均值不等式的技巧与策略

摘要：均值不等式是不等式这一章节最重要的公式之一。这是不等式证明和求最值的有力工具。应用均值不等式求最值时，要把握均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略了任何一个条件，就会导致解题失败。在使用均值不等式解题时，根据问题的结构，常常需要配合一定的变形技巧，才能把问题化成适合使用均值不等式的结构形式。活用均值不等式来解决问题是我们平时学习中的基本要求。那么，如何“活用”与“巧用”呢？

关键词：不等式教学技巧策略

一、 调整符号化负为正，使之适合“一正”条件

【例1】已知x<54，求y=4x-1+44x-5的最值。

解：∵x<544x-5<05-4x>0

∴y=4x-1+44x-5=4-（5-4x）+45-4x≤4-2（5-4x）·45-4x=0

当且仅当5-4x=45-4x即x=34或x=74（舍去）时取等号，故x=34时，ymax=0

评注：本题需要特别需要注意均式不等式的三个条件之一——正项，所发需用调整项的符号，使之各项为正，当然本题又要考虑“定值”问题，所发在变形过程中还需适当配凑项的系数，使其积为定值。

二、 拆项——为了创造条件使用均值不等式，就需要对式子进行适当的恒等变形，拆、添、配、凑已知项，在凑配过程中应注意在等号成立的条件下，把和（积）变成定值

（一） 拆项法——通常把分式形式拆成多个式子。其中一个是整式，另一个与前一整式为分母的分式

【例2】当x>-1时，求y=x2-3x+1x+1的最小值。

解：∵x>-1x+1>0

∴y=x2-3x+1x+1=（x+1）2-5（x+1）+5x+1=（x+1）+5x+1-5≥2（x+1）·5x+1-5=25-5

当且仅当（x+1）2=5即x=5-1时取等号，ymin=25-5

（二） 凑系数法——式子本身的和或积并不是定值，这时需对原式的系数作适当的配凑，使之的和或积可发成为定值。

【例3】已知（a为正常数），求函数y=a2x2（1-ax）的最大值。

分析：用平均拆项的方法实现和为定值，并使等号成立。

解：y=a2x2（1-ax）=4·ax2·ax2（1-ax）≤4ax2+ax2+（1-ax）33=427

当且公当ax2=1-ax，即x=23a时，函数y=a2x2（1-ax）取得最大值427

（三） 倒数法——把分式取倒后，能够把式子化成为能够拆项的分式，采用第一种方法了

【例4】若x>0，求函数y=xx2+x+1的最大值。

解：∵x>0

∴1y=x2+x+1x=x+1x+1≥2x·1x+1=30

∴ymax=13

（四） 凑项

在凑“和”或“积”为定值时，还要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项。需要两次使用均值不等式，自然要考虑两次使用时等号成立的条件是否一致。

【例5】已知0

分析：因为4x+11-x≥24x（1-x），所以上式右项前面需要凑因式x（1-x）。由于x+（1-x）=1，故4x+11-x=（x+1-x）4x+11-x，且x+（1-x）≥2x（1-x）。需要两次使用均值不等式，自然要考虑两次使用时等号成立的条件是否一致。显然由4x=11-x及x=1-x所确定的x的值都不能使两次等号成立，这时可考虑对4x=11-x及x=1-x同时进行凑项处理，以顺利解决问题。

解：由00

y=4x+11-x=（x+1-x）4x+11-x=x2+x2+1-x2x+2x+11-x≥3×3x2（1-x）4×3×34x2（1-x）=9

当且仅当x2=1-x及2x=11-x，即x=23时，y取得最小值。

（五） 配项

有些问题本身看不出直接在使用均值不等式，但若能巧妙地添式配项，则可把问题转化，使之或部分项成为明显可用均值不等式。

【例6】已知a1、a2、……、an為正数，且a1+a2+…+an=1，求证：a21a1+a2+a22a2+a3+…+a2nan+a1≥12

证明：因ai>0（i=1，2，…，n），故

a21a1+a2+a1+a24≥a1

a22a2+a3+a2+a34≥a2

……

a2nan+a1+an+a14≥an

把以上各同向不等式相加，得

a21a1+a2+a22a2+a3+…+a2nan+a1+12≥1

∴a21a1+a2+a22a2+a3+…+a2nan+a1≥12

三、 整体代换——把已知条件中的某个等式整体替代原式中的某一部分，然后再作一定程度的变形，使得原式能够使用均值不等式的条件明朗化

【例7】已知a>0，b>0且a+2b=1，求y=1a+1b的最小值。

解：法1：不妨将1a+1b乘以1，而1用a+2b代换

y=1a+1b=1a+1b·1=1a+1b·（a+2b）=1+2ba+ab+2=3+2ba+ab≥3+22ba·ab=3+22

当且仅当2ba=ab取等号，由2ba=ab

a+2b=1a=2-1

b=1-22时，y=1a+1b的最小值为3+22

法2：将1a+1b分子中的1用a+2b代换：

y=1a+1b=a+2ba+a+2bb=1+2ba+ab+2=3+2ba+ab≥3+22ba·ab=3+22

评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到y=3+2ba+ab，而2ba与ab的积为定值，即可用均值不等式求得最小值。

四、 换元法——通过对原式中的某一部分（比如无理根式）作适当的变形，会使问题产生意想不到的结果

【例8】求函数y=x+22x+5的最大值。

解：令t=x+2，则x=t2-2（t≥0），

y=t2t2+1

当t=0时y=0

当t>0时，y=t2t2+1=12t+1t≤122t·1t=24

当且仅当2t=1t，即t=22时取等号。故x=-32时，ymax=24

评注：本题通过换元法使问题得到简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。

五、 平方——有时，需要通过平方或开方运算，才能把问题化为可应用前面所说技巧的形式

【例9】设0

解：y2=36x2（4-x2）2=18×2x·（4-x2）（4-x2）≤182x2+（4-x2）+（4-x2）33=18×1833

当且仅当2x2=4-x2，即x=233时，y2max=18×1833，由此可知，当x=233时，ymax=3233

六、 找定值，巧用均值不等式，这个定值有时是明显的，而有时则比较隐蔽的，要善于观察项与项之间的结构，或者说是某一些部分之间存在着某种联系。这时再作适当的变形，就能使用权问题明朗化

【例10】设0

分析：要证的不等式的左边的分母x+（x-1）=1为定值，这就启发我们找到了这样的简捷解证明：

∵a2x+b21-x=[x+（1-x）]·a2x+b21-x=a2+b2+1-xxa2+x1-xb2≥a2+b2+2ab=（a+b）2

所以原不等式成立。

七、 构造——根据问题的整体结构，用均值不等式构造辅助不等式，然后经过某些运算，促使问题的转化与解决

【例11】已知a1、a2、……、an∈R，且a1+a2+…+an=A（A>0），

a21+a22+…+a2n=A2n-1（n∈N且n≥2），求证：0≤ai≤2An（i=1，2，…，n）

证明：A-a1n-1·a2≤12A-a1n-12+a22

A-a1n-1·a3≤12A-a1n-12+a23

……

A-a1n-1·an≤12A-a1n-12+a2n

将上述n-1個不等式相加，得

A-a1n-1（a2+a3+…+an）≤12n-1（n-1）2·（A-a1）2+a22+a23+…+a2n

即（A-a1）2n-1≤12·（A-a1）2n-1+A2n-1-a21，整理得（A-a1）2n-1≤A2n-1-a21，

即na21-2a1A≤0，解得0≤a1≤2An，同理得0≤ai≤2An（i=1，2，…，n）

总之，均值不等式成立的条件，结构特征，积、和为定值等等，是理解应用均值不等式的认知角度，要学会观察已知和未知的结构特征、数字特征，认清其区别和联系，联想相关的知识点、方法，寻找解决问题的突破口。

参考文献：

[1]中学生数理化（高中版·学研版）.2011年02期.

[2]高中数学专题训练——平均值不等式解题技巧与策略[J].百度文库.

作者简介：

肖荣星，福建省厦门市，海沧中学。