均匀重力场中质点在光滑圆柱面上的挠曲线运动

李 力

(重庆清华中学，重庆 400054)

在理论力学和分析力学课程里，通常研究质点的平面曲线运动。这些做平面曲线运动的质点，多数被约束在二维平面上，也有一些被约束在二维曲面上。约束在二维曲面上发生的一般的空间挠曲线运动，却很少涉及。空间曲线不仅有弯曲的性质，而且还有扭转从而离开平面形式的性质。前一性质用曲率描述，后一性质则用挠率刻画。平面曲线的挠率恒等于零，反之，挠率恒等于零的曲线必是平面曲线。所谓挠曲线，就是挠率不恒为零的曲线[1]，这种空间挠曲线运动的处理，不可避免地要用到更多的数学方法，比如微分几何的曲线、曲面论，某些特殊函数的知识等。

本文研究了均匀重力场中的质点在光滑圆柱面上的挠曲线运动，用牛顿定律或拉格朗日方程推导质点的运动微分方程，然后解得质点脱离圆柱面的位置满足的方程以及脱离前的运动时间，最后导出用椭圆积分表示的挠曲线运动轨迹的参数解析表达式。

1　质点在光滑圆柱面上的运动微分方程

在如图1所示的光滑1/4圆柱面以及圆柱坐标系(ρ，φ，z)中，质点的初位置在圆柱面的最上端A(R，0，0)，初速度v0在过A点的水平切面内，与Oz轴夹角为α，沿Oz、Oy轴的分速度分别为v1，v2。显然有初始条件̇z0=v1=v0cosα，Ṙφ0=v2=v0sinα，即

图1　质点在光滑圆柱面上的挠曲运动

顺便指出，用拉格朗日方程也可以简便地推导出(3)、(4)两式，此处不再赘述。

2　z和̇φ的推导

由式(4)积分，并考虑初始条件，得̇z=v1，故

因̇φ＞0，故取

3　脱离位置与脱离时间

将式(6)代入式(2)，并令 N=0、φ=φm，有

由于在A点不脱离圆柱面，须v2＜ g R，从而式(3)右端另外，若v=0，则脱离2位置cosφm=，这正是理论力学课程中熟悉的结论[3]。

故式(7)化为

得到脱离时间

其中F(k，φ)是勒让德第一类椭圆积分[4]，即而φm由式(8)定出。

4　运动轨迹方程的解析表达式

为了得到在圆柱面上的运动轨迹方程，只需在式(10)中作代换T→t，φm→φ，并同式(5)联立，即得用椭圆积分表示的挠曲线运动轨迹的参数解析表达式为

或者直接写成

按照微分几何曲线论[1]，得到运动轨迹在直角坐标系中以时间t为参数的曲线表达式为

如果以z为参数，则曲线的参数方程可写为

其中φ(t)，φ(z)分别是由式(11)和式(12)所定义的φ与t、φ与z之间的函数关系。

5　结语

研究均匀重力场中的质点在光滑圆柱面上的挠曲线运动，有一定的理论意义和应用价值。本文用牛顿定律或拉格朗日方程推导质点的运动微分方程式(2)～(4)，然后解得质点脱离圆柱面的位置满足的方程(8)以及脱离前的运动时间式(10)，最后导出用椭圆积分表示的挠曲线运动轨迹的解析参数表达式(11)～(14)。

因为圆柱面上过A点的沿v0方向的平面截线是椭圆，而式(11)～(14)表明运动轨迹并非椭圆，所以质点做挠曲线运动;又由变分法可知，圆柱面上的测地线(即短程线)是螺旋线[5]，故质点的运动轨迹也不是测地线。另外，用微分几何可以证明，在只受曲面法向约束力时，质点必沿测地线运动[6]，而我们讨论的本问题还要考虑均匀重力场的作用，因此更为复杂。由此可以看出，均匀重力场中的质点，在任意形状的光滑曲面上的空间挠曲线运动，求解起来有相当的难度，一般而言是不容易得到或者根本不存在解析表达式的。