用好特殊点，巧解双曲线

☉江苏省镇江市实验高级中学 张 强

纵观近年高考数学试卷中的选择题和填空题，圆锥曲线中双曲线的题目出现的频率非常高，亮点也颇多.处理好此类问题，除了熟练掌握双曲线的定义、方程与几何性质外，还要结合题目中的已知条件，准确用好题中对应的特殊点，从而避免走弯路，以达到快速、有效、准确解题的目的.

一、参数值的求解

分析：常规方法是设出点P的坐标，确定直线APB的方程，结合双曲线C的两条渐近线方程得到点A、B的坐标，根据平面向量的线性关系以及三角形的面积公式确定参数的关系式，再与双曲线方程相结合来确定参数a的值.参数众多，计算量大，繁杂无序.而通过特殊点的选取，直接利用平面向量的线性关系确定A点、B点对应坐标的关系，结合三角形的面积公式进而得以求解，再利用线性关系所对应的坐标关系来求解相应的参数a的值，处理简单，目标明确.

解析：由于点P是双曲线C右支上的任意一点，取其特殊点P位于双曲线C的右顶点处，

点评：对于变化不定的坐标关系问题，通过特殊点的选取，使得对应坐标关系更为清晰，从而方便构造之间的数量关系，简化运算，从而使得求解过程更为明确，处理方式更为简单巧妙，同时又简化运算，提高效率.

二、线段长度的求值

例2 已知O为坐标原点，设F1、F2分别是双曲线E：的左、右焦点，点P为双曲线E的左支上任意一点，自点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=（ ）.

（A）a （B）b （C）2a （D）2b

分析：常规方法是确定点P的位置，连接PF1、PF2，延长F1H交PF2于点Q，结合角平行线的性质以及双曲线的定义得到|QF2|=2a，再结合中位线定理即可得到|OH|的值，利用双曲线的定义来处理，要求必须数形结合，并借助平面几何的相关知识来处理，技巧性要求高.而通过特殊点的选取，淡化双曲线的相关定义与几何性质，简化运算，可以更为有效快捷的处理与解决问题.

解析：由于点P是双曲线E的左支上任意一点，取其特殊点P位于双曲线E的左顶点处，此时F1、P、F2三点都在x轴上，那么∠F1PF2为平角，则自点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，此时垂线为x=-a，P、H重合，可得|OH|=a.故选A.

点评：对于变化不定的点的位置问题，通过特殊点的选取，使得圆锥曲线问题平面几何化，处理起来更为直观快捷，从而降低对双曲线定义、平面几何综合知识的熟练掌握与应用的要求，使一般问题特殊化，运算起来更为快捷方便，而且不失一般性.

三、数量积的转化

（A）a2（B）b2（C）2ab （D）a2+b2

分析：常规方法是设出点P的坐标，结合双曲线C的两条渐近线方程得到点R、Q的坐标，结合平面向量的坐标运算与数量积来化简、判断.而通过特殊点的选取，巧妙化简，进而更加快捷的确定相应的答案.

解析：由于点P是双曲线C上的任意一点，取其特殊点P位于双曲线的顶点处，此时直线PQ与x轴重合（R、Q与坐标原点O重合），

点评：对于变化不定的平面向量问题，通过特殊点的选取，使一般问题特殊化，使得直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量的数量积的运算问题更为简单，运算起来更为快捷方便，而且不失一般性.特殊点处理，巧妙化解决.

四、几何图形的处理

分析：常规方法是设出点P的坐标，进而确定直线PR的方程，联立直线方程求得点R的坐标，再结合点到直线的距离公式求得点P到直线OR的距离，代入四边形面积公式来求解.而通过特殊点的选取，巧妙转化平行四边形PQOR为菱形，利用渐近线的斜率确定底边OP所对应的高，进而结合三角形的面积公式来求解，更为快捷简单.

解析：由于点P是双曲线C右支上的任意一点，取其特殊点P位于双曲线C的右顶点处，

此时|OP|=a，根据双曲线C的渐近线方程的性质可知此时平行四边形PQOR为菱形，

点评：对于变化不定平行四边形问题，通过特殊点的选取，使得平面图形简单化，从而求解起来更为直观简单，处理方式更为巧妙，简化运算，提升效益.涉及平面几何图形的求解问题，经常采取此特殊法处理，寻找特殊的线段、三角形、四边形等特殊图形来分析与处理，从而使得问题解决起来更直观有效.

五、取值范围的确定

分析：先根据双曲线的定义得到关系式|PF1|=|PF2|+2，通过分类讨论，结合极限思维确定点P的特殊位置，确定当PF1⊥PF2时与当F1F2⊥PF2时关系式的最值，数形结合即可得△F1PF2为锐角三角形时关系式|PF1|+|PF2|的取值范围.

当点P满足PF1⊥PF2时，此时有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，把|PF1|=|PF2|+2代入，整理有|PF2|2+2|PF2|-6=0，解得|PF2|=-1（负值舍去），此时有|PF1|+|PF2|=2；

当点P满足F1F2⊥PF2时，此时有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，把|PF1|=|PF2|+2代入，整理有|PF2|=3，此时有|PF1|+|PF2|=8；

由于△F1PF2为锐角三角形，数形结合可得|PF1|+|PF2|∈（2，8）.

点评：对于变化不定的点的位置问题，通过特殊点的选取，结合直角三角形的性质并结合勾股定理建立相应的关系式，再结合已知定义所得的关系式加以联立求解，通过极端策略，利用“两边夹”来确定对应的取值范围.这里巧妙应用在极端策略时对应的特殊点的位置处理，可以有效地避开抽象、复杂的运算，独辟蹊径，降低解题难度、化简相关运算、优化解题过程，起到事半功倍的效果.

其实，解析几何中的基本概念、基本方程、基本公式等都是高考中常考的重要知识点之一，对于考查的选择题和填空题，有时题目比较容易，有时题目比较难，但都不要轻视，要通过动手、动脑，融会贯通，化一般为特殊来巧妙处理，真正达到“动后熟悉，熟后思考，思后悟理，悟后掌握”的解题效果.H