弱鞅的一类Marshall型极大值不等式

冯德成, 王 英, 李琴社

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

1 引言与预备知识

设{Xn,n≥1}或{Sn,n≥1}是定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量序列. 记S0=0,IA是集合A的示性函数.

定义1[1]设{Sn,n≥1}是L1下的随机变量序列, 如果对任意的1≤i

E[(Sj-Si)f(S1,…,Si)]≥0,

(1)

则称{Sn,n≥1}是一个弱鞅(demimartingale), 其中f是任意使式(1)中期望存在且对每个变元均非降的函数. 若进一步设f是一个非负函数, 则称{Sn,n≥1}是一个弱下鞅(demisub-martingale).

Newman等[1]证明了均值为零的PA(positively associated)序列的部分和序列是一个弱鞅. 目前, 关于弱(下)鞅及其一些概率不等式应用的研究已有很多结果[2-14]. 一般地, 对均值为零的平方可积随机变量X, 有

∀ε>0.

(2)

Marshall[15]将式(2)中的不等式推广到如下形式:

∀ε>0,

(3)

∀ε>0,

其中α是下列函数的最大值:

h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1,x∈[0,1].

胡舒合等[17]将文献[16]中的若干结论推广到了弱鞅的情形下, 同时得到了弱鞅的Marshall型不等式. 受文献[16-17]启发, 本文将文献[17]中关于弱鞅{Sn,n≥1}的Marshall型不等式推广到{g(Sn),n≥1}的情形, 这里g是上的不减凸函数. 本文结果推广并改进了文献[17]的结果.

2 弱鞅的Marshall型不等式

引理2[11]设{Sn,n≥1}是一个弱下鞅,g是上的不减凸函数, 且满足g(Si)∈L1(i≥1), 则对任意的ε>0, 有

(4)

由于弱鞅是弱下鞅, 因此有如下推论.

推论1设{Sn,n≥1}是一个弱鞅,g是上的不减凸函数, 且满足g(Si)∈L1(i≥1), 则对任意的ε>0, 有式(4).

引理3设{Sn,n≥1}是一个弱鞅,g是上的不减凸函数, 且满足Eg(Sn)≤0(n≥1). 若存在p>1, 使得E<∞(n≥1), 则对任意的ε>0, 有

(5)

证明: 由于对所有的n≥1, 均有Eg(Sn)≤0, 因此若令Y=IΛ, 则由引理1和推论1得

显然

(7)

故结合式(6)和式(7), 可得结论.

定理1设{Sn,n≥1}是一个弱鞅,g是上的不减凸函数, 且满足Eg(Sn)≤0(n≥1). 若存在p>1, 使得对任意的n≥1, 均有00, 有

这里M是下列方程的正解:

(8)

证明: 显然方程(8)只有一个正解.

2) 当P(Λ)>0时, 由引理3得

(9)

将式(9)两边同除以P(Λ)q, 有

令u(x)=xq-(β-1)x-β,M为式(8)的正解. 由于u″(x)=q(q-1)xq-2>0,x∈(0,+∞), 故u(x)在[0,∞)上是一个凸函数. 因此对任意的x∈(0,M), 有

由于u(0)=-β<0,u(M)=0, 故对任意的x∈(0,M), 均有u(x)<0, 因此M是使式(5)成立的最小值, 故结论成立.

这里M是下列方程的正解:

证明: 由于{Sn,n≥1}是一个弱鞅, 故当ES1≤0时, 对所有的n≥1, 均有ESn=ES1≤0. 若令g(x)=x, 则g(x)是不减凸函数, 且对所有的n≥1, 均有Eg(Sn)≤0. 从而由定理1可得结论.

注1推论2即为文献[17]中的定理2.1, 因此本文定理1推广了文献[17]中定理2.1的结果.

定理2设{Sn,n≥1}是一个弱鞅,g是上的不减凸函数, 且满足Eg(Sn)≤0(n≥1). 若存在p≥2, 使得对任意的n≥1, 均有E<∞, 则对任意的ε>0, 有

(10)

这里α是下列函数的最大值:

h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1,x∈[0,1].

特别地, 当p=2时, 不等式(10)即为Marshall型不等式.

证明: 当p≥2时, 有1

利用不等式(5), 得

(11)

将式(11)两边同时除以P(Λ)1/q, 有

(12)

在式(12)两边同时取p次方, 有

故式(10)成立.

定理3设{Sn,n≥1}是一个弱鞅,g是上的不减凸函数, 且满足Eg(Sn)≤0(n≥1). 若存在δ>0, 使得对任意的n≥1, 均有E<∞, 则对任意的ε≥E|g(Sn)|, 有

(13)

证明: 令

[g(Sn)]+=g(Sn)I[g(Sn)≥0], [g(Sn)]-=-g(Sn)I[g(Sn)<0].

由于

E|g(Sn)|=E[g(Sn)]++E[g(Sn)]-≤0,

从而

此外

则有

在式(5)中令p→1, 可得

(1-P(Λ))E|g(Sn)|≥εP(Λ).

故式(13)成立.

在定理2和定理3中取g(x)=x, 则有下列两个推论.

这里α是下列函数的最大值:

h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1,x∈[0,1].

注2推论3和推论4即为文献[17]中的定理2.3和定理2.4. 因此本文定理2和定理3推广了文献[17]中的定理2.3和定理2.4.