一维可压缩量子Navier-Stokes方程组解的爆破

2018-07-19董建伟朱军辉薛红霞

吉林大学学报（理学版） 2018年4期

董建伟, 朱军辉, 薛红霞

(郑州航空工业管理学院理学院, 郑州 450015)

1 引言与主要结果

考虑如下一维可压缩量子Navier-Stokes方程组[1]：

其中: 粒子密度ρ与粒子速度u为未知函数; Planck常数ε>0与黏性常数ν>0为物理参数; 函数P(ρ)=ργ(γ≥1)表示压力. 该类模型可用于描述超流体[2]、量子半导体[3]、弱相互作用的玻色气体[4]和波曼力学的量子轨迹等[5]. Brull等[6]利用动量方法和Champan-Enskog展开法由Wigner方程得到了可压缩量子Navier-Stokes方程组; Jüngel等[7-8]用不同方法得到了完整的量子Navier-Stokes方程组(包含能量方程). 可压缩量子Navier-Stokes方程组是可压缩Navier-Stokes方程组的重要逼近方程组, 可用于证明三维黏性退化可压缩Navier-Stokes方程组弱解的整体存在性[9-10]. 此外, 可压缩量子Navier-Stokes方程组也是不可压缩Navier-Stokes方程组[11-13]和不可压缩Euler方程组[14]的逼近方程组.

在周期边界条件下, Jüngel[15]首先证明了当Plank常数大于黏性常数(ε>ν)时, 多维可压缩量子Navier-Stokes方程组弱解的整体存在性; Dong[16]和Jiang[17]分别将文献[15]的结果推广到ε=ν和ε<ν的情形. 但在文献[15-17]的整体弱解定义中, 动量方程的试验函数是ρφ, 而不是φ, 导致在三维空间中要求条件γ>3, 使得其在物理意义上受到限制. 通过在动量方程(2)中引入额外的冷压力[18]或添加阻尼项[10], 可改进动量方程的试验函数及条件限制γ>3.

目前, 关于模型(1)-(2)光滑解整体存在性的研究文献报道较少. 文献[19]在初始密度为正且ε=ν的条件下, 得到了模型(1)-(2)一维模型光滑解的整体存在性；文献[1]在一维有界区域中得到了当ε≥ν时一个解的爆破结果, 即其解将在有限时刻失去其正则性. 本文在去掉条件ε≥ν的情形下, 得到另一个解的爆破结果. 考虑一维量子Navier-Stokes方程组的如下初边值问题：

与文献[1]不同, 本文通过假设与初始动量有关的泛函充分大, 得到解的爆破结果. 为此定义：

其中: m(t)表示区域(0,1)中的粒子总质量; E(t)表示总能量泛函, 包括动能、热力学焓(若γ>1, 则H(ρ)=ργ/(γ-1), 若γ=1, 则H(ρ)=ρ(lnρ-1)+1和量子能; I(t)表示加权动量; 权函数f(x)满足下列条件：

(H1) f(x)∈C2[0,1], f(0)=0, 且f′(x)>0, x∈[0,1]. 记

本文主要结果如下：

定理1设ρ∈H1(0,T;L2(0,1))∩L2(0,T;H3(0,1)), 在[0,1]×[0,T]上ρ>0, u∈H1(0,T;L2(0,1))∩L2(0,T;H2(0,1)), (ρ,u)是问题(3)-(8)的解, 其中初始条件满足

0<ρ0(x)∈H1(0,1),u0(x)∈L2(0,1),I(0)>0,

且权函数f(x)满足条件(H1). 若

(15)

其中a∈(0,1)是任意固定的常数, 则其解的存在时间T满足

(16)

注1如文献[1]中注1.1所述, 虽然关于定理1正则性解的局部存在性研究目前尚未见文献报道, 但由量子Navier-Stokes方程组与黏性量子Euler方程组的等价性[15], 可利用文献[20-21]中方法和技巧证明其解的局部存在性, 本文只关注其解的爆破.

注2边界条件(7)表示在右边界处量子效应消失, 边界条件(8)是为了使边界积分为零而提出的技术性条件.