“分与合”的启示

程政武

大家都知道，传统《实验数学》版本的教材，在一年级1-10以内数的认識的教学编排上，“数的组成”的教学是其中一重点内容，是学生认识数的主要目标之一，同时也是学生口算10以内加法的重要基础。一直以来，本人正是本着这种认识，这种宗旨去实施教学的，直到后来，人教版新教材的逐步推行，突然发现“数的组成”这一内容虽然本质上还是数的组成，但在表现形式上，至少在小标题的命名上，不再叫“数的组成”，而是叫“分与合”。起初，对为何要作这一更改，我百思不得其解。随着教学的深入，才慢慢体会到这个“分与合”的奥妙所在，意义之深远。

首先，在命名上“数的组成”相比“分与合”意义偏狭，它体现的仅仅是“合”──数的组成，两个数合成某一个数，而忽略了“分”──数的分成。虽然我们在教学时也兼顾了数的分成，涉及到了一个数分成某个数和另一个数，但它的命名是有所侧重的，可能会造成我们教与学的侧重与偏颇。但“分与合”是并列关系的，分与合地位并重，就“分”“合”双修，兼顾了数的组成与分成的教学，让师生能从分、合两方面都引起重视。

其次，“数的组成”是我们计算加、减法的重要基础，我们在初学加、减法时，想数的组成进行口算是重中之重，但也仅仅停留在这个层面而已。而“分与合”则不光是我们计算加、减法的重要基础，更重要的是它是一种数学思想──“分与合”的思想，它是我们理解加、减法，理解乘、除法，是我们应用四则运算解决实际问题的根本所在。

从事小学数学教学的老师们大概都有一个体会：小学数学基础知识不难教、学生也不难学，难的是怎么灵活运用我们所学的数学知识解决各种各样的实际问题。而解决问题最关键的是分析问题中复杂的数量关系，而正确分析复杂的数量关系的前提就是掌握最基本的数量关系。怎样更简单、更系统的理解、把握我们小学阶段最基本的数量关系呢？之前，我也曾不断地思索、总结，但总觉不够完美、不够简洁。随着“分与合”这一小标题的提出，结合我对它的理解与思考，猛然发现“分与合”才是我需要的。“分与合”三个字，多简洁的概括、多辩证的概括。我个人理解，“分与合”是对我们小学数学四则运算意义理解的升华，是对数学实际问题各种基本数量关系最简洁的概括。

加法，把两个数合并成一个数的运算，是“合”。

减法，加法的逆运算，把一个总数分成一个数和另一个数，是“分”。正是合与分意义的互逆，才有加、减法运算的互逆。（在课堂上我就用双手的合拢与分开来形象的展示合与分，帮助学生理解加、减法的意义）

乘法，求几个相同加数和的简便运算，是“同数‘合”。

除法，乘法的逆运算，把一总数平均分成几个相同的部分数，是“平均‘分”。也正是“同数‘合”与“平均‘分”意义的互逆，才有乘、除法运算的互逆。

有了对四则运算意义理解的升华，对于数学实际问题种种基本数量关系我也作出如下概括：

①部分数“合”成总数的关系，用加法解决：

例：一次植树活动中，五年级植树96棵，六年级植树120棵，五、六年级共植树多少棵？

*五、六年级植树棵数两个并列的部分数相合；

一次爱卫活动中，四年级扫街40米，五年级比四年级多扫16

米，五年级扫街多少米？

*同四年级相比，相同部分数与多扫部分数相合；

一次爱心捐赠中，小明将自己积攒的零花钱捐出80元后，还剩16元，小明同学一共积攒了多少零花钱？

*捐赠部分数同未捐部分数相合。

②总数“分”成部分数的关系，用减法解决：

例：一次安全知识竞赛中，六年级男、女队共答对了86题，其中男队答对了40题，女队答对了多少题？

*答对题总数分成男队部分数和女队部分数；

抢修一条公路，甲队修了1200米，乙队修了800米，乙队比甲队少修多少米？丙队修的比甲队少300米，丙队修了多少米？

*同甲队相比，甲队修路总数分成（同乙、丙队）相同部分数和少修部分数，不同的是一个求少修部分数，一个求相同部分数；

二年级今天的写字作业是一共写20个大字，小华已写了15个，还要写几个？小花还有6个未写，小花已写了多少个？

*作业总数分成已写部分数和未写部分数，区别是一个求未写部分，一个求已写部分。

③若干个相同部分数合成总数的关系，用乘法解决：

例：幸福小学开展帮扶活动，每位老师都要帮扶5名差生，幸福小学共有12个老师，此次活动一共可帮扶多少名差生？

*12个相同部分数（5名）相合；

新希望小学三年级有27名留守儿童，四年级留守儿童是三年级的3倍，新希望小学四年级有多少名留守儿童？

*3个相同部分数（27名）相合。

④总数平均分成若干个（份数）相同部分数（每份数）的关系，用除法解决：

例：幸福新村计划2018年给本村的5个生产小组投入120万元修建光伏发电机组，平均每个小组要投入多少万元？

*投入总数（120万元）平均分成5个相同部分数，也就是将投入总数平均分成5份，求每份数；

阳新县城关实验小学学生总数是5400人，富川小学学生总数是3600人，阳新县城关实验小学学生总数是富川小学的几倍？

*实验小学学生总数平均分成了多少个相同部分数（3600人），也就是每份是3600人，求份数（求5400里有多少个3600）。

随着五、六年级分数的学习，分与合的思想又延伸到了数的认识上：把单位1平均分成若干份，取这样的一份或几份的数叫分数，是“平均‘分”的产物。那么对于六年级学习的分数乘除法，用“分与合”来理解和体会，就是分合思想的叠加了。如60× ，则是将60按分数的意义平均分成5份，再按乘法的意义2份这样每份数相合；而60÷ ，则是将60按除法的意义平均分成2份，再按分数的意义5份这样每份数相合，都是先分再合，只不过分合的意义不同。我们分数乘除法算理的理解不就是这种分合思想的体现吗？我就有一位学生对分数乘除法问题的建模不够，刚开始解决分数问题时总是用这种分与合的思想来解答：张大爷去年种植棉花收入了21000元，他将其中的 存入银行，张大爷要存入银行多少钱？列式：21000÷7×5=15000（元）。

有了以上的理解，我试着将这种分合思想编成小歌谣，来结束我的诸多启示：

小学数学奥妙多，

分与合来很重要，

合是加法分是减，

同数相合用乘法，

平均分来须得除，

分合分清莫要错。