平滑重构稀疏贝叶斯学习测向算法

2018-07-23陈璐毕大平潘继飞

航空学报 2018年6期

陈璐，毕大平，潘继飞

1. 国防科技大学电子对抗学院, 长沙 410073 2. 安徽省电子制约技术重点实验室, 合肥 230037

在信号处理领域中，波达方向(Direction of Arrival, DOA)估计一直是研究的热点问题。在阵列信号处理中，大量的高分辨角度估计算法被提出，如多重信号分类(MUltiple SIgnal Classification，MUSIC)算法、信号参数估计旋转不变技术(Estimation Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)、最大似然(Maximum Likelihood , ML)算法等[1-4]。在均匀线性阵列中，对于传统角度估计算法而言，被估计辐射源个数不能超过均匀线阵阵元个数，极大地限制了实际应用，而通过研究发现非均匀线阵能够提高参数估计的自由度(Degrees of Freedom, DOF)，因此，非均匀线阵测向问题成为近来研究的热点[5-7]。典型的非均匀线阵有：最小冗余阵列、互质阵列、嵌套阵列。相对于另外两种阵列而言，嵌套阵列由于角度估计自由度高，阵元位置存在闭式表达式，因此，嵌套阵列的相关研究受到广泛关注。

阵列信号处理技术应用于实际过程中存在许多问题，如互耦效应、阵元增益和相位失配、阵元位置误差、模型失配、多径效应等。其中互耦效应是由于阵元间的相互干扰造成的，阵元间隔越大，互耦效应越小[8-10]。嵌套阵列的第一级阵列为紧凑阵列，在实际应用中，必然受到互耦影响，导致测向精度严重下降。常用的降低互耦效应的方法是：在设计阵列时，尽量提高阵元间隔，增加阵元稀疏度，以减小互耦影响；在阵列结构固定时，建立互耦矩阵模型，通过估计互耦矩阵进行互耦补偿，部分抵消阵元间的相互影响提高阵列测向鲁棒性[11-12]。文献[13]已经证明，在互耦测向模型的基础上，已知阵列互耦矩阵的前提下，传统测向算法可以有效降低互耦影响。但是对于任意结构的非线性阵列，互耦矩阵往往不存在对称结构，因此估计较为困难。针对嵌套阵列这种非线性阵列易受互耦效应影响的问题，文献[14-15]通过对原有嵌套阵列阵元位置的优化，提高了阵列稀疏度，降低了阵元间的互耦效应，但是文献中的优化方式，仅仅将嵌套阵列稀疏化，没有扩展其差分共阵[16]的自由度。为增加嵌套阵列阵元稀疏度的同时，提高原嵌套阵参数估计自由度，本文通过对二级嵌套阵列(Two Level Nested Array, TLNA)阵元位置进行调整，提出了两种不同的平移嵌套阵列结构，不仅提高了阵列稀疏度，降低了阵元间的互耦效应，而且扩展了差分共阵的自由度，增大了虚拟阵列孔径，同时保证差分共阵“无孔”。

文献[16-17]中的嵌套阵列测向方法为空间平滑多重信号分类(Spatial Smoothness MUltiple SIgnal Classification, SS-MUSIC)算法，该算法通过对阵列接收信号协方差矩阵进行矢量化，构成新的观测信号，通过MUSIC算法进行角度估计，该算法精度较高，但是算法易受噪声影响，并且当阵列接收数据较多时，由于需要对协方差矩阵进行频繁变换，使算法计算量较大。近年来，压缩感知(Compressed Sensing, CS)理论被应用于角度估计领域，使阵列测向精度得到进一步提高[18-20]。压缩感知理论的主要优势在于避免了对协方差矩阵的运算，但是将压缩感知理论应用于嵌套阵列测向中主要存在观测矩阵维度较高，计算复杂度大的问题[21-22]。

本文针对将稀疏贝叶斯学习算法应用于嵌套阵列计算量大的问题，提出了平滑重构稀疏贝叶斯学习(Smooth Reconstruction Sparse Bayesian Learning, SR-SBL)算法，算法将阵列接收信号协方差矩阵矢量化之后构成的观测信号进行重构，使单测量矢量(Single Measurement Vector，SMV)贝叶斯模型变为多测量矢量模型，缩减了观测矩阵的维度，对新的观测值进行奇异值分解，降低了信号空间维度，去除了部分信号噪声，然后推导了多测量矢量稀疏贝叶斯学习迭代模型，有效降低原有稀疏贝叶斯学习(Sparse Bayesian Learning，SBL)算法的复杂度。仿真分析表明，本文提出的两种平移嵌套阵列结构有效提高了原嵌套阵列形成的虚拟阵列的测向自由度，增大了阵元稀疏度，SR-SBL算法有效降低了原测向算法的计算复杂度，提高了测向精度。

1 嵌套阵列互耦测向模型

图1为多级嵌套阵列结构图，多级嵌套阵列第一级为紧凑线阵，阵元间存在互耦影响，因此，需要建立互耦测向模型。

假设嵌套阵列接收到从K个不同方向入射的窄带信号，θi∈[-π/2,π/2](i=1,2,…,K)。在阵元间存在互耦效应的条件下，阵元数M的嵌套阵列接收辐射源信号模型为

x(n)=CA(θ)s(n)+v(n)

(1)

(2)

式中：cn m为阵元n和阵元m之间的互耦系数，其大小与阵元间距负相关，表达式为

图1 多级嵌套阵列结构图Fig.1 Structure diagram for multilevel nested array

其中：B为互耦效应最大间距，两个阵元间距小于B时，相互之间存在互耦影响，大于B时，互耦影响为0；f(dn m)为互耦函数，与距离dn m为负相关。通过互耦评价函数式衡量阵列互耦效应大小:

(3)

2 平移嵌套阵列结构

二级嵌套阵列由一个紧凑阵列和一个稀疏阵列组成，在实际应用中，作为嵌套阵列的第一级紧凑阵需要满足d≤λ/2,由于阵元位置密集，因受到互耦效应影响，导致阵列测向性能下降。本文提出一种平移嵌套阵列结构，可以通过调整原嵌套阵列的阵元位置，能够提高阵元稀疏度，减小互耦效应影响。

假设存在一个二级嵌套阵列，每一级嵌套阵元数为N1=N2,阵元总数为M=N1+N2,第一阵元位置为dn=nd0(n=0,1,…，N1-1),第二级阵元位置为dm=[m(N1+1)-1]d0(m=1,2,…,N2)。嵌套阵阵元位置索引集合为S=S1∪S2,其中S1={n|n=0,1,…,N1-1}表示第一级阵元位置整数集合，S2={m(N1+1)-1|m=1,2,…,N2}为第二级阵元位置整数集合。将第一级嵌套阵列阵元平移到第二级嵌套阵列另一侧可表示为

(4)

式中：S2(N2)为集合S2中第N2个元素。有如下性质:

(5)

其中：D{S1,S2}={i-j|i∈S2,j∈S1}表示集合S2与S1所有元素差值的集合。由此可见，平移第一级嵌套阵列到第二级嵌套阵列另一侧，两个集合之间元素的差值相同。因此，可以通过对第一级嵌套阵列的部分阵元位置进行平移，来提高阵元稀疏度，减小互耦影响。

(6)

(7)

E={N1-j|0≤j≤N1-2,j∈Z}

(8)

(9)

图2 几种嵌套阵型结构示意图Fig.2 Diagrams of some nested structures

图2(a)为每级阵元数为5的二级嵌套阵列，式(8)表示的平移方式如图2(b)和图2(c)，称为连续平移嵌套阵列(Continuous Translational Nested Array，CTNA)，式(9)表示的平移方式如图2(d)，称为间隔平移嵌套阵列(Interval Translational Nested Array, ITNA)。根据嵌套阵列自由度计算公式，平移嵌套阵列增大了阵列自由度，且平移嵌套阵列对原嵌套阵列的第一级阵列进行了稀疏化改进，阵元间隔的增大能够减小互耦影响，提高阵列角度估计精度。

3 平移嵌套阵列单测量矢量测向模型

根据式(1)，在嵌套阵列基础上，进一步推导阵列测向模型。由于空域中的K个信号源之间相互独立，信号源s(t)的协方差矩阵为Rss=diag(ρ1,ρ2,…，ρK),其中ρk为第k个信号源的功率。由式(1)可得，接收信号x(t)的协方差矩阵为

Rxx=E{x(n)xH(n)}=

CA(θ)E{s(n)sH(n)}CHAH(θ)+

E{v(n)vH(n)}=

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

4 平滑重构稀疏贝叶斯学习角度估计

4.1 平滑重构稀疏模型

为解决平移嵌套阵列SMV模型计算复杂度高的问题，本文提出SR-SBL角度估计算法。

Y=ΨP+E

(15)

图3 虚拟阵列划分方法Fig.3 Partition method for virtual array

4.2 奇异值分解

为进一步缩小计算量，可以对观测矩阵Y进行奇异值分解，设Y=UΓVT,Γ为Y的奇异值矩阵，U、V分别为左、右正交矩阵。则式(15)的稀疏模型可以化简为

Ys=ΨPs+Es

(16)

式中：Ys=YVD,Ps=PVD,Es=EVD,D=[IK0]。通过式(16)，能够将数据中的噪声部分去除，提高信噪比，减小计算量，降低噪声的影响。

4.3 多测量矢量SBL算法

在式(16)的基础上，使用多测量矢量SBL算法求解。假设K个辐射源方向在观测矩阵Ψ中对应的列索引集为K，则有

K={k∈N|Pkl≠0}

(17)

Ψ中这K列组成的测量矩阵可表示为ΨK。

假设式(15)中Es为复高斯白噪声，方差为σ2,则观测值Ys的概率密度为

Pr(Ys|Ps;σ2)=

(18)

假设稀疏信号矩阵中各元素相互独立，且服从零均值复高斯分布，Ps先验概率密度函数可表示为

(19)

式中：Λ=diag(γ),γ=[γ1γ2…γA]T,γi为Ps中第i行[Ps]i的方差。当γi为零时，对应的[Ps]i行也为零。

根据贝叶斯准则，在已知观测值Ys的前提下，Ps后验概率密度函数可表示为

(20)

作为归一化因子，忽略分母。因此，有

Pr(Ps|Ys;γ,σ2)∝Pr(Ys|Ps;σ2)Pr(Ps;γ)∝

CN(μP,ΣP)

(21)

将式(18)和式(19)代入式(21)，可得稀疏信号矩阵Ps的后验均值μP和方差ΣP为

(22)

(23)

式中：

(24)

根据矩阵求逆引理可得

σ-2IL-σ-2ΨΣPΨHσ-2

(25)

根据式(22)可知，Λ的对角线元素决定了μP的稀疏度，从而决定了稀疏信号矩阵Ps的稀疏度，因此，稀疏信号矩阵Ps的非零行索引可表示为

K={k∈N|γm>0}

(26)

式(20)中分母可表示为

(27)

对式(27)取对数可得

(D-L+1)lg detΣY∝

(28)

其中观测数据的协方差矩阵为

(29)

超参数γ,σ2可以通过最大化式(28)获得

(30)

由于

(31)

(32)

式中：Ψm为观测矩阵Ψ的第m列，对式(30)求导可得

(33)

(34)

与稀疏信号矩阵Ps的非零行对应的观测值协方差矩阵可表示为

(35)

式中：ΨK为与集合K元素对应的观测矩阵Ψ的列组成的矩阵。式(35)与式(24)表示的值完全相同，当ΛK与σ2达到最优解时，需满足：

(36)

将式(35)代入式(36)中，可得

(37)

根据式(37)求得σ2为

(38)

表1 SR-SBL角度估计算法Table 1 Direction finding algorithm based on SR-SBL

该算法的计算复杂度主要集中于式(38)对矩阵ΨK的求逆上，其计算复杂度为O(KL2),显然，其复杂度小于单测向矢量稀疏贝叶斯学习的复杂度O((A+1)D2)。SR-SBL算法估计目标个数的上限为L,L影响计算复杂度，L越大，该算法计算复杂度越大，而SMV-SBL算法估计目标个数为D,且D≥L。

5 仿真实验

对图2中的4个嵌套阵列和文献[14]中的超级嵌套阵列(Super Nested Array, SNA)进行仿真，得到对应的差分共阵，其虚拟阵元的位置如图4所示，由图中可以看出，文献[14] 中的SNA与TLNA的虚拟阵元数相同，而本文提出的3种不同结构的平移嵌套阵列的虚拟阵元数均大于TLNA和SNA，因此能够增加处理辐射源的数目，提高阵列的测向自由度。

为对比5种嵌套阵列的阵元稀疏度，利用式(3)作为衡量互耦效应大小的函数，互耦矩阵C中的元素为

x,y为均匀分布在[-0.5,0.5]区间上的随机变量。在不同阵元个数条件下，根据式(3)，得到互耦函数值M(d)与阵元个数之间的关系，如图5。

从图5可以看出， TLNA的阵元间的互耦效应最大。CTNA1和CTNA2的阵元间的互耦效应接近，并且随阵元个数的增加互耦效应逐渐增大。ITNA与SNA的互耦效应接近，并且随阵元个数的增加互耦效应逐渐减小。

图4 几种嵌套阵列的差分共阵Fig.4 Difference co-array of several nested arrays

图5 几种嵌套阵列互耦效果对比Fig.5 Comparison of mutual coupling effects of several nested arrays

结合图4和图5的仿真结果可知，本文提出的CTNA1和CTNA2的虚拟孔径大于文献[14] 提出的SNA，但阵元稀疏度小于SNA。本文提出的ITNA的虚拟孔径大于SNA，并且阵元稀疏度与SNA接近。

由图6可以看出，两种算法均能够得到较好的测向结果，但通过对比图6(a)和图6(b)可以看出，SR-SBL算法在部分角度处的峰值(P)要明显高于SMV-SBL算法，便于辐射源角度的识别。

图6 两种算法角度估计结果对比Fig.6 Comparison of results of two angle estimation algorithms

在K=10个辐射源的条件下，针对图 2中的TLNA、CTNA、ITNA 3种结构，利用SS-MUSIC[16]，SMV-SBL，SR-SBL 3种算法，在不同信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)和不同采样数条件下进行测向性能对比，进行N=500次蒙特卡罗实验，得到不同信噪比和采样数条件下，3种阵列、3种测向算法的测向根均方误差值(Root Mean Square Error，RMSE)，得到图7和图8。均方误差定义为

从图7(a)可以看出，在SNR相同条件下，当阵列结构相同时，SR-SBL算法的测向精度高于SS-MUSIC算法，这是由于SR-SBL算法通过奇异值分解步骤，去除了部分噪声，而基于子空间搜索的SS-MUSIC算法受噪声子空间的影响较大。在SNR相同条件下，当测向算法相同时，CTNA、ITNA的测向精度高于TLNA，这是由于平移嵌套阵列对应的差分共阵虚拟孔径大于TLNA。

图7 不同SNR条件下测向结果对比Fig.7 Comparison of direction finding results under different SNR conditions

从图7(b)可以看出，在SNR相同条件下，当阵列结构相同时，SR-SBL算法的测向精度高于SMV-SBL算法,这是由于SR-SBL算法在重构多测量矢量模型时，通过奇异值分解去除了部分噪声，而SMV-SBL没有抑制噪声的步骤。在SNR相同条件下，当测向算法相同时，CTNA、ITNA的测向精度高于TLNA。

从图8(a)可以看出，在采样数相同条件下，当阵列结构相同时，SR-SBL算法的测向精度高于SS-MUSIC算法,这是由于SR-SBL算法将部分数据重叠，能够更充分利用数据。在采样数相同条件下，当测向算法相同时，CTNA、ITNA的测向精度高于TLNA，这是由于平移嵌套阵列对应的差分共阵虚拟孔径大于TLNA。

从图8(b)可以看出，在采样数相同条件下，当阵列结构相同时，SR-SBL算法的测向精度高于SMV-SBL算法。在采样数相同条件下，当测向算法相同时，CTNA、ITNA的测向精度高于TLNA。

图8 不同采样数条件下测向结果对比Fig.8 Comparison of results of direction finding with different sampling numbers

在10个辐射源的条件下，针对CTNA，在采样数为1 000，信噪比为0 dB条件下，当收敛门限ε不同时，对比SMV-SBL，SR-SBL 2种算法的收敛速度和测向精度，得到图9。从图9(a)可以看出，在门限相同条件下，SR-SBL算法的收敛时间小于SMV-SBL算法，这是由于SR-SBL算法的观测矩阵维度通过变换之后，远远小于SMV-SBL的观测矩阵维度，使算法复杂度比SMV-SBL低，因此相同门限条件下，SR-SBL算法的运算时间较短。

从图9(b)可以看出，在门限相同条件下，SR-SBL算法测向精度高于SMV-SBL算法。这是因为，SR-SBL算法通过奇异值分解，去除了数据中的部分噪声，而SMV-SBL算法会受到数据噪声影响。

图9 收敛门限对算法的影响Fig.9 Effect of convergence threshold on algorithm

考虑阵元间互耦效应影响，利用上面实验的互耦模型，分别在不同信噪比和采样数条件下，对前文10个角度进行估计，进行500次蒙特卡罗实验，得到不同信噪比和采样数条件下，3种阵列SR-SBL测向算法的测向均方误差值中，得到图10。

由图10(a)可以看出，存在互耦效应条件下，当SNR相同时，CTNA和ITNA的测向精度高于TLNA，并且ITNA高于CTNA。由图 10(b)可以看出，在考虑互耦效应的条件下，当采样数相同时，CTNA和ITNA的测向精度高于TLNA，并且ITNA高于CTNA。这是因为，ITNA阵元稀疏度高于CTNA和TLNA，因此ITNA受互耦效应影响较小，测向精度较高。