基于因子图的自适应波束形成*

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(海军大连舰艇学院， 辽宁大连 116018)

0 引言

因子图是一类应用非常广泛的图模型[1]，它在信道估计、解码等通信理论以及检测和估计理论中有大量的应用[2-3]。常见的因子图有两种形式，最早的是1981年Tanner提出的用来简化解码问题的Tanner图[4]，后来在2001年Forney提出了另外一种称为Forney图的因子图[5]，本文中主要讨论Forney图，对Tanner图不作详细的解释。大量的研究文献用因子图的方法实现了傅里叶变换、最大期望算法、卡尔曼滤波等许多信号处理中常见的算法[6]。目前还未见到因子图理论在雷达信号处理技术中的应用，本文通过因子图上的高斯消息传递实现相控阵雷达中常用的自适应波束形成技术[7]。

因子图和消息传递算法是不可分离的，通过在因子图上执行消息传递算法来实现相关变量的估计。常见的消息传递算法主要包括和积算法和最大积算法[8]，在因子图上执行消息传递算法可以得到消息更新规则进而估计出任意变量的值。

自适应波束形成(ADBF)技术是相控阵雷达[9]中非常重要的一种技术，它可以根据环境信息的变化，自适应地调整空域滤波器的权系数，使得空域滤波器在干扰方向形成很深的零陷，在目标信号方向形成主瓣，进而最大限度接收目标信号，抑制干扰信号。自适应波束形成技术常用3种准则来实现，即最小均方误差(MMSE)准则、最大信噪比(MSNR)准则、线性约束最小方差(LCMV)准则[10]。对最小均方误差(MMSE)准则进行进一步推广可以得到基于迭代最小二乘(RLS)算法的自适应波束形成技术。本文用因子图方法实现基于迭代最小二乘(RLS)的自适应波束形成。

1 基于迭代最小二乘(RLS)算法的自适应波束形成模型

(1)

(2)

式中，e(t)为估计信号与期望输出信号的估计误差。对时域连续信号进行离散化，离散化之后该模型可表示为

(3)

(4)

式中，k表示离散时间。为了后边使用方便将式(3)重写为

(5)

以最小均方误差为准则，求解权系数等价于如下无约束最优化问题：

(6)

式中：

(7)

式(3)～式(6)描述的是离散时间自适应波束形成模型，对该问题的求解可以用迭代最小二乘(RLS)算法[11]，最后可得到k时刻权系数的最小二乘解。在本节中，建立起该问题的模型，但并不求解它。在下一节中，将用基于因子图上消息传递的观点求解这个迭代最小二乘(RLS)问题。

2 自适应波束形成的因子图实现

2.1 因子图与和积算法原理

在本小节，非常简要地介绍Forney因子图与和积算法的一般性原理。Forney因子图上包括边和节点，一条边代表一个变量，一个节点代表一个局部函数，一条边与一个局部函数节点相连代表该局部函数中含有这条边表示的变量，所有局部函数的积即为全局函数[8]。图2是基于RLS算法的自适应波束形成的因子图表达。

和积算法用来计算因子图上的消息传递，因子图上的消息传递包括函数节点传向变量节点的消息，以及由变量节点传向函数节点的消息，两类消息的计算公式如下[12]：

1)μx→f(x)表示从变量节点x到函数节点f的消息：

(8)

2)μf→x(x)表示从函数节点f到变量节点x的消息：

(9)

式中，X=n(f)表示与局部函数f相关的全体变量，n(x)表示与变量x相关的所有局部函数的集合。

2.2 自适应波束形成的因子图表达及消息更新规则

假设期望信号的估计误差ek服从均值为0、方差为σ2的高斯分布，因子图上的消息均为高斯消息。基于RLS算法的自适应波束形成模型用因子图表达出来如图2所示，最小化式(6)等价于最大化：

(10)

(11)

根据最大似然估计理论，权系数Wk的估计值[6]为

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

在本小节中用因子图上高斯消息传递的观点求出了基于RLS算法的自适应波束形成权系数。下面将通过数字仿真实验验证该方法的有效性。

3 仿真实验及分析

由图5的仿真结果可以看出，在0°方向形成了主波束，在20°和40°处分别形成了两个“零点”抑制这两个方向的干扰。仿真结果表明，从图模型的观点出发，采用因子图上消息传递的方法可以实现自适应波束形成。

4 结束语

因子图理论和消息传递算法在求解复杂问题时具有很大的优势，因此在通信和检测估计领域获得了广泛的应用，但目前在雷达信号处理领域的应用非常少。本文将因子图理论和消息传递算法应用到了相控阵雷达的自适应波束形成技术中，理论分析和仿真实验证明了该方法的有效性。本文所提方法是自适应波束形成技术从图模型的观点来实现的一种新方法，雷达信号处理中有很多复杂问题如参数估计、目标检测都可能通过图模型进一步简化实现，这些问题需要将来进一步研究。