《椭圆》教材分析

摘要：圆锥曲线与方程在髙中数学课程中扮演着重要的角色，而椭圆作为选修2-1中第一个特殊的圆锥曲线，也是圆锥曲线的重要组成部分。通过建立椭圆的标准方程，进一步运用方程探究它的简单几何性质，并且采用坐标法解决一些实际问题或简单几何问题，进一步体会数形结合的数学思想方法。从实际应用方面来看，椭圆与人类的科研、生产活动以及生活都有非常密切的关系，尤其体现在研究椭圆透镜、行星运行的轨道、旋转体轨道等等，所以对椭圆的理解和掌握显得尤为重要。本文将从《椭圆》的教材解读和课程实施这两个方面进行简单的研究。

关键词：椭圆；课程实施；解读

一、 《椭圆》的教材解读

（一） 椭圆

1. 椭圆的定义

把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距，用符号表示为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）.注意：（1）当|F1F2|=2a时，轨迹是以点F1、F2为端点的线段.（2）当|F1F2|>2a时，轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程

当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2a2+y2b2，其中a>b>0；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1，其中a>b>0；若给定了椭圆的方程为mx2+ny2=1，其中m>0，n>0，要根据m，n的大小关系来判断椭圆焦点在哪个坐标轴上。

3. 椭圆的简单几何性质

标准方程

x2a2+y2b2=1（a>b>0）

y2a2+x2b2=1（a>b>0）

图形

焦点坐标

（-c，0）、（c，0）

（0，-c）、（0，c）

顶点坐标

（±a，0）、（0，±b）（±b，0）、（0，±a）

范围

|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a

焦距2c

对称性

对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点

长短轴

长轴长为2a，短轴长为2b

a，b，c关系

c2=a2-b2，a>b>0，a最大

离心率

e=ca=1-b2a2，0

（二） 椭圆的地位及作用分析

教材中2.2节的椭圆作为本章的第一个具体的圆锥曲线，学生已经学习了必修2的直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一定的了解，同时，也是运用坐标法研究的第一个具体的圆锥曲线的标准方程及其基本性质，为后面双曲线、抛物线的学习和研究提供了理论基础，从思想上说，本节课是运用《曲线与方程》思想解决二次曲线问题的一个特殊例子；从内容上说，本节课是运用坐标法研究几何问题的实际演练，也是研究椭圆几何性质的基础。同时，也為进一步研究另外两种圆锥曲线——双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。所以，本节内容起着承上启下的连接作用，在本章也占据重要的地位，也是高考的重点考查内容，因此椭圆的学习在高中数学中有着举足轻重和不可或缺的作用。

二、 课程实施

课程实施是实现预期教育结果的手段，它不仅仅是教师教的过程，更是学生学的过程。在课程实施中，要摒弃一些课堂中存在的单一、被动与封闭的学习方式，提倡和发展多样化的学习方式，特别是要提倡自主、探究、合作的学习方式，让学生成为学习的主人，使学生的主体意识、能动性和创造性不断得到发展，培养学生的创新精神和实践能力。

对于《椭圆》这一节的学习，第一小节是椭圆及其标准方程，第二小节是椭圆的简单几何性质。在第一课时的课程实施中，主要采用探究式、启发式相结合的教学方法，可以借助几何画板等多媒体工具展示椭圆的形成过程，并且让学生也动手操作，小组合作讨论出椭圆的定义，在实际教学中，始终坚持以学生为主体，为学生的动手实践、自主探索与合作交流的机会搭建平台，引导学生积极思考，鼓励学生发表自己的见解，教师进行补充后，让学生深入体会并掌握椭圆的定义，进而达到从感性认识上升到理性认识。再运用其定义推导出它的标准方程，并解释说明a、b、c所表示的意义。通过教材的三个例题介绍不同的求椭圆的标准方程的方法，让学生进一步深化本节课的知识。

新课标要求，立体几何的教学要直观感知，操作确认。对于第二课时《椭圆的简单几何性质》的课程实施中，同样借助多媒体辅助手段及实物投影，创设问题情境，并通过图形引导学生形象直观地体验由数到形的过渡，便于学生观察、认知、探求、发现、归纳。通过观察椭圆的图形，回答出椭圆的横、纵坐标的取值范围、对称性、顶点坐标、椭圆的长轴和短轴等等。利用几何画板，固定a的大小，改变c的大小，让学生观察椭圆的扁平程度和a、c的值的关系，进而导出离心率e的范围：0

在整个课程实施中，始终坚持学生为主体，教师为主导的作用，让学生养成自主学习的习惯，贯彻数学学科的核心素养，达到提高教学质量的目的。

参考文献：

[1]刘绍学，钱佩玲，章建跃.人教A版数学选修2-1[M].北京：人民教育出版社，38-45.

作者简介：

林雪，四川省南充市，西华师范大学。