灰色预测模型在土地生态安全预警中的应用

马 艳，钟春兰

（1.华中师范大学 湖北经济与社会发展研究院，武汉430079；2.天风证券股份有限公司，武汉 430071）

0 引言

灰色系统理论是一门研究不确定性系统的新兴学科，因其主要研究“小样本”、“贫信息”的不确定性系统，可通过研究已知的“部分”信息中有价值的部分，认知“未知”信息，实现不确定系统的科学评价和预测，被广泛应用于资源环境、社会经济等领域。在预测模型的选择上，传统的GM（1,1）模型仅适用于原始序列按指数规律变化的情况，且其预测趋势都是一条较为平滑的曲线[1]。而土地生态安全受到多种因素的影响，反映土地生态安全的数据序列往往存在阶段性、跳跃性等特点[2]，因此传统的GM（1,1）在土地生态安全预测上往往存在精度不高、预测准确性较差的问题。本文根据测度土地生态安全原始数据的特征，考虑到社会经济建设、环境污染等不确定事件对生态安全预测的干扰，结合2000—2015年土地生态安全预警指数，分别建立GM（1,1）模型、等维新息GM（1,1）模型和分数阶GM（1,1）模型，并比较预测结果，以期为土地生态安全评价与预警提供借鉴方法。

1 灰色预测模型

1.1 GM(1,1)模型

在灰色系统理论中，GM（1,1）是最常用的单变量数列预测模型[3]，其原理在于将原始时间序列不明显的变化趋势，通过累加生成算子的调整，呈现明显的变化趋势，随后建立一阶灰色微分方程对累加生成变换后的时间序列建模，经过还原形成预测数据的未来趋势[4]。建模过程如下：

将土地生态安全系统警情综合指数作为原始序列X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…x(0)(m))，并对其进行一次累加，生成新的数据列X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…x(1)(m))，式中：X(1)(k)=为原始时间序列X(0)的累加生成值。

GM(1,1)模型相应的微分方程为：

利用最小二乘法可得：

从而求得a和b。

将一阶微分GM(1,1)的预测模型：

还原成原始序列的预测模型：

并将a和b代入其中得GM(1,1)的预测模型。

以上为一次累加生成算子生成灰色序列的情况，事实上可以做多次累加生成。一般情况下，原始数据累加生成次数越多，随机性的弱化程度越大，累加次数达到一定水平，原始数据将变成非随机。因此，一般只对原始数据以一次累加生成算子进行调整，建立灰色预测模型。

1.2 等维新息GM(1,1)模型

等维新息GM（1,1）模型的实质仍为GM（1,1）模型，建模步骤一致，其差异在于两者的建模样本不同。GM（1,1）为全信息模型，将所有原始数据用于建模，虽然提供较多信息，但随着时间推移、情况变化，信息的有效性逐步降低，对于未来预测的作用也越来越小，因而影响整个模型的预测精度。等维新息GM（1,1）为新信息模型，所有的信息不必全部用于建模，信息的选择是否合适才是建模的关键所在。其思路是以若干样本序列建立GM（1,1）模型，以每一次预测的新信息剔除原样本中最旧的数据，构成新样本继续建模，进行下一步的预测，经过一次次替换，实现建模数据的新陈代谢，直至完成预测。

表1 等维新息GM（1,1）预测样本构成

与传统GM（1,1）模型相比，等维新息GM（1,1）模型在较短的时间区间内考虑了最新的变化趋势，同时去掉与下一个预测值相关性相对较小的陈旧新息[5]，可以有效提高预测的精度。

1.3 分数阶GM(1,1)模型

分数阶GM（1,1）模型的建模步骤与传统GM（1,1）模型基本一致，两者区别在于灰色生成算子类型，前者为分数阶累加生成算子，后者为一次累加生成算子，模型效果也因灰色生成序列性质不同而存在差异。

设原始序列为X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…x(0)(m))(k=1，2，…m)，r阶累加生成算子为k=1，2，…m，由此得r阶累加生成序列X(r)为：

构建紧邻均值生成序列z(r)(k)：

已知：

运最小二乘法估计模型参数a与b：

经调整得还原值，为模型拟合值或未来预测值：

1.4 模型检验

在预测模型建立后，需要进行模型检验来判定模型选择是否合理。灰色预测模型检验方法分为两类，一是灰色关联度检验，二是残差检验，包括后验差检验[1]。本文采用较为常用的两种方法——残差检验和后验差检验。

首先计算原始序列的均值、均方差：

其次计算残差序列的均值、均方差：

国内外对山洪灾害防治主要采取工程措施进行治理、实施移民搬迁避开山洪威胁和利用非工程措施防御山洪灾害等措施。

再次计算残差序列与原始序列的方差比:

最后计算小误差概率p：

依据方差比C和小误差概率p的具体水平对模型优劣进行诊断，模型可分为四种等级，如表2所示可根据模型对系统进行预测。

表2 模型优劣等级表

若后验差检验结果显示，模型预测精度等级在“良”及以上，则说明通过了检验，可以用该模型进行预测，否则应建立残差修正模型对原有模型进行调整或选择其他模型进行预测。

2 实证分析

2.1 数据来源

本文的土地生态安全评价指标数据来源于2001—2016年《湖北统计年鉴》、《湖北农村统计年鉴》、《中国统计年鉴》、《中国区域经济统计年鉴》和湖北省土地利用变更调查数据等。为保证数据的完整性，个别指标缺失，采用相邻年份数据利用插值法补齐。

2.2 指标体系构建

本文基于PSR模型，结合湖北省土地利用的实际情况，考虑数据的可得性，按照指标选取的科学性、动态性、实用性、可操作性等原则，参考相关研究成果[6，7]，从社会、经济、环境三方面，共选取24项指标构建湖北省土地生态安全预警指标体系（见表3）。

表3 湖北省土地生态安全预警指标体系

2.3 预警指数的测度和警度确定

土地生态安全预警指数测度是一个衡量土地生态健康程度的指标，其数值为0～1。本文采用综合加权法，通过对各评价指标值进行加权求和获得评价目标值，具体包括数据预处理及权重的确定。由于测度过程中各项指标的量纲存在较大差异，为使各指标具有可比性，本文采用极差标准化法消除量纲差别，具体方法参考文献[8]。其次，计算指标权重。为了避免人为因素的影响，确保指标权重的客观性与科学性，本文采用熵值法确定各指标权重；最后，采用综合加权法，把各指标标准化后的值和指标权重带入综合评价模型[9]，通过综合加权得出湖北省土地生态安全预警指数，具体计算公式为：

式中，E为土地生态安全预警综合值，Wj为指标的权重，Pij为各指标的安全指数。

按照等分的原则，参考相关文献分级方法[7,9,10]，依据预警指数将湖北省土地生态安全状态分为5个等级，确定其评价标准如表4所示。

表4 湖北省土地生态安全警度标准

2.4 模型预测与比较

2.4.1 土地生态安全预警结果

根据综合指数法计算得到2000—2015年湖北省土地生态安全预警综合指数（见表5），结合表4的警度划分标准，可知16年间，全省土地生态状态经历了由“重警-中警-轻警”的状态。

表5 湖北省土地生态安全预警综合值（2000—2015年）

2.4.2 模型效果对比

（1）GM(1,1)模型：利用表5中湖北省土地生态安全预警综合值作为原始数据，构建原始序列X(0)=(X(0)(1)，X(0)(2)，…X(0)(16))=(0.3294，0.3490，…，0.6055)，通过一次累加生成的1-AGO序列，构造背景值，建立白化方程，估计发展系数-a与灰作用系数b，由此得GM(1,1)模型的时间响应函数为：

还原的原始数据拟合序列：

利用时间响应序列即可求出还原模拟值，如后文表7所示。

（2）等维新息GM（1,1）模型：在等维新息GM（1,1）模型中，选取若干原始序列数据进行建模，且维数不定，为了探究适用于本文实证数据且拟合效果最好的等维新息模型，本文以2000年为起始值，尝试选取7至15维的原始数据作为初始建模数据，依次迭代一步滚动预测，将前一次建模预测数据作为新信息加入建模数据序列，同时剔除建模数据序列相对最旧的数据，维持数据维度一致，如此往复，直至完成预测。本文尝试建立的等维新息GM（1,1）模型预测精度如表6所示。

表6 湖北省土地生态安全系统警情预测样本数据

根据优选的维数，样本维数为10时，模型的表现最好，预测精度为94.708%，故用前10年的数据作为一组样本输入，依据GM（1,1）模型原理预测下一年数据，以前两个样本集为例，用2000—2009年土地生态安全系统警情指数构造样本集建立GM（1,1）模型，预测2010年警情指数，接着剔除2000年警情指数，在原建模序列基础上加入GM（1,1）预测的2010年预警指数进行建模，进一步预测2011年警情指数，共构造了6个样本集，每一样本集作一次预测，以上步骤均通过Matlab2014a编程实现。

（3）分数阶GM（1,1）模型：由于分数阶GM（1,1）模型的优化效果，在其他因素维持不变的情况下，取决于分数阶的确定。一般而言，当r=1时，分数阶GM（1,1）即为GM（1,1）模型。为了确定较优阶数，本文通过试错法，通过不断地尝试，最终将分数阶数确定为1.19。本次建模仍运用2000—2015年湖北省土地生态安全系统预警指数作为预测的基础数据，以r阶累加生成算子调整的原始序列作为建模数据，根据分数阶GM（1,1）模型原理，确定时间响应函数，以上步骤均通过Matlab2014a编程实现。

分数阶GM（1,1）模型时间响应函数为：

为了便于比较，本文根据湖北省土地生态安全预警指数，分别列出GM（1,1）模型（M1）、等维新息GM（1,1）模型（M2）和分数阶GM（1,1）模型（M3）的预测值和相对误差（见表7）。

表7GM（1,1）模型、等维新息GM(1,1)模型和分数阶GM(1,1)模型预测数值

结合表7的数据，基于GM（1,1）模型、等维新息GM（1,1）模型与分数阶GM（1,1）模型的拟合效果对比分析如表8所示，分数阶GM（1,1）模型的绝对误差均值为0.0192，均方误差为0.0142，平均相对误差为0.0412，均方误差为0.0262，以上指标值均小于GM（1,1）和等维新息GM（1,1）模型。说明分数阶GM（1,1）更适合用于土地生态安全预警指数的预测。

表8 模型比较

3 结论与讨论

（1）通过建立PSR指标体系计算2000—2015年湖北省土地生态安全系统预警指数，分别建立GM（1,1）模型、等维新息GM（1,1）模型和分数阶GM（1,1）模型，对比三个模型的预测精度进行模型优选发现：分数阶GM（1,1）模型在各项指标的比较下，均有较好的表现，该模型既考虑了原始数据的演变规律，又很好地反映了数据的随机响应性，而且可以进行较为准确的预测，可为政府管理决策部门提供科学的依据。

（2）本文对湖北省域层面进行了土地生态安全评价分析，发现2000—2015年间，研究区土地生态安全的状态不断改善，由期初的重警状态发展进入到预警状态，生态安全值在波动中稳步提升，且该变化在短期内仍维持整体向好的趋势。由于部分指标数据难以获得，因此本文尚未深入到地市层面，对湖北省土地生态安全变化在空间范围上的解释力度存在一定不足。在预警研究方面，今后可以借鉴其他领域的预警方法，将其应用到土地生态安全领域，或基于GM（1,1）模型继续进行优化，如采用马尔科夫转移矩阵调整对残差进行调整，以达到更为精确的预测效果。