艺术品资产定价研究——基于组内固定效应的特征价格模型

张志元 胡兴存 马永凡

一、引言

艺术品既是精神消费品，也是金融资产，具有双重属性。一方面艺术品能够为人们带来精神层面的审美效用，另一方面在资产配置中加入艺术品不仅能优化投资组合还能够抵御通货膨胀获得稳定可观的投资收益。伴随着我国经济的崛起和高净值人群的增加，艺术品的消费和收藏以及投资等多维属性致使其需求越来越大，市场正以惊人的速度扩张。国外学者在1980年开始，就已经对艺术品市场的运行规律和艺术品的价格机制开始探究，艺术品市场运行规律已然成为金融学研究领域的重要补充。但是与中国艺术品市场迅猛发展形成鲜明对比的是对艺术品市场定量分析的文章较少，大多数文章都是从宏观层面定性地探讨艺术金融的发展。基于中国艺术品市场的微观金融数据对其运行规律进行的定量分析有助于更好地阐释中国的艺术品市场，吸引更多的中产收入人群进入艺术品市场，促进市场的理性发展与繁荣。

在这其中首要的问题便是艺术品资产定价。传统金融资产的定价是基于未来资产可预期收益的现金流折现得到，有别于传统的金融资产，艺术品资产几乎没有相对稳健的现金流对其价格进行支撑，这也是困扰大多数学者的难题之一。艺术品的稀缺性、不可替代性和审美属性增加了确定其价格机制的难度。投资者是有限理性的，投资者在投资市场的买卖决策并非完全基于资产的市场价值，而可能受到艺术品炫耀性、象征性等特性的影响而购买，进一步加大了艺术品价格形成机制的难度和复杂性(黄隽、李越欣、夏晓华，2017)*黄隽、李越欣、夏晓华：《艺术品的金融属性:投资收益与资产配置》，《经济理论与经济管理》2017年第4期。。大部分学者通常用效用理论对艺术品的价格进行估算，即不同投资者从不同的艺术品特征之中获得效用的隐含价格的线性加总。虽然特征价格模型包含影响艺

术品价格的主要信息，但是由于艺术品的异质性和主观方面的因素往往对模型的设定产生较大的偏误。艺术家禀赋造成了其各自的比较优势，而其外在的、物质化的表现可以由其作品淋漓尽致地展现，使得不同艺术家的作品之间存在着较大的异质性。大部分的文献在对特征价格法进行设定时都忽视了投资者对艺术家特质的偏好，忽略了艺术家特质对艺术品价格的影响，即未能考虑艺术家禀赋对艺术品价格的影响，使得特征价格模型的设定产生重大偏误。笔者利用艺术家组内固定的方法对特征价格法进行修正，将艺术家禀赋对艺术品价格的影响加入到回归方程和艺术品定价公式之中，完善艺术品定价模型；并且通过对艺术品多维度特征控制将艺术品分为不同的相似组*相似作品组里每个相似作品组s之中的每次交易可以视为一次重复的交易，其中相似组s要满足四个假设条件：(1)相似组要尽可能包含艺术品特征的所有维度，要尽可能保证相同的相似组的艺术作品是同质的，不同相似作品组的作品是异质的；(2)相似组里面的每件艺术作品多个维度上的总体相似性得分是相差不大的；(3)相似组在每件艺术作品各个维度上不具有统计上的显著差异；(4)艺术品是兼具审美价值和文化、历史和经济等多维的新兴资产，相似组的确定需要对艺术品的审美价值、艺术价值、文化价值、装饰和历史等维度的数据进行全方位的剖析和完善。，通过相似组组内固定的方法进一步完善特征价格模型；利用修正的特征价格模型可以准确认识艺术品价格，并可以构建艺术品价格指数，确定艺术品市场的整体收益，量化地研究艺术品市场。

二、文献综述

三、理论分析

(一)艺术品供求关系与艺术品特征价格模型

艺术品的价格是由艺术品的需求与供给共同决定的。艺术品几乎没有物质价值，但是艺术品的审美价值、文化价值以及历史价值却是巨大的，所以对艺术品的需求也就取决于艺术品的不同特征属性。不同的艺术品具有不同特征，这些特征影响艺术品消费者或者投资者的效用函数，艺术品作为内在特征的集合来出售。设X=(X1,X2，…，Xn)为艺术品的n个特征属性构成的特征向量，Y为除了该商品以外的所有复合商品集合的价值，P(X)为特征价格函数，M为消费收入，当市场达到均衡时，P(X)=P(X1,X2，…，Xn)，M=P(X)+Y。

设U为艺术品消费者或者投资者的效用函数，θ为消费者或者投资者的出价函数，由效用函数U=(X,M,θ),可以得到需求函数θ=θ(X,M,U)。保持除Xi以外的特征属性不变，进一步得到出价曲线(需求曲线)函数θi=θi(Xi,M*,U*),其中M*和U*是确定收入水平下效用最大化的解。利用构造拉格朗日函数的方法求解消费效用最大化的最优解：

L(X,λ)=U(X1,X2,…,Xn,Y)+λ[M-P(X1,X2,…,Xn,Y)-Y]

(1)

一阶导数条件可得：

Ui/UY=Pi

(2)

其中Ui=∂U/∂Xi,UY=∂U/∂Yi,Pi=∂P/∂Xi，Pi为特征向量Xi的特征价格，当消费者或者投资者的效用最大化时，消费者的出价曲线与特征价格模型的曲线相切。

上面仅仅考虑到艺术品的需求面，同样需要从供给角度去看，市场的均衡条件为消费者或者投资者的价格与艺术品的持有者的价格相等；艺术品的持有者可能很多，但是从源头来讲，还是艺术家。从艺术家创作艺术品的角度来看，虽然艺术品几乎没有物质成本，但是艺术家在创造艺术品付出的时间成本以及脑力成本却是巨大的，假设不同艺术品的成本是由不同的特征属性向量的集合决定的，所以不同的艺术品的成本函数是不同的，对艺术品的利润函数进行转换，可以得到艺术品的供给函数φi=φi(Xi,Xw,π*),其中Xw是除了特征属性Xi以外的所有的特征属性，π*是艺术品所属的供给者可以获得的最大利润。令成本函数C=C(X,Q),其中X为特征向量，Q为艺术品的数量，其他商品的参数为向量γ，则生产者的利润为π=P(X)Q-C(X,Q,γ)。其中生产者利润最大化：maxπ=P(X)Q-C(X,Q,γ),由一阶导数条件可得PiQ=Ci。由此可知，对于处于市场均衡状态的生产者来说，其供给函数与特征价格模型的曲线相切，在切点处，特征属性的隐含价格与该特征属性的边际成本相等，当竞争市场达到均衡状态，需求与供给相等，从而得出出价曲线、要价曲线和特征价格曲线相切，可以得到艺术品的均衡价格和均衡数量。并且可以得到由均衡价格和均衡数量决定的特征价格模型曲线的方程为：

(3)

其中Pi为艺术品成交价格；xk,i、xw,i表示影响艺术品价格的定量特征；dumm,i表示影响艺术品价格定性特征的虚拟变量，当艺术品具备该特征时取1，否则取0。

(二)艺术家禀赋、艺术品供求关系以及艺术品均衡价格

从供给的角度来看，艺术家禀赋已经成为艺术家创作艺术品的标签，形成类似品牌效应的作用，具有一定的垄断竞争力。从需求的角度来看，投资者(消费者)对艺术品特征的偏好决定其需求，消费者对于不同的艺术品特征具有不同的需求，同样消费者对于不同的艺术家特质(艺术家禀赋)具有不同的偏好，这种偏好一定程度上会影响艺术品的需求，甚至会影响投资者对于艺术品定性以及定量特征的认可程度和需求，这种偏好与需求来源于生活和经历等多维层面，具有较强的稳定性。另一方面，艺术品市场作为新兴的投资市场，信息具有较强的不对称性，投资者容易受到市场评论和媒体信息的影响，资深艺术评论人对于艺术家特质和艺术品特征的偏好会传递给投资者，羊群效应明显。传递的偏好会在买卖双方的较量之中具有极大的分量，影响艺术品的需求。综上来看，艺术家特质X*已经成为特征向量X的属性变量，对艺术品的出价曲线(需求曲线)有着重要的影响， 进而对艺术品的均衡价格有着重要的影响。

此外，艺术品市场存在较强的锚定效应，即一件艺术作品的历史成交价格将不可避免地成为该作品拍卖时的参考价格。艺术品具有较低的流动性，那么与该艺术品相似的作品也将成为重要的锚定作品，同时艺术家的平均价格也成为艺术品的重要锚定参照物，艺术家的平均价格是由艺术家特质的品牌效应综合形成，这也间接证明了艺术家禀赋对艺术品均衡价格的影响。由此得到的均衡价格和均衡数量决定的特征价格模型曲线的方程为：

(4)

四、研究设计

(一)研究方法

(5)

其中，βauthor不是一个固定的常数，是随着艺术家变动而变化的参数。βauthor的设定解决了两个重要的问题：一是遗漏变量(艺术家禀赋或艺术品个体异质性未设定)导致的特征价格模型拟合优度偏小问题;二是系统内生性问题(艺术家禀赋变量与艺术品特征变量相关)。对于艺术品定价，笔者主要考虑的是艺术品的某一特征和宏观经济形势对艺术品价格的影响因子。参照面板个体固定效应的处理方法，本文采用艺术家组内固定的方法对特征价格模型进行修正，这样就可以使得艺术家禀赋对艺术品价格的影响在特征价格模型中有所体现，得到β的无偏估计量，解决了系统性的偏误。

对方程(5)作如下处理：首先，在固定艺术家的情况下对方程取平均，得到方程a；其次，在全样本下对方程取平均，得到方程b；最后，将原始方程(5)与方程a作差并与方程b作和*由于篇幅所限，具体推导过程不再展开，如有需要可向笔者索要。。整理化简得到：

(6)

(7)

对方程(6)进行OLS回归就能得到艺术品特征变量对艺术品价格影响因子β的无偏估计量，eβauthor是艺术家禀赋对艺术品价格影响的量化表现形式,eβa是艺术家禀赋引起的艺术品价格变化的平均值。艺术品的低流动性需要选择不同年度的截面数据作为样本的数据来源，同时要考虑艺术品价格随着宏观经济的周期性变化，在回归方程之中把时间固定下来，就是让年份作为虚拟变量加入到回归方程之中：

(8)

进一步来说，如果把影响艺术品价格的所有定性和定量特征尽可能详细的确定，以及拟合优度不断变大直到接近1的时候，对(8)方程进行回归得到其β系数，将β系数固定得到艺术品的定价公式。 艺术品具有较高的异质性，有时候仅仅实现对艺术家的控制去研究艺术家的禀赋对艺术品的价格的影响还不够，需要在更多维度上控制艺术品特征。可以认为当艺术品在多维度特征都相同时，该类别内的所有艺术品是一个相似组，利用相似组的思想来定量分析艺术品个体异质性对艺术品价格的影响。不同相似组之间的回归方程不同，具体表现形式如下：

(9)

采用相似组组内固定的方法并且简化处理得到如下方程：

(10)

其中eβs代表了艺术品个体异质性对艺术品价格影响的量化表现形式；其中βs表示的是艺术品个体异质性对价格的影响在特征价格模型的表达形式。

(二)回归模型设立

1.特征价格模型

通过现有的样本数据，结合之前学者的研究，对尺寸、著录次数、签名、款识等主要的定性和定量变量进行回归分析，得到回归方程为：

(11)

其中著录次数和尺寸是定量特征，著录次数是从0开始变化而且数量级很小，所以通过ln(1+Recorded_i)加入到回归方程，可以更好地表达著录次数对艺术品价格的影响；定性特征包括款识和签名，通过定义虚拟变量的方法研究这两种特征对艺术品价格的影响，当艺术品具有该项特征时，虚拟变量取1，否则为0。

2.艺术家禀赋与特征价格模型

艺术家禀赋对艺术品均衡价格具有重要的影响，需要让艺术家禀赋在特征价格模型之中量化体现，故采用组内固定的方法处理，将控制变量加入方程(8)得到具体的回归方程为：

(12)

3.艺术品个体异质性和特征价格模型

相同艺术家的低价作品和高价作品也可能存在较大的异质性，即艺术品高价组和低价组在技法的成熟性以及审美价值表达层次具有显著的差异。仅仅实现艺术家的固定可能还不够，因为相同艺术家低价组和高价组的回归方程可能不相同。本文先控制了艺术家这个维度，并通过艺术品单位平尺价格的分位数将艺术家组内样本数据分为10组，全部的艺术品分成了3880组，相同的艺术家和单位平尺价格在一个区间为一个相似组*限于数据，此处的相似组只控制了艺术家与单位平尺价格两个维度。。对回归方程(10)加入样本中已有的控制变量得到我们所需的回归方程为：

(13)

eβA为艺术品个体异质性对艺术品价格影响的平均值。

五、实证分析

(一)变量与数据来源

(二)回归分析

1.艺术家禀赋与艺术家组内固定效应模型

表1 回归结果

注：*、**和***分别表示在10%和5%和1%水平上显著，系数下的数值为聚类稳健标准误。

表1中的(1)是方程(11)回归得到的回归结果，我们主要研究的是艺术品特征对艺术品拍卖成交价格的影响，所以在回归结果之中删除了时间变量对艺术资产价格的影响；回归结果(2)是方程(12)回归得到的结果，通过艺术家组内固定的方法研究了艺术家禀赋对艺术品价格的影响。从实证结果(1)(2)对比来看，未考虑艺术家禀赋的特征价格模型低估了艺术品尺寸对艺术品价格的影响，高估了艺术品其他的定性与定量特征对艺术品价格的影响。应用艺术家组内固定的方法把代表艺术家禀赋的变量加入到回归方程之中，消费者或投资者对不同艺术家禀赋的偏好引起的艺术品价格变化的平均值为 44.7(e3.8)元。从两个计量方程的回归结果的拟合优度以及其它艺术品特征的β系数比较得出以下结论：结果(2)的拟合优度远高于结果(1)，而且相对于传统的特征价格模型，定量特征以及定性特征对艺术品价格的影响系数也发生了较大变动；艺术家禀赋对艺术品价格具有重要的影响，因此在特征价格法的构建中需要量化表现。如果对影响艺术品的特征进行细致分析、归类和总结，可以挖掘出对艺术品价格产生影响的全部特征，参照计量回归方程(12)进行回归，在拟合优度足够大的时候，便可以将固定的系数带入方程之中，得到定价方程的具体系数。

2.艺术品个体异质性与相似组组内固定效应模型

表1的实证结果(1)(2)定量地证明了艺术家禀赋对艺术品价格的影响，但是艺术品的高异质性让特征价格模型设定的时候仅仅考虑固定艺术家是不够的；在控制艺术家这个单一维度的前提条件下，笔者通过将艺术品单位平尺的价格大致控制在一个范围分为10个相似组，并通过相似组组内固定的方法得到了回归方程(13)，对回归方程(13)进行个体异方差条件下的OLS回归得到其回归实证结果表1中(3)。对比表1中实证回归结果(2)(3)可知：结果(3)拟合优度得到显著提高，尺寸对艺术品价格的影响越来越大，且尺寸对价格log值的影响因子已经接近1；其他定性特征及定量特征对艺术品价格的影响在变小。不同相似组的回归方程是不同的，说明艺术家的高价作品与低价作品存在较大的个体异质性，消费者或投资者对不同艺术品异质性偏好引起的艺术品价格变化的平均值为e3.304元。 随着回归的拟合优度的逐渐增加，尺寸对艺术品价格的影响因子β1逐渐接近1，当β1=1时，笔者对特征方程进行整理得：

(14)

β1=1时，方程(14)的回归结果就变成其他艺术品特征(除艺术品尺寸)对其资产单位价格的影响，符合预期，艺术品的尺寸是很难体现审美价值的，但是艺术品尺寸对审美价值具有加成作用。故尺寸对艺术品价格log值的影响因子在1左右波动。

(三)稳健性检验

1.定价模型有效性检验

本文采用嵌套模型的平均误差平方(Mean Squared Error,MSE)*平均误差平方(Mean Squared Error,MSE)指的是在相同的条件下，被解释变量拟合值与真实值差的平方和与观察值个数的比值。其值越小，回归方程拟合得越好。和调整R2来比较模型预测价格的有效性。选择传统的特征价格模型作为基准模型，计算基准模型的平均误差平方记为MSEu；在基准模型中加入艺术家禀赋变量，得到比较模型的平均误差平方MSEr；同时利用相似组组内固定的方法将艺术品个体异质性加入特征价格模型，进一步得到另一比较模型的平均误差平方MSEn。利用方程(11)(12)(13)分年份进行回归得到其调整R2，并利用回归结果计算得到相应的平均误差平方。两个平均误差平方比(MSEr/MSEu，MSEn/MSEr)远小于1，同时比较三者的调整R2的大小得到了一致的结论：利用相似组固定方法将艺术品个体异质性加入到传统的特征价格模型的做法在预测和认识艺术品价格上是最优的，同时将艺术家禀赋修正的特征价格模型可以在一定程度上解决特征模型设定的主观偏误的问题*由于篇幅所限，此稳健性检验结果不再展示，如有需要可向笔者索要。。

2.艺术品市场准入门槛、样本选择偏误与断尾回归

上述计量结果的数据是关于国画的拍卖数据，在国画拍卖市场未实现份额化交易的前提条件下，投资者进入国画拍卖市场时具有门槛，也就是说只有满足ln(price)≥c(c≥0)，我们才可以得到艺术品拍卖价格的微观数据。因此进行艺术品资产定价时需要对艺术品的准入门槛进行分析，我们可以对一些没有明显准入门槛的艺术品采用OLS回归确定其β系数；但是基于最小二乘法，对于那些具有明显准入门槛的艺术品运用特征价格模型确定β系数得到的估计结果可能是有偏的，忽略了非线性项对艺术品价格的影响，将其算作了随机扰动项，对待有明显准入门槛的艺术品应该采用断尾回归模型(Truncreg模型)确定其β系数，才可以得到β的一致估计量。对收集得到的艺术品微观数据进行描述性统计发现艺术品价格具有明显的“左边断尾”的现象，故采用断尾回归模型(Truncreg模型)对方程(11)(12)(13)进行回归得到表1中的(4)(5)(6)。

基于断尾回归，笔者得到了与OLS回归结果一致的结论：投资者对艺术家禀赋和艺术品个体异质性具有较强的偏好，这种偏好对于艺术品均衡价格的影响是不可忽视的；艺术家禀赋和艺术品特征对价格的影响因子均未发生变化。

(四)艺术品价格指数构建

特征价格模型除了可以用来实现价格的预测，同时也可以用来构建艺术品价格指数。修正的特征价格模型充分考虑了艺术家禀赋，侧重于研究艺术品价格与时间维度，即宏观环境(包括供求关系)的影响，可以用来构建更为精准的艺术品价格指数和艺术家价格指数，研究艺术品市场的波动程度以及市场周期。特征价格模型可以通过回归得到时间虚拟变量的估计系数，并利用一定的算法构建艺术品价格指数。利用艺术家组内固定的方法或加入艺术家虚拟变量可以将艺术家禀赋对艺术品价格的影响凸显出来，提高修正的特征价格模型的拟合优度。同样，利用相似组组内固定方法修正的特征价格模型也可以用来构建艺术品价格指数，但构建价格指数要确保相似组里面的艺术品尽可能的含有所有时期的艺术品，即相似作品的数据要在每一分组中构成平衡的准面板。目前相似组的构建在控制艺术家维度的同时，按艺术品单位平尺的价格分位数区间分为低、中、高三个相似组，这样处理可以得到更为准确的艺术品价格指数，使构建的艺术品价格指数更能准确反应艺术品市场的周期性增长。

利用Python处理特征价格数据可以得到重复交易数据样本——通过比对艺术家的名字、作品名称、尺寸、款识以及构图等多个维度确定了15520对重复样本。在考虑到交易成本(佣金因素)和时间成本(通胀)的前提下，利用3SLS回归方法得到了艺术品市场的整体收益，进而得到了重复价格指数，并以此作为基准指数，如图1所示。笔者发现，包含艺术家禀赋的特征价格模型回归得到的艺术品价格指数与重复交易法得到的基准指数趋势拟合度非常高且略小于重复交易法得到的指数，这也验证了重复交易法确实高估了艺术品价格指数。此外，还发现相似组固定效应得到的艺术品价格指数波动很小且数值明显较前两种低，但是还是可以看出其波动的趋势与前两种基本一致。分析其原因，笔者认为受限于可获取的数据(原始数据是以艺术家分组的数据库)，导致相似组分组时每个组中丢失了较多有效数据信息含量，无法构成平衡的准面板数据，导致了艺术品价格指数与RSR指数相差较大，但反应的波动是一致的。

图1 艺术品价格指数

综上，加入艺术家禀赋的特征价格模型指数与RSR价格指数具有较大的拟合性，甚至比RSR指数更精确。优化后的模型在一定程度上克服了特征价格模型本身的主观设定偏误，同时解决了RSR高估指数(只有精品才会被反复拍卖)和构建数据库复杂的缺陷，又由于其不需要筛选重复样本避免了一定的时间成本，因此修正后的特征价格模型可以用来作为构建指数的主流方法。如果本身的数据样本完善，则可以用相似组组内固定的方法修正特征价格模型，构建更为精确的指数。

六、结论及展望

本文的实践意义主要集中在两个方面：一是结合相似组、组群分析等思想，把更为精确的艺术品个体异质性加入到计量方程和艺术品定价公式之中，回归得到β系数，并把系数固定得到艺术品的定价公式之中。计量回归方程为：

(15)

该估值方法体现HR和RSR的综合，模型将RSR嵌入到HR的模型之中，较好的解决艺术品异质性所引起的特征价格模型设定的偏误，实现对原有特征价格模型的进一步修正，一定程度上准确认识艺术品价格机制并有效的实现价格的预测。二是利用相似组、组群分析等思想修正的特征价格模型构建艺术品价格指数。本文通过比对重复价格指数和包含艺术家禀赋的特征价格指数，发现特征价格指数在考虑艺术品异质性的基础，可以较大程度的克服特征价格模型的主观偏误。

由于在经验判断的定价方式中，专家的阅历、知识结构等差异都会带来艺术品定价的主观偏误，故而建立科学合理的艺术品定价模型，探索定性与定量相结合的艺术品定价方法，将是艺术品金融化的过程中一个最为关键的研究命题。包含艺术家禀赋的特征价格模型可以作为预测价格、构建指数的可行性模型，但限于数据库等多方面的因素，我们只能证明相似组组内固定方法在艺术品价格指数的构建中是简单有效的，并不能得到确切的艺术品价格指数来进行进一步的研究。未来在完善的艺术品数据的基础上，借助组群分析等方法构建价格指数，进一步考量艺术资产的定价、投资以及艺术品市场有效性等问题，提高理论的适用性，将是促进艺术品市场理性发展、理性繁荣的重要根基。