数值分析课程教学中运用Mathematica软件的交互教学实践

李声锋

数值分析是高等院校大多数理工科专业必须开设的一门重要课程，在工程技术等领域日益发挥着重要的作用［1-3］.在利用数值分析研究工程技术等问题的过程中，主要是应用纯数学的方法，而对很多问题的求解，利用纸和笔常常是不可能实现的，因此有必要借助于计算机来完成，适当地使用数学软件［4-7］工具将会使得问题变得很简单.Mathematica软件是由美国Wolfram Re⁃search公司设计开发的一个交互式科学计算软件，具有非常强大的计算功能和作图功能.

如何改善教学效果和质量？怎样提高学生的学习兴趣？如何增强学生探究问题的能力？这些应该是数学教育工作者们常常需要思考的问题.在数值分析课程教学中运用Mathematica数学软件进行交互式教学，寓理论教学、学生动手实验与教师演示于一体，可以帮助学生解决该课程中仅仅依靠纸和笔难以完成的繁杂计算和绘图等问题，从而改善教学效果和质量，同时也能激发学生学习该课程的兴趣和增强学生探究问题的能力，真正使学生切身体验数值分析在实际中的应用.针对数值分析课程中的典型知识点，本文通过实例，介绍了Mathematica数学软件在这些知识点的交互教学中的应用实践，其目的在于探索数值分析课程新的教学方法，提高授课教师的教学质量，提升学生自主学习的能力，为新建本科院校培养应用型人才提供探索经验.

1 Mathematica应用于数值分析课程交互教学的必要性

早在20世纪70年代，美国教育心理学家布朗和帕林萨提出了一种新型教学方法——交互式教学方法.该教学方法以构建主义理论和发展心理学为基础，在教学活动中倡导贯彻“以学生为中心”的教育理念：课前引导学生先要自主学习，鼓励生生探讨，提高自学能力；课中教师和学生围绕所学知识点积极进行师生间、生生间的相互交流，提高学习视野；课后要求学生完成相关知识点的作业，可以采用生生互助，提高实践能力；在此基础上，任课教师再进行有关知识点的归纳总结，使学生知识得以巩固，从而达到完成知识点的学习.交互式教学方法已在多门课程中得到成功运用［8-10］，且取得了较好的教学效果.

由于交互式教学方法主张学生可以通过多种方式获得知识，因此这种教学方法非常适合数值分析课程教学，在数值分析课程中融入Mathe⁃matica软件平台进行教学，学生可以通过大量的仿真和实验学习理论知识，任课教师可以通过在实践过程中的师生互动和学生间的互动，观察并了解学生对数值分析课程知识点的学习掌握情况.另一方面，交互式教学方法也满足了新建本科高校的实践教学理念：学生在学中做、在做中学.因此，交互式教学方法在我校数值分析课程的教学中具有一定的实践意义.

我们就对数值分析课程中运用Mathematica软件的交互教学方法的可适用性进行了探索.由于Mathematica软件具有充分集成环境的符号计算系统，在利用该软件作数学运算与编程时，可以按照数学公式的原有样式进行输入，无需对数学公式的样式进行变形后输入，因此，Mathemati⁃ca这种强大的符号计算功能使得很多师生在教学研究和应用中更偏好运用该软件进行教学和学习.在数值分析课程教学中，我们选择运用Mathematica软件，能够达到交互教学的目的，不仅能够提高学生对数值分析中知识的掌握，还能够满足新建本科院校对学生应用实践能力的培养，从而提高了我校数值分析课程的教学效果和质量.

2 Mathematica在数值分析课程教学中的交互教学实践与效果分析

在数值分析课程的教学过程中，为了方便运用Mathematica软件平台进行交互式教学，一般将授课班级分成若干学习小组，在整个教学过程中主要从课前、课中和课后三个方面进行了交互教学实践.

2.1 重视课前预习，提高自主学习能力，拓宽知识面

在学习数值分析课程的每一个知识点前，任课教师根据教学内容设计讨论的问题和有关教学准备资料，在上新课前布置给学生，由学生自行预习，学生通过各种途径和方法解决问题并给出答案.比如，在讲授数据拟合时，我们提前设置了两个问题：首先，要求每小组学生测量出上课前一天中任意8个时刻的温度，并将数据填入给定的数据表中；其次，如果要得到这一天中间某一时刻的温度，我们该如何解决？显然，要解决该问题，需要运用Mathematica软件进行交互式学习和教学.某一小组给出的测量数据如表1所示.

表1 数据表

运行上面的Mathematica程序，不仅得到了该组数据的拟合多项式，还显示了此拟合多项式的图形与所给数据的散点图，如图1所示.可见，利用拟合多项式很容易计算得到中间某一时刻的温度.

图1 表1中的数据散点图与拟合多项式图形

通过数值分析课程教学课前预习讨论题的设置，一方面能够督促学生进行课前学习思考，培养自学能力；另一方面由于课前预习资料能够提供的信息有限，学生要想更加准确全面地解决预习讨论题，需要小组间同学交流合作，自行搜集信息，自己编写、调试Mathematica实验程序，整理问题答案，这样就能够较好地拓宽学生的知识面.

2.2 采用交互教学，提高学生学习兴趣，强化教学效果

在数值分析课程的课堂教学中，针对有关知识点的特殊性，提出讨论议题，每一小组的学生根据所学的知识进行组内探讨，并鼓励学生在讨论时积极思考，提出一些自己的见解或看法.比如，在学习插值多项式理论时，我们提出问题：在利用等距节点构造Lagrange插值多项式时，是不是给出的节点越多得到的插值多项式Ln就越精确呢？显然，在理论上这一问题一时难以回答.为了能够清晰、直观地回答这个问题，我们可以借助于Mathemati⁃ca软件完成交互教学展示，选取插值函数在等距节点个数固定（不妨取n=10）的情况下，为了得到插值多项式曲线并观察插值过程，利用Mathematica中的插值函数Interpolation［］，编写的Mathematica程序（命令格式）如下.插值得到的图形与原函数图形的比较图如图2所示.

从图2可以看出，a，b，c，d，e五个过程中节点固定为11个，依次增加插值多项式次数，当插值多项式的次数较高时，得到的高次插值多项式不能很好地逼近所给函数（见图d和图e），等距节点高次插值出现如此现象就是著名的“龙格现象”.这种交互式教学，使学生切身体验了龙格现象，从而在一定程度上增强了学生探究问题的能力，激发了学生学习数值分析课程的兴趣，教学效果得到了明显改善.

图2 在11个等距节点时利用多项式插值得到的图形和原函数图形的比较

针对插值过程的龙格现象，我们自然会提出一些问题：等距节点插值过程为什么会出现龙格现象？如何在插值时解决龙格现象？这些问题的回答和解决显然需要学习更多的知识，需要继续运用Mathematica软件进行交互式教学.

2.3 布置课后作业，加强课下师生交流，巩固所学知识

在数值分析课程教学的课后，任课教师布置相关知识点作业.这些作业的解决不仅需要学生运用Mathematica软件才能完成，还要让学生将做好的作业通过邮件或学习通进行提交.比如，在学习不动点迭代后，需要学生在课后探究一个问题：在求解一个非线性方程的根时，选取不同的迭代函数进行不动点迭代，其迭代效果如何？具体地，给定非线性方程x3+4x2-24=0，求其在区间[0,3]上的正根，探索不同的迭代函数进行不动点迭代时的迭代效果.通过对学生作业的收集整理，学生对原方程的改写，可以得到以下几种不同的迭代函数.

方法一：原方程可化成x=x-x3-4x2+24，得到迭代函数φ1(x)=x-x3-4x2+24.

方法二：原方程改写成4x2=24-x3，考虑所求根为正，选取迭代函数

方法三：原方程化成x2=24/x-4x，得到迭代函数

方法四：原方程写成x2=24/(x+4)，得到迭代函数

给定一个初始值（不妨取x0=1.5），用以上四种方法迭代计算，迭代过程的Mathematica程序如下.

分别运行各种方法的程序，计算结果如表2所示.

表2 不动点迭代计算结果

从表2可以看出，学生选取几种不同的迭代函数进行不动点迭代，通过Mathematica软件进行交互式编程运行、演示，很快就发现问题的答案：不同的迭代函数影响迭代效果.每一小组的学生通过电子邮件或学习通提交了解决该问题的作业和Mathematica程序，教师就能够在课下实现作业的个性化批改，也能够为每一小组的作业问题提供具有针对性的回复、交流，让学生对所学知识点的掌握更加准确、扎实、牢固.

3 数值分析课程运用Mathematica进行交互教学的优势

3.1 有利于学生自主学习

数值分析课程教学强调运用数学软件进行交互式教学以及学生的自主学习，在课前、课中和课后都以学生为中心或主体、教师为主导.在数值分析课程的学习过程中，学生可以完全掌握主动权，在组内、组间学会与他人协作分工，团队合作解决学习中遇到的各种问题，在更多情况下需要进行自主学习.作为主体的学生，对数值分析课程知识的获取和掌握不再完全依赖于任课教师的课堂教学，更多地是在课下利用Mathe⁃matica软件平台通过自主学习解决.假如学生在学习过程中遇到难题，他们首先可以通过组内、组间讨论，自己查找资料，自己动手编写程序加以解决；其次，学生也可以通过电子邮件或学习通平台将问题发送给任课老师，在任课教师的交流和帮助下，自行解决问题.

3.2 有利于学习成绩的提高

在运用Mathematica进行数值分析课程交互教学过程中，学生课前根据有关问题充分准备，上课时任课教师通过问答与学生进行直接地互动交流，以此了解学生对课前预习内容的掌握情况，修正学生对所学知识点的认识和看法，再根据绝大部分学生的课前准备情况开展交互教学活动，最后通过课后作业，运用Mathematica编程解决作业问题，进一步巩固学生所学的数值分析课程知识、以保证数值分析课程的教学效果，提高学生学习该门课程的成绩.

3.3 有利于应用数学能力的培养

在数值分析课程教学中，我们改变传统的单向理论“灌输-接受”方式的教学，在课前、课中和课后设置了相关知识点问题，在整个教学过程中运用Mathematica进行交互教学，让学生通过自主学习的方式不仅掌握有关理论知识，而且熟练掌握一门数学软件.更多情况下，任课教师要求学生运用所学的数值分析理论知识在Mathemat⁃ica平台上解决实际问题，从而提高了学生的动手能力，培养了学生应用数学的能力.

4 结论

在数值分析课程中运用Mathematica数学软件进行交互式教学，使得教与学相得益彰.我们利用Mathematica软件不仅提高了课堂演示效果，而且增强了学生利用数学软件探究问题的意识，促进了学生学习成绩的提高，培养了学生应用数学的能力.因此，在数值分析课程的教学中运用Mathematica进行教学互动的实践结果表明，它可以改善该课程的教学效果和质量，激发学生学习和探究问题的兴趣.