注重基础关注素养 落实高考改革要求——2017年浙江高考数学卷评析

卢　明

(浙江省海盐县元济高级中学　314300 )

2017年，浙江作为全国高考综合改革试点省，首次实行数学文理合卷．面对全省25万报考类别不同的考生，要命制出一份既要照顾数学相对较弱的文科生、艺术类考生，又要控制理科尖子生的高分，还要兼顾高校选拔性考试的区分度，十分不易．高考下来，试卷的实践效果怎样呢？是否实现了命题预期？与前几年的试卷相比有何不同？对高中数学教学有何启示？围绕以上问题，笔者与大家分享自己的一些观点，欢迎批评指正．

1　试卷概况

回顾整卷，今年的浙江数学试卷与前两年相比有明显不同，主要体现以下变化.

1.1　试卷结构有所调整

今年的试卷结构有所变化，总题量从20题增加至22题，主要增加选择题，即从原来的8题变为10题，分值从每题5分降至4分；填空题、解答题的题量和分值没有变化；5道解答题均采用分步设问，除第22题分3步外，其余都是分2步．试卷结构变化的目的是增加考生的得分机率，以适应文理合卷的需要．

1.2　尝试新的命题策略

实行文理合卷以后，过去文理分卷的命题策略不再适用，必须寻求新的策略．今年命题采用的策略是：“文科起点，理科终点，有效区分．”所谓“文科起点”就是“保底分”，如选择题第1～3题和填空题第11、12题，起点较低，只要仔细做，一般都能做对；所谓“理科终点”就是“有效压轴”，控制高分人数；所谓“有效区分”，就是通过增加中档题和分步设问，让不同水平的考生有不同的表现，满足选拔需要．从阅卷信息反馈看，基本符合命题专家的预期．(见表1)

表12017年浙江高考数学平均分一览表(含0分)

题型(次)省平均难度系数选择题28.50.71填空题18.190.51第18题(三角函数)10.90.78第19题(立体几何)8.390.56第20题(导数)5.440.36第21题(解析几何)4.920.33第22题(数列)2.420.16卷面总分78.760.53

所谓“含0分”是浙江阅卷统计的一个口径，即包含缺考情况的平均分．数据表明，填空题和立体几何题的难度系数分别为0.51和0.56，说明有很好的区分度；选择题、导数题和解析几何题的难度系数分别为0.71、0.36和0.33，说明有较好的区分度；数列题的难度系数为0.16，说明压轴效果显著．

1.3　减少了繁琐的分类讨论

“分类讨论”是高中数学的重要数学思想，它反映了一个人的思维品质．如何考查分类讨论思想？以往的考题设计往往将分类情况搞得过于复杂，把对思维品质的考查变成了繁琐的技能操作．事实上，一个考生是否具有分类讨论的思维品质，只需看他在面对不确定的因素时是否拥有分类讨论的意识，能自觉地进行分类讨论，至于分二类、三类或更多类，本质上没有多大差异．今年的试题较好地处理了这个问题，需要进行分类讨论的试题为第16、17题，每题的最佳分类种数都只有2种．此外，往年的导数(函数)解答题都需要进行分类讨论，今年的导数题不需要分类讨论．

1.4　坚守“风格”稳中有变

自2004年浙江高考自主命题以来，逐步形成了自己的命题风格．如：小题小做，大题大做，分散压轴等．所谓“小题小做”，即客观题主要考查基本概念、基本运算、基本方法和简单应用，不需要复杂运算；所谓“大题大作”，即主观题着重考查学生综合运用知识解决实际问题的能力和思维的灵活性，有一定的计算量，对数学素养有较高要求；所谓“分散压轴”，即选择、填空的最后一题均为压轴题，解答题的最后两大题均有压轴的成分，以分段“把关”．本卷基本延续了以往的“风格”，但是，选择题第10题、填空题第17题的难度较往年要低，第10题只要向量数量积的概念清晰，通过对图形的观察、估算和推理，即可得出结论，压不了轴．解答题第19题第二问、第20题的难度显著高于往年．

总之，今年的浙江数学试卷较好地贯彻了“文科起点、理科终点、有效区分”的命题策略，试题起点低、坡度缓、中档题数量较多，区分度较好，突出创新性和选拔性．

2　主要亮点

今年的浙江数学卷整体结构稳定、难度合理，对科学选人、深化课改，培养学生的创新精神和实践能力，提升核心素养，有积极的导向作用．概括起来主要有以下几点：

2.1　叙述简捷，干练流畅

数学命题，“命题者都应坚持数学‘两点间线段最短’的思想——明了、简捷，不宜在题目的表述上作文字游戏——绕来绕去．”本卷的每一道题坚持做到表述简捷、明了，不让考生在读题上花费过多的时间，不给考生在理解题意上造成太多的困难，不因试题表述不当而产生歧义，让考生看得明白，做得踏实．

2.2　渗透文化，弘扬精神

教育部考试中心专家指出：“2017年新修订的数学考试大纲提出了加强数学文化考查的要求．”浙江数学命题专家认真落实上述要求，如第11题，以我国古代数学家刘徽、祖冲之如何创立、发展“割圆术”的历史文化为背景，开了近几年来浙江卷的先河，充分展现数学的思想性、创造性、民族性和世界性，弘扬了民族精神．

2.3　注重基础，突出素养

本卷加强对基础知识和通性通法的考查，试题的呈现和解答注重常规思路和基本方法．基础题主要考查高中数学最基本的概念，中档题一般在知识的交汇点处考查主干知识，较高难度题则需要数学思维能力强、学科素养高的考生才可能做好．

数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力．高中阶段的数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．本卷突出对数学核心素养的考查，如：第8题，知识点为随机变量的分布列、数学期望和方差，专家通过改进试题的表述方式来考查学生的“数学抽象”素养．再如：

(第19题)如图1，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．

图1

(1)证明：CE∥平面PAB；

(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

本题在考查线面关系等基础知识的同时，重点考查学生的直观想象、数学运算、逻辑推理三大数学素养．

在解第(2)问时，直观想象能力比较差的考生误以为平面PAD⊥平面ABCD，导致直角坐标系建错．事实上，平面PAD与平面ABCD成120°的二面角，建系前，首先要对该二面角的大小作出判断，关键是要求出PB的长度，难点是发现∠PBC=90°．此处可以鉴别学生的数学素养水平．

本题的第一问为6分，第二问为9分，全省平均分为8.39(含0分)，难度系数为0.56，说明本题的区分度很好．

解(2)：向量法

取AD的中点O，连结PO，BO，设PC=AD=2.

在直角三角形PAD中，

因为PA=PD，所以PO⊥AD.

又四边形BCDO为正方形，所以BO⊥AD，

所以AD⊥面PBO，

因为AD∥BC，

所以BC⊥面PBO，

所以BC⊥PB.

又PO=BO=1，

所以∠BOP=120°．

以O为原点，OB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系(如图1)，得

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则

设直线CE与平面PBC所成角为θ，

点评本题也可以用几何法解，但添辅助线的过程非常复杂，空间想象能力弱的学生难以想到，相对而言，向量法要简单一些．本题对考生的直观想象、数学运算和逻辑推理素养有较高的要求．

2.4　质朴无华，彰显功力

本卷试题对考生来讲，绝大多数背景熟悉，设问方式常规，解题方法基本，给人以“题在书外、根在书中”的感觉．如：

(1)求f(x)的导数；

题目指向明确，一目了然．第一问考查导数计算、数学运算素养．许多考生求导时出错，表现出对根式和复合函数求导不够熟练，数学运算素养较低．第二问是求f(x)在给定区间上的取值范围，涉及到函数的单调性与最值，对运算能力要求高，综合性较强．本题全省平均为5.44分，难度系数为0.36，中等及以下学生上手困难，区分度较好．

再如：

图2

(1)求直线AP斜率的取值范围；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值．

本题考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和数学运算素养．本题的解题思路、方法常规，避开了平时学生大量操练的“韦达定理+Δ”解题模式．第一问的解为第二问的求解提供了铺垫和思维引导．然而，解第二问的关键是如何求出Q点的坐标、如何将|PA|·|PQ|转化为一元函数的最值问题，这需要有深厚的数学功底和优良的思维品质，包括解析几何的思维方式、熟练的数学运算能力和战胜困难的勇气，正如考生所言：“题中到处有关卡，知道方向也算不到底．”

本题除了命题组提供的解法外还可以用向量法“秒杀”，即巧妙运用向量的投影来求向量的数量积，具体解法如下：

因为BQ⊥AP，

2.5　创新设计，入口宽泛

本卷许多试题给考生预留了多角度思维的空间，入口宽，解题途径比较多．选择的切入点不同，解题过程的简捷程度也不同，通过“耗时”差异可以区分考生的思维水平，充分体现以知识为载体、方法为依托、能力为导向的命题导向．如：

(第15题)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，则|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是 .

解法一(转化为线性规划) 令x=|a+b|，y=|a-b|，则x,y∈[1,3]，等价于求x+y的最值．

因为x2+y2=2a2+2b2=10．于是，

由图3知(x+y)min=3+1=4，

图3

解法二(转化为二次函数) 设=θ∈[0,π]，则

换元 令4cosθ=t∈[-4,4]，

点评显然，解法二的计算量明显高于解法一．本题还可以有其它解法，这里不再一一赘述．

再如：

(第22题)已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*)．

证明：当n∈N*时，(1)0

(下面仅对第一问作解析)

解法一用数学归纳法证明xn>0.

当n=1时，x1=1>0，命题成立；

假设n=k(k≥1)时，xk>0成立，

则n=k+1时，若xk+1≤0，

则00；

综上，对任意n∈N*，xn>0．

所以，xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1．

即当n∈N*时，0

解法二易知对任意的x>-1，

有ln(1+x)≤x，当且仅当x=0时取等.

所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1

=2xn+1，(※)

所以xn+1与xn同号，由递推知xn+1与x1同号，

因为x1=1>0，故xn+1>0，

又由(※)得，xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0，

所以0

点评解法一比较容易想到，难点在于反证法的应用，因为平时学生很少使用；解法二的思维品质比较高，难点在于是否熟悉ln(1+x)≤x这个结论，并能熟练地运用递推思维和作差比较法．本题还可以用其它解法．

3　对教学的启示

今年的浙江数学卷注重考查核心概念、基本技能和基本数学思想方法，重通性通法，淡化技巧，不出偏题怪题，充分体现对“课标”的执行力，同时加强了对数学核心素养的考查，对未来的高中数学教学有积极的指导意义．

3.1　读懂用好“课标”，使教学更专业

教学是教师的专业实践，这种专业性体现在通过专业方案的设计、实施与评估，以规范或指导学生的学习过程，即促进学生的学习．方案(即教案)的专业性是教学专业性的前提，而基于《课程标准》(即“课标”)设计教案是实现方案专业的必要条件．《课程标准》是宏观体现国家意志的、基于学科逻辑的育人目标．然而，在平时的教学中，许多教师对“课标”不够重视，或对“课标”有曲解，导致教学游离于“课标”，使原本专业的教学变得随意了，丧失了专业的权威，给旁人质疑“教师”是专业人员留下了把柄．今年的浙江卷第22题第二问，曾经有老师用“泰勒—麦克劳林”展开给出了漂亮的证明，于是，有老师提议今后教学应该补充“泰勒展开”的内容．事实上，命题组给出的解法根本不需要“泰勒展开”知识．假如只是为了获得某种解题方法或技巧就随意地补充课程内容，是“课标”意识淡薄的表现，会给学生造成过重的学业负担．必须明确，“课标”是教师教学依据的“法律”，依“法”施教是甄别教师教学是否“专业”的重要标志．华东师范大学崔允漷教授指出：“‘教育目的’的具体化是《课程标准》，而《课程标准》的具体化就是‘学习目标’”换言之，《课程标准》是教师教学设计最重要的依据，惟有基于“课标”教学，才能将育人目标落地．

3.2　重视夯实基础，落实分层要求

所谓“基础”，是指基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验，它是形成素养的基础，脱离了“基础”，何谈素养？不要误解，强调核心素养了，再提“基础”过时了．针对高考数学文理合卷，“文科起点，理科终点”将成为命题发展的必然趋势．今年浙江的数学卷整卷难度系数(含0分)为0.53，表明有很好的区分度，试卷难度定位合理．对多数学生来讲，卷面上基础题和中档题是反映其数学水平的主要方面，所以，重视基础是数学教学必须遵循的原则．然而，文理合卷后压轴题的难度并没有降低，故分层教学显得更为重要．让有不同数学需求的学生学习不同的数学，实现差异学习；让有不同数学兴趣的学生学习有用的数学，实现意义学习，使得不同层次的学生都学有所获，各得其所，是分层教学追求的目标，也是高校选拔人才对高中数学教学的期望．

3.3　培育核心素养，提升发展后劲

人成功的基础是：“知识+机遇+思维方法”．学习数学，除了获取必要的数学知识和掌握必要的数学技能之外，更重要的是获得基本的数学素养，会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界．2001年前，我国基础教育强调落实“双基”，之后的15年，提出了落实“三维目标”，如今深化高中课程改革，强调培养和提高学生的核心素养．从“双基”到“三维目标”，其先进性表现在从关注“知识与技能”转向关注学生作为“人”的素质，将育人目标作为一种整体来认知，但它还有不足，即只关注目标的呈现方式，却没有明确目标的实质内涵．核心素养概念的提出，是对“三维目标”的进一步发展，对学生受教育后习得素养的内涵有了明确的表述，便于检测与评价．数学核心素养是数学课程目标的集中体现，它是在数学学习的过程中逐步形成的．教师要与时俱进，更新观念，了解学生核心素养的习得规律、行为表现和检测方法，严格基于“课标”教学，让学生通过“正确”的过程学习“正确”的知识，习得数学核心素养，改变记忆模仿、“刷题”等非数学的方法学数学的状态，使学生的数学关键能力和学习力获得提升，实现学习意义的增值．