一类矩阵的行列式及应用

刘碧铎 　　　　　　　　　　 胡永建

(北京大学数学科学学院　100871)　　(北京师范大学数学科学学院　100875)

本文研究n阶矩阵：

(1)

假定zi,wj≠0 (i,j=1,…,n)，并记

则Δ(x)为次数不超过n-1的多项式，且Δ(zi)=0 (i=1,…,n-1).因此，Δ(x)=c(x-z1)…(x-zn-1)，其中c为常数.令x=0，则c=(-1)n-1·(z1…zn-1)-1Δ(0). 注意到，

(2)

根据递推式(2)，我们可证明如下结论：

定理1设矩阵Pn由(1)式给出.则Pn的行列式为

(3)

证明由定理1前面的分析知，当zi,wj≠0 (i,j=1,…,n)时，递推式(2)成立，由此不难得到(3)式成立. 当某两个zi或某两个wj等于0时，则Pn的两行或两列相同，从而|Pn|=0，此时(3)式仍然成立. 当某个zi或wj等于0时，(3)式等号左右两边的表达式关于zi,wj在zi=0或wj=0处连续.那么,令zi→0或wj→0，可以推出当zi=0或wj=0时(3)式也成立.证毕.

由定理1知，矩阵Pn总是非奇异的. 特别地，如果zi(i=1,…,n)是复平面单位开圆盘内互异的点，则Pick矩阵

为Hermite正定矩阵.

k,l=1,…,n.

于是，我们有下面的结论：

plk=(-1)n-1·

l,k=1,…,n.

利用定理1的结论，可以得到美国数学月刊第11969号问题的一个简单解答．

(4)

由定理1知，

众所周知，Cauchy矩阵是如下形式的矩阵：

(5)

其中x1,…,xn与y1,…,yn分别互异，且xi≠-yj(i,j=1,…,n). 由定理1还可以得到Cauchy矩阵Cn的行列式表达式、可逆性的证明和逆矩阵的表示[3].

推论1设Cn由(5)式给出，则Cn的行列式为

(6)

证明首先假定x1,…,xn≠0,则

由定理1的结论可知，

当某两个xi=0时，Cn中出现两行相同，则|Cn|=0，(6)式成立. 当某个xi=0时，注意到(6)式等号两边的表达式在xi=0处有定义且连续，令xi→0，则(6)式仍然成立. 证毕.

由定理3知，Cauchy矩阵Cn总是可逆的. 容易发现，Cn中每个元素的余子阵是n-1阶Cauchy矩阵.据此可以得到Cn的逆矩阵的如下表示.

clk=

l,k=1,…,n.

例2设矩阵

证明：A为可逆矩阵且A-1为整数矩阵.

=(-1)k+l·

故结论成立. 证毕.