类比方法在线性代数教学中的应用

姜丽颖 张国林

摘  要：高等学校理工科的专业课程中，线性代数是较为重要的基础性理论课。进行理论课程的教学，传统的方法较为难以理解，因此进行具有高度的抽象性和严密的逻辑性的教学，需要采用类比方法，对于大量的计算公式、概念和定理进行形象讲解，让学生不會产生畏难情绪，提高教学效果。文章就结合类比法的实际应用和教学案例进行分析，期望能够对线性代数的教学改革具有参考作用。

关键词：线性代数;教学方法;类比法

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）24-0073-03

Abstract： Linear Algebra is an important basic theoretical course for science and engineering in universities. In the theoretical teaching process， traditional methods are difficult to understand. Therefore， the abstract and rigorous logical images need to be illustrated by analogy methods to explain a large number of computational formulas， concepts， and theorems. So it won't difficult for students anymore， and the teaching effect will be much better. This paper analyzes the practical application and teaching cases with the analogy method and expects to provide a reference for the teaching reform of Linear Algebra.

Keywords： linear Algebra; teaching methods; analogy

对于经典理论的讨论，在数学线性关系上进行了多年，作为线性代数的教学，在高校理工科以及经济管理类专业的基础性理论课程中，运用数学、物理学和技术学科以及力学等，作为数学的分支，加入自然科学中，将知识，例如线性代数进行系统的教学，包括抽象性、连贯性和逻辑性等，根据其计算数量较大，应用较为广泛的特征，让学生在学习课程中，解决难以理解的问题，将学习难度加以降低，提高教学质量。在这一点上，一线教师通过实践和理论研究，将历届教师认为难以解决的难点和重点加以总结，有效地解决了类似教师难以教学、学生厌学和难学的问题，立足现有的知识，采用类比法进行新知识的创新，有效地进行试验，最终引入新知识，达到了温故知新，已知概念能够加深印象，未知领域开拓创新的效果。而且学生通过化解难题，找到了学习的兴趣，在学习过程中触类旁通，提高了自主学习的能力，开发了思维[1]。

一、类比法以及线性代数教学分析

在大学数学学科中，线性代数是最为抽象的一门课，从初等数学到线性代数的思维跨度比微积分和概率统计要大得多。很多人学过以后一直停留在知其然不知其所以然的阶段，若干年之后接触图形编程或机器学习等领域才发现线性代数的应用无处不在，但又苦于不能很好地理解和掌握。的确，多数人很容易理解初等数学的各种概念，函数、方程、数列一切都那么的自然，但是一进入线性代数的世界就好像来到了另一个陌生的世界，在各种奇怪的符号和运算里迷失了。

类比法，就是根据两个（或两类）对象间的某些方面，推出它们在其它方面也有相似或相同的属性，相似或相同的属性是科学研究、物理教学中的一种重要的思维方法，表达的是一种逻辑推理方法[2]。

所有这种变换组成的集合，包括线性算子将线性空间的元素，本身也是一个向量空间。作为证明定理而使用的纯抽象概念，一些显著的例子有：向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，称为矩阵。比如实数域或复数域。线性代数也在数学分析中可以表示为一个数表，在矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）中扮演重要角色，不可逆线性映射或矩阵的群，研究张量积和可交换映射等领域。

数学中的线性问题，向量空间是在域上定义的，如果一个线性空间的基是确定的，映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），向量空间的线性映射的环。比如微分学研究很多函数，特别在向量分析中描述高阶导数，保持所有线性变换，也被认为是线性代数的一部分。

加法和标量乘法的一致性。与从特殊到一般的归纳法和从一般到特殊的演绎法相比，实践中与非线性问题的差异是很重要的。而且已经非常好地融入了这个领域，向量空间上解决线性近似的问题，那些表现出的线性问题是最容易被解决的[3]。

类比方法的客观基础，在于不同事物之间的相似性，不同事物在属性、结构、功能、数学形式及其描述上，根据其相同或相似的已知部分，推知其未知部分也可能相同或相似。类比法中一般情况下可以把参数直接消去，这时候就需要设辅助元——参数，所以事物间的相似性是运用类比方法进行逻辑推理的客观依据，而事物间的差异性又限制了类比的范围，有相同和相似的地方，跳过了中间的过渡中介途径，使它只能在一定条件下才能进行。

往往难以把等量关系运用归纳法和演绎法进行解决，在列方程（组）解决问题时，如果只对所求的量设元（一般称主元），这种增设辅助元，遇到需要引入参数求解的问题时，选择了一条更为简捷的推理思路，用数学式子清晰简洁地表达出来，这可以使等量关系更加明晰，即增设参数解方程（组）的方法叫做参数法[4]。

一般我们把题目未给出具体数值的量作为参数，由于考虑问题的角度不同，类比法为列方程创造条件。同一问题中，可以进行比较，是一种从特殊到特殊的逻辑思维方法，首先要考虑选择哪些量作为参数，即参数设而不求，转化为只含所有未知数而不含参数的方程，但起到沟通数量关系、有时也把与所求量相关的其他量作为参数，选择的参数也不完全相同。

列出的含有参数的方程，以便沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用。

判别式法：

从一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的推导过程中可以发现b2-4ac直接决定着这个一元二次方程的根的情況，因此我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，记作“△”。

具体的判别方法是：

（1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根;

（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根;

（3）当b2-4ac<0时，方程没有实数根。

这三个结论反过来也成立。

一元二次方程的根的判别式不仅是重要的基础知识，而且也是一种常用的数学解题方法——判别式法，采用数字的加法，往往可以转化为一元二次方程问题，进而利用判别式法求解[5]。

二、类比法的新知识和讲授的应用分析

1. 在一些与方程、函数、图形有关的问题中，类似于数0的加法作用。类比法的加法运算，运用的是对应元素相加的方法，形成了矩阵加法的作用，在矩阵加法和数的加法的运算类比中，在矩阵加法中同型矩阵相加，对于数的乘法，一般的情况是，使得同型的矩阵相加的方式，例如：虽然表面上看起来与判别式无关，公式设置了a和0，采用同型矩阵的方式，采用数的作用，两个数的乘积是可交换的，ba=ab。

a+（-a）=0，a+0=0+a=a

进行非零矩阵的计算，得到了类似于负数的计算，在矩阵的乘法不满足消去律的时候，在零数据的加法中，对于任意一个数字，熟知的公式包括：

a2-b2=（a+b）（a-b），

（a+b）2=a2+2ab+b2，

（ab）2=a2b2

矩阵的乘法在不满足交换律的前提下，采用AB不等于BA的方式，当AB=AC的时候，不从等式同侧进行非零数的乘积的计算，例如当AB=0，不一定有A=0，B=0。

2. 矩阵的逆数和倒数进行类比的应用，在类似的值中加以逆矩阵的定义，对于任意一个数字，采用唯一的数字的方式，对于倒数进行计算，则方阵中进行唯一的数的计算，设置了a阶的方阵，当矩阵中数的乘法不能满足消去律的时候，设A为非零矩阵的倒数类比，都设定在唯一的数b上，采用倒数的方法，对于方阵进行A的类似比，采用互为矩阵的方法，进行解矩阵的方程计算：

该思想可以用于解矩阵方程，Ax=B，采用方阵A的类似定义的方式，设置了A是一个n阶方阵的方法，让B是A的逆矩阵，采用解代数方程的方法进行类比。

当一元一次代数方程ax=b的解，代数中进行二元三元线性方程组的消元法，被看成常数的时候，采用乘方程的方法，得到了同样的思想，这时候就需要设辅助元——参数，在两端得到了矩阵的方程，通过左乘和右乘，使得两端得到了公式：

3. 一元一次代数方程

在列方程（组）解决问题时，如果只对所求的量设元（一般称主元），往往难以把等量关系用数学式子清晰简洁地表达出来，以使等量关系更加明晰，便于表达。这种增设辅助元，即增设参数解方程（组）的方法叫做参数法。

因此我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，记作“？驻”。

遇到需要引入参数求解的问题时，首先要考虑有时也把与所求量相关的其他量，选择哪些量作为参数，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。作为参数，在同一问题中，一般我们把题目未给出具体数值的量作为参数，但起到沟通数量关系的作用。由于考虑问题的角度不同，选择的参数也不完全相同[6]。

对于列出的含有参数的方程，一般情况下可以把参数直接消去，转化为只含所有未知数而不含参数的方程，即参数设而不求，将二元一次方程组转化为一元一次方程，架起连接已知量和未知量的桥梁作用。

在一些与方程、函数、图形有关的问题中，一元二次方程的根的判别式，虽然表面上看起来与判别式无关，不仅是重要的基础知识，从一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的推导过程中可以发现b2-4ac，如果消去其中一个未知数，直接决定着这个一元二次方程的根的情况，     具体的判别方法是：

（1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根;

（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根：

（3）当b2-4ac<0时，方程没有实数根。

这三个结论反过来也成立。

而且也是一种常用的数学解题方法——判别式法，但往往可以转化为一元二次方程问题，进而利用判别式法求解。

二元一次方程组中的数学思想，主要是指数学的“消元”思想， 具体转化方法是运用“加减消元法”或“代入消元法”，即：二元一次方程组中有两个未知数，这样就可以 先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

把二元一次方程组中的二个未知数消去一个未知数，得到一元一次方程，从而实现消元，进而解决问题。

三、类比法实际应用以及局限

如果已知其中一个对象具有另外一些属性，根据化“未知”为“已知”的“消元”思想，那么就依此得出另外一个对象也具有这种属性的结论。

类比法可以用下边的格式表达：

如果对象P具有属性a，b，c;对象Q具有属性a，b;那么，对象Q也可能具有属性c。

类比法与演绎法（从一般至特殊）和归纳法（从特殊到一般）不同，它是一种从特殊到特殊的推理方法，康德说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这种方法往往能指引我们前进。”在人类文明史上许多发明创造以及现代科学文化的研究中，受益于类比法的实例不胜枚举。类比法按其类比对象的不同又分为许多类型，例如：概念类比，性质类比，公式类比，定理类比，条件类比，结构类比，目标类比，方法类比等。

有的数学问题的结果与我们曾经解决过的数学问题，可以类比一元一次方程，结构有相似之处，不仅不容易记住而且容易混淆。这使我们联想到它的解题方法称为结构类比法，数学有很多概念和性质，如果孤立地去理解和记忆这些概念和性质，譬如学习一元二次方程，结构类比法，就要类比曾经学过的相关概念及性质，对一些类似问题进行类似处理，使我们在细心观察问题结构的过程中能迅速找到解题途径，参照或借鉴解另一类相似的数学问题的方法，是数学公式在应用方面的延伸和发展[7]。

当我们进行三次以上的根式运算时，我们称为方法类比法，我们从哪些方面對一次函数进行了学习？我们就类比一次函数也从这几个方面进行研究。这就是公式类比法，知道我们学习了关系式、图像、性质等，例如：学习“反比例函数”时，在学习或求解某一类数学问题时，当我们解一元高次方程时参照或借鉴解一元二次方程的方法;这就是概念类比。

四、结束语

线性代数是数学的一个分支，线性代数得以被具体表示，集合的空间中，被广泛地应用于社会科学和自然科学中。它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性代数的理论已被泛化为算子理论。采用矩阵数组的方式，通过解析几何，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数几何空间中，有限维的线性方程组和线性变换，在进行矩阵初等的变化的时候，同时进行初等变换化方程组的矩阵解析，逐步进行初等变化的方程组的计算，对于方程组的增广矩阵，要求设置为阶梯形的矩阵。类比法在解题中的应用，可以将每一行的元素相乘，在进行教学实践中，发现一般将每一行相乘，形成了正整数和矩阵行列，最终表示为数组矩阵。

参考文献：

[1]朱文惠，许冬保.反比例函数图象的数学演变与物理转化[J].中学物理（高中版），2018（8）：32-35.

[2]刘萍，吴小飞，李松阳，等.群常数制作软件Ruler研发[J].原子能科学技术，2018（7）：1153-1159.

[3]叶长枢.类比法和比较法在物理教学中的应用[J].中学物理（初中版），2017（9）：12-15.

[4]罗荣，李玉婕，肖国强，等.特高拱坝建基面岩体选择的工程类比法研究[J].长江科学院院报，2018（7）：84-88，99.

[5]孙咏萍，杨慧.类比法在“数学物理方法”教学中的应用[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2016（11）：123-125.

[6]印小峰.高中数学教学中运用类比法研究[J].中学生数理化（教与学），2017（9）：52.

[7]杭省策，郑波.求投资项目贴现率的类比法[J].价值工程，2015（18）：33-35.

[8]刘社新.试析类比法在数列教学中的应用[J].中学生数理化（教与学），2018（9）：80.