用“三角形法则”求解运动学极值问题探讨

(江苏省镇江市丹阳高级中学，江苏　镇江　212309)

在研究物体运动时，经常遇到求解物理量在物体运动过程中的最大值或最小值问题，称为运动学极值问题．解答这类问题时，可以有很多方法，但在解决相对运动或曲线运动等类型题目时，用三角形法则，可以使解答过程简捷明了、清晰直观，现举几例加以说明。

1　速度极值问题

图1

例1：甲质点从A点出发沿AC方向以v1速度匀速运动，与此同时，乙质点以v2速度从B点出发做匀速运动，如图1所示，已知A、C相距l，B、C相距d，且BC⊥AC，若要两质点相遇，v2的最小速率为多少？

解析：这是两个质点相遇问题，可以选甲为参照物，则乙相对于甲的运动沿着AB的连线方向，可将乙对甲的运动看成两个分运动，一个是乙对地的运动，另一个是地对甲的运动。

本题有两个巧妙之处，一是巧选参照物，使复杂的相对运动问题变成了简单的一维运动；二是巧构矢量三角形，乙物体的速度v2是动态的，根据三角形的特点，很容易判断出v2的最小值所对应的方向，避免了烦琐的运算过程，快速、直观地解决了问题。

2　角度极值问题

例2：假定某日刮正北风，风速为u，一运动员在风中跑步，他对地面的速度大小是v，试问在u

图2

解析：如图2所示，题中要研究的运动可以这样定义：风对地的速度为绝对速度，用u表示；人对地的速度为牵连速度，用v表示；风对人的速度为相对速度，用V′表示。

由图可知，矢量三角形中，V′和v夹角不可能等于90°，因此，不可能实现．因为运动员想让风从正右侧吹来，尽管风相对人的夹角达不到90°，但是仍有最接近垂直的角度，此角度即为题中所求的最大夹角。

本题对学生的空间想象能力要求较高，首先要把风看成一个物体，那么问题中就涉及三个运动对象：风、人、地．再研究三个运动：风对人的运动、风对地的运动、人对地的运动．最后，将三个速度构成一个矢量三角形，用正弦定理求解，比较快捷。

3　射程极值问题

例3：一铅球运动员以初速度大小为v0斜向上抛出铅球，球出手时离地高度为h，试讨论抛出角θ为多大时物体落地的水平位移最大。

图3

本题求解曲线运动的射程极值时，巧妙地把抛出时的初速度v0、落地速度vt、速度变化Δv三个物理量构成一个矢量三角形，其“面积”并没有特定的物理意义，但在求解过程中发现tv0cosθ=x，用两种思路表达“面积”，巧妙解答复杂问题，有“柳暗花明又一村”之感。

运用“三角形法则”求解运动学极值问题虽然简便，但在构建矢量三角形时，还要考虑其合理性、科学性，要深入挖掘题目的已知条件，找出相互关联的物理量，充分借助矢量三角形的特点。在解决问题时，注意数形结合，以培养学生的创新思维能力。