密度算子的性质及其应用

秦欣云 许道云

摘 要：在量子力学中，密度算子作为量子系统的混合状态表示，其表达能力和性质得到广泛应用。本文基于矩阵和密度算子基础理论，利用Bloch向量表示单量子比特，得到纯态和混合态的密度矩阵的奇异值分解表达式和幂形式。通过分析密度矩阵的若尔当标准形，得到密度算子的一些特殊性质。利用密度算子的基本性质，通过选取二进制点作为量子比特的基矢，分析了由密度矩阵表示的多量子比特系统中量子叠加态的相干性，并研究了密度算子作为量子态可区分的数学理论。

关键词：密度算子；奇异值分解；若尔当标准形；相干性；可区分性

中图分类号：O413.1

文献标识码： A

随着量子计算和量子计算机等相关领域的研究发展[1-5]，量子力学已成为量子理论发展中一门重要的基础学科，密度算子作为量子力学的一个重要概念，简化了某些具体问题的计算。同时，量子测量作为量子力学基本假设之一，它联系着经典世界和量子世界，而密度算子作为量子测量中的一种重要量子态，其基本性质为研究量子态的可区分性提供了理论工具。

密度算子的概念是Von Neumann等人在1927年为了描述量子力学中的统计概念首次提出的。近年来它被广泛用于描述量子力学中的混合状态和复合系统，在描述过程中，密度算子有多种表示形式。如李静[6]证明了任意密度矩阵都可以被ρ=I+r→·σ2唯一表示，但此形式在分析密度矩阵的具体分解形式时有局限性，不便于具体运算。丁巍巍等人[7]首先利用特殊酉群SU（R）的典型生成元构造矩阵空间的两组Hamel基，然后在这两组基底下描述了多体量子系统中密度矩阵的表示，此表示方法仅对特殊酉群中的基底有效。最近的工作是杨莹等人[8]于2015年采用内积的方法给出的二阶、四阶、八阶、2n阶密度矩阵的表示形式，但在基底中使用张量积不便于展开分析密度矩阵。

更具挑战的是在不同的表达形式下，会得到不同的密度算子性质。为了进一步完善密度算子的性质理论，本文将根据性质的研究需要来选取最合适的密度算子的表达形式。

1 基础知识

在量子计算中，密度算子作为描述量子状态的一般表示被引入。在密度算子性质的研究过程中需要一些矩阵和密度算子的基础理论，更详细的知识请参见文献[9]和[10]。

1.1 矩阵理论

矩阵分解是矩阵理论中重要的组成部分之一。本文主要涉及到矩阵的奇异值分解。

定理[10]（奇异值分解） 令A是一个方阵，则必定存在酉矩阵U、V和一个非负对角阵D，使得A=UDV，其中D的对角元素称为A的奇异值。

实际上，奇异值分解是谱分解和极式分解的结合。用密度算子语言表示奇异值分解：密度算子ρ是一个方阵，则必定存在酉矩阵U、V和一个非负对角阵D，使得ρ=UDV，其中D的对角元素称为ρ的奇异值。

2 密度矩阵的分解性

矩阵分解就是将矩阵“分而治之”为数个简单矩阵的运算。可以利用分解后的数个简单矩阵特性来研究原矩阵本身的结构特征和性质。

3 密度算子性质的应用

3.1 量子叠加态的相干性

量子计算机在实现高效率的并行运算过程中，需要用到量子叠加态的相干性。本部分主要是从一个新的角度来分析量子叠加态的相干性。

定理3.1[11] 混合态不存在相干性，如果单量子体系中的量子比特的纯态密度矩阵的非对角元素不等于零，混合态的密度矩阵非对角元素为零。

基于定理3.1，进一步来分析多体量子比特系统中量子叠加态的相干性。

定理3.2 由复合系统的密度矩阵可得到子系统的约化密度矩阵，则子系统不具有相干性，如果在任意两体量子比特系统中，子系统的约化密度矩阵平方的迹小于1。

从定理3.1、定理3.2和定理3.3可以得出：对于单量子比特系统，可用密度矩阵的对角元素直接分析量子叠加态的相干性；对于多量子比特系统，可用子系统的约化密度矩阵分析量子叠加态的相干性。

3.2 密度算子可区分的数学理论

量子态的可区分性是量子信息理论中量子测量的一个重要应用。

4 结束语

本文通过研究密度矩阵的奇异值分解和若尔当标准形，得出纯态和混合态的密度矩阵的奇异值分解形式以及密度矩阵的一些基本性质，这些结果不仅有助于更好的理解密度算子，而且为密度矩阵相关理论的更深层次研究提供了便利。其次，还将密度算子的性质应用到量子力学中其他性质的证明上：分析了多量子比特系统中量子叠加态的相干性，并拓展了密度算子作为量子态可区分的数学理论。

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（责任编辑：曾 晶）