3）是指定人应得数量的均匀问题：

可先将书平均分成三堆（无顺序之分）故有 种分法，再将平均分成的三堆给甲乙丙三人共有 种方法；

（4）是部分均匀地分给人的问题：先从6本种选4本，再将余下两本平均分成两堆有： 种方法，分完之后再给甲乙丙三人共有 种方法

（5）是部分均匀地分堆的问题：共有 种方法

Eg10、有四个不同的小球，全部放入四个不同的盒子内，恰有两个盒子不放球的放法总数为 ___

[析]：先选取两个不放球的盒子，有 种选法；再把4个球分成两堆，可分为两堆各为1，3个或两堆各有2个球这两类，

有 种；再把两堆分别放入两个盒子里有 种：

所求放法总数为 种

八、配对问题

成对元素出现的问题，若要成对出现则直接选取，若取出元素不成对，则可先取成对再从每对中各取一个元素

Eg8、从有10双不同的鞋子放在同一口袋中，从中任取4只，试求下列情况结果

①4只鞋子没有成双的②4只鞋恰成两双③4只鞋中恰有兩只成双两只不成双

[析]：①4只鞋子没有成双，可从10双鞋中先取出4双，再从每双中各取一只，故共有 种取法②4只鞋恰成两双，可直接从10双鞋中取出2双，共有 种取法③4只鞋中恰有两只成双两只不成双，分成两步，第一步先取成双的两只有 种取法，第二步再从余下的九双当中取出两双，再从两双中各取1只有 种取法，故共有 种取法

九、涂色问题

从构造的特殊区域出发，即特殊位置，特殊分析。

Eg9、如图，一个地区分5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种

[析]：特殊位置，特殊分析，因区域①与其它四个位置都相邻，所以可考虑先涂①，有4种涂法，②④，③⑤处于对角区域，须考虑颜色同与不同。不妨从②④出发，当②④涂同种颜色时，此时共有 种涂法；当②④涂不同种颜色时，此时共有 涂法，由分类计数原理，共有48+24=72种涂法

十、立体几何中的排列组合问题

Eg10、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）

（A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对

[析]：三棱柱共6个顶点，6个顶点可连成 个不同的四面体，而每个四面体有三组异面直线，故共有 对异面直线解答排列组合问题，首先理解两个原理的区别，抓住概念的本质，其次分析问题过程中，从题目本身表述的意思作为解决问题的出发点，分析问题所属类型，最后抓住解决排列问题先选后排的原则，及特殊位置、特殊元素、特殊分析的方法。