无套利“双斜率”DNS利率期限结构模型与实证

张 健，陈映洲

（1.交通银行资产负债管理部，上海 200336；2.上海财经大学 经济学院，上海 200433；3.中证指数有限公司，上海 200127）

0 引言

国外有关利率期限结构的早期研究主要有预期理论、流动性理论与市场分割理论，这些理论可以解释单个交易日债券收益率曲线“上升”“水平”及“下降”等形态。其中预期理论是预测利率变动、扩展利率期限结构模型的经济学基础。大量文献利用国债收益率、银行间拆借利率等数据对预期理论进行了检验[1-3]。为了分析债券收益率的动态变化及其与宏观经济变量的关系，出现动态利率期限结构模型，主要有 Vasicek模型[4]、CIR模型[5]和仿射模型[6]。影响较大的是仿射模型[7]，仿射模型具有理论基础，但预测效果甚至不如随机游走模型。Diebold和Li（2006）[8]以Nelson-Siegel模型[9]为基础，建立包含“水平”“斜率”和“曲率”状态因子的动态模型（DNS模型），它能充分捕捉收益率曲线动态变化信息，预测能力较强。Christensen和Diebold[10,11]实现仿射模型与DNS模型的融合，构建无套利动态Nelson-Siegel模型（AFDNS模型）。该模型继承了仿射模型的严格无套利条件，又保持了DNS模型的简约性，可以得到债券价格的解析解，并能解释因子的经济意义。Niu等（2012）[12]立足仿射模型，推导出离散时间下的AFDNS模型。与此同时，国内的相关研究成果也不断丰富[13-16]。

需要指出的是，目前广泛使用的DNS模型对短期债券利率的拟合优度有待提高，且缺乏债券定价理论的支撑。因此，本文在无套利框架下构造无套利“双斜率”DNS模型，丰富无套利DNS模型的内涵。该模型具有更强的样本拟合能力，随着样本债券期限增加，参数估计能保持较强的稳定性，为分离长短期利差做出了探索性研究。

1 无套利“双斜率”DNS模型及其估计

1.1 DNS模型

Nelson-Siegel模型广泛用于利率期限结构的静态拟合，具体形式为：

其中，yt(τ)是期限为τ的债券在t时刻的收益率。根据式(1)可以得到yt(∞)=β1以及yt(∞)-yt(0)=-β2，即β1为长期利率（无限期债券收益率），β2为长短期收益率之差的相反数。参数β3没有明确的经济意义，但对描述收益率曲线的形态十分重要。λ为衰减参数。

由于静态NS模型无法描述收益率曲线随时间动态演化的过程，Diebold和Li（2006）[8]将其回归系数β1、β2和β3设定为时变变量，并命名为水平、斜率和曲度因子，分别用Lt、St和Ct表示，对应的1、(1-e-λτ)/λτ和 (1-e-λτ)/λτ-e-λτ为因子载荷。用一阶向量自回归描述因子的动态变化，可以得出动态NS模型（简称DNS）：

其中，μL、μS和μC为常数自回归模型均值，A为自回归系数矩阵，ηt为误差向量，观测方差中的误差项与因子本身以及转移方程中的误差项均不相关。DNS模型中的水平因子可以刻画收益率曲线的整体变化，斜率因子则捕捉了收益率曲线近端的动态变化。

1.2 无套利“双斜率”DNS模型

参考Duffie和Kan（1996）[6]提出的仿射模型，在风险中性测度下，状态因子满足：

因此，零息债券收益率y。 通 过 设 定B1(t，T)，B2(t，T)，B3(t，T)，B4(t，T)，使y(t，T)具有近似“双斜率”DNS模型的特征。

因此，零息债券的价格为：

其中,B1(t，T)，B2(t，T)，B3(t，T)，B4(t，T)，A(t，T)满足微分方程(8)，边界条件为A(T，T)=B1(T，T)=B2(T，T)=B3(T，T)=B4(T，T)=0。

根据 Christensen 和 Diebold（2009，2011）[10，11]的研究，为了识别模型，令θQ=0，Σ为下三角四阶方阵，可以得出：。 风 险 中性测度下，债券价格是因子的自仿射函数[17]，那么关于动态因子的微分方程在物理测度P下仍然具有自仿射结构。考虑到市场数据存在观测误差，在观测方程中加入白噪声扰动项后的无套利“双斜率”DNS模型简记为：

已有研究表明，相对于因子存在相关结构的模型,独立因子无套利模型对中长期收益率的预测效果更佳。本文令KP，Σ为对角矩阵，构建独立的无套利“双斜率”DNS模型，简记为 AFDNS（I4）。而 Christensen 和 Diebold（2009）[10]令具有近似 DNS 的特征，简记为AFDNS模型。为了估计无套利“双斜率”DNS模型（式(9)）中的参数，对因子向量Xt的动态演变过程进行离散化，选Δt=1/12，无套利“双斜率”DNS模型可以表示为线性状态空间模型：

2 参数估计与实证分析

2.1 样本选取

银行间市场国债交易数据信息含量丰富，适合实证研究，本文选取2006年3月至2015年6月总共112个月度数据作为样本。考虑到我国国债发行特点与交易特征，样本债券期限跨越区间较大，既有短期债券，又有中长期债券，分别为0.25、0.5、0.75、1、1.5、2～10年（间隔为1年）、12、14、15年期国债。在进行参数估计稳定性分析时，增加了期限为16、18、20、25、30年的超长期国债。

2.2 模型参数估计与结果分析

为了兼顾模型的一般性、估计可行性与预测能力，本文参考谈正达等（2012）[15]的研究，对模型做出如下约束：DNS模型中，A、Q为对角形式，模型记为DNS（I3）；无套利DNS模型中，KP、Σ为对角矩阵，模型分别记为AFDNS（I3）和AFDNS（I4）。为了降低模型的非线性程度，无套利DNS模型中的衰减参数λ与无套利“双斜率”DNS模型中的衰减参数λ1、λ2均为对应DNS模型中衰减参数的估计值。利用0.25～15年期国债的收益率数据作为样本得到的估计结果如表1所示。

根据研究显示,微生态制剂能够对小儿多种感染性和非感染性肠道菌群失调进行调节,对肠道微生态群进行重建,利用微生物屏障来治疗小儿腹泻。微生态制剂增加了肠道的有益菌,减少了有害菌,患者的肠道微生态发生了改变,腹泻减少。①微生态制剂可以在肠道表面定值,对毒素和致病菌的粘附进行阻止;②微生态制剂能够产生细菌毒素、有机酸和过氧化氢物质,阻断和杀灭腐生菌以及致病菌生长繁殖;③微生态制剂在机体代谢中发挥了作用。所以,小儿腹泻需要使用微生态制剂进行治疗,能够让肠道菌群恢复正常,抑制病原菌侵袭,建立天然生物屏障。

表1 模型参数估计结果对比分析

从似然函数值与参数估计值来看，三因子DNS与AFDNS（I3）模型差异不大，表明他们对数据的拟合能力相当。由于无套利“双斜率”DNS嵌套了无套利DNS模型，对两类模型进行似然比检验，检验值为：LR=-2(logl(AFDNS(I3))-logl(AFDNS(I4)))=685.38～χ2(m)。其中m代表两模型参数数量的差额，似然比检验拒绝原假设，表明无套利“双斜率”DNS模型比无套利DNS模型具有更好的数据拟合能力。

2.2.1 因子载荷分析

利用相同样本数据得到的模型因子载荷图显示，三类模型的曲率因子载荷均在5年左右达到最大值，这基本符合我国国债发行特征，即1、3、5、7、9、10年期国债是主要发行品种。另外，由于斜率因子载荷随着期限的增加递减，新增一个斜率因子将促使模型对短期限收益率数据的拟合能力更强。

2.2.2 因子分析

图1展示了不同模型的因子时间序列。

图1 DNS模型、AFDNS模型（I3）与AFDNS（I4）因子对图比

各模型水平因子的整体变动趋势基本一致，但DNS模型水平因子的波动性最强，AFDNS（I4）水平因子波动性最弱。已有研究均表明水平因子可以视为长期收益率水平的代理变量，反映整个实体经济的发展趋势，波动性应该较低。DNS模型为了拟合数据，使其水平因子的波动增加，与现有研究结论略有不同。本文提出的AFDNS（I4）模型在引入新的斜率因子后，可以合理分流水平因子的影响，有效降低水平因子波动性，从而可以更加准确地反映长期利率水平。另外，从斜率因子的时间序列图来看，各模型差异较小，一方面反映出新斜率因子能够分担原来水平因子的波动，另一方面说明新斜率因子可以在原模型残差中提取相应的信息。

2.2.3 调整项分析

图2分别给出模型AFDNS（I3）和AFDNS（I4）对应调整项-A(t，T)/(T-t)的变化情况，包括水平调整项、斜率调整项、曲率调整项以及总体调整项。两类模型的总体调整项均向下倾斜，调整力度随着期限的增加而增加，调整力度均为10-3数量级。但AFDNS（I4）模型在长期限国债收益率上的调整力度比AFDNS（I3）更强，有利于提升其对长期收益率的拟合能力。两类模型水平因子与曲率因子调整项的变化趋势基本一致，但新斜率因子的加入显然会加大新模型的斜率调整项，提高其拟合能力，尤其是对短期收益率的拟合。

图2 AFDNS（I3）与AFDNS（I4）模型收益率调整项与各分项图

2.3 模型拟合能力比较分析

模型的样本拟合效果可以采用拟合均方误差平方根（RMSE）和拟合误差均值（MAE）进行衡量。期限τ的债券收益率样本期内的拟合均方误差和拟合误差均值定义分别为：

表2 模型拟合能力RMSE对比(单位10-4)

表3 模型拟合能力MAE对比

表2和表3分别给出DNS模型和AFDNS（I3、I4）模型对不同期限国债收益率进行拟合的RMSE和MAE值。对比RMSE与MAE值可以发现，AFDNS（I3）与DNS模型在中期期限（1-10年）上的拟合能力相当，对长期收益率拟合偏弱，但是对短期收益率的拟合占优。AFDNS（I4）模型对短期收益率的拟合显著改善，即使与AFDNS（I3）相比，短期收益率的拟合能力也有很大的提高，在0.25、0.5和0.75年上的RMSE和MAE值表明，AFDNS（I4）模型几乎将拟合误差降低为原来的三分之一左右；而且在长期收益率的拟合上也有一定的优势。

2.4 无套利“双斜率”DNS模型的稳定性分析

为了验证无套利“双斜率”DNS模型参数估计对不同期限的样本数据具有较好的稳定性，分别用0.25～15年期国债收益率、0.25～20年期国债收益率以及0.25～30年期国债收益率作为分析样本进行实证对比分析，参数估计结果见表4。

表4 无套利“双斜率”AFDNS（I4）模型在数据选取上的参数稳定性分析

表4显示，随着数据集长度的增加，对数似然函数值也有所上升，而且各参数向量在符号与大小上保持一致。水平因子代表长期利率水平，而对角矩阵Σ显示出水平因子的波动率持续较低，显然符合现有研究结论。KP矩阵中斜率因子的取值分别为1.6268、1.3749和1.1874，呈现出下降的趋势，但降幅并不是很大。通过将对角矩阵KP取值代入exp(-KP/12)计算出各因子的AR（1）系数，分别为0.8732、0.8917和0.9058，说明随着数据长度的增加，因子的AR（1）系数增强，可以提取更多的信息。随着数据期限长度的增加，新添加的斜率因子的取值分别为5.7489、4.8473、3.2465，明显下降，但是其对应的自相关系数分别为0.6194、0.6677、0.7630，呈现显著增长的趋势。这表明随着国债市场的不断完善，长期收益率数据得以丰富，选取更加有效的模型对国债收益率数据进行拟合显得越来越重要，本文添加的新斜率因子确实能够发挥一定的作用。

3 结论

本文在无套利框架下加入新的斜率因子构建出无套利“双斜率”DNS模型，在连续时间下证明其满足经典的风险定价理论，既丰富了无套利DNS模型的种类，又弥补了传统DNS模型缺乏债券定价理论支撑的不足。利用我国银行间市场国债收益率数据进行实证分析发现，无套利“双斜率”DNS模型可以有效改善对短期收益率数据的拟合效果，这对检验预期理论以及精确捕捉通货膨胀变动信息具有积极作用。另外，无套利“双斜率”DNS模型参数估计的稳定性较好，在我国债券市场不断发展，长期收益率数据逐渐丰富的环境下，这一新模型将发挥更大的研究作用。