Ir是内电压吗？IR是外电压吗？

2018-07-11黄亦斌郝继光吴泽宇江西师范大学物理与通信电子学院江西南昌33007南昌市湾里区第一中学江西南昌330004

物理与工程 2018年3期

关键词：静电力欧姆定律电动势

黄亦斌郝继光吴泽宇(江西师范大学物理与通信电子学院，江西南昌 33007;南昌市湾里区第一中学，江西南昌 330004)

欧姆定律

描述的是由特定物质——金属(和电解液)做成的导体的端电压U和电流I之间的关系。如果导体中有非静电力，那么就应将其换为含源电路的欧姆定律

此外，还存在闭合电路(或全电路)的欧姆定律

而式(1)可称为无源电路的欧姆定律。以上两式中，E为电源电动势;r为电源内阻。本文讨论一些相关的概念问题。

1　Ir是内电压吗？——“内电压”和电压概念剖析

常见的一种说法是：在式(2)中，U是外电压，而Ir是内电压。教材[1]称：式(3)中的I R(用U外表示)“是外电路上总的电势降落”(路端电压)，而Ir(用U内表示)“是内电路的电势降落”，而文献[2]、[3]皆明言：Ir“称为内阻电势降”。这里说的就是内电压。

但Ir是内电压吗？如果是，那么它是哪两点之间的电压？是正负极之间的电压吗？正负极之间的电压是路端电压。Ir是正负极之间经过内电路的电压吗？静电力做功与路径无关，经过内电路的电压和经过外电路的电压一定相同，故而还是路端电压。可见，“Ir是哪两点之间的电压”这个问题找不到答案。

与此相关的问题是：如果Ir是内电压，那么其对应的电场分布在哪里？在电源内部？但刚才已经说明，正负极之间经过内电路的电场强度的积分大小不是Ir而是U外=IR。所以，这个问题也找不到答案。

上述两个问题，很可能是伪问题，因为“内电压”所指称的电压可能因没有相应的电场而根本就不存在!

仔细思考后会发现，在电源内部，凡是有非静电力的地方，其对应静电场的场强积分(即电压)只能是式(2)中的U，而不会等于其中的Ir;而在没有非静电力的地方，根据式(1)，Ir才会等于电压U。(这里的U和Ir都只针对该段导体而言，非整个电源的U和Ir。)

我们通常谈论电源时，常常默认其内部处处有非静电力。有时确实如此(如切割磁感线的导体)，有时并非如此(如化学电池)。无论是何种情况，通通处理为“处处有非静电力”并不会影响电流、路端电压、功率等我们感兴趣的物理量，但会影响“内电压”的存在性。

如图1(a)所示，对于处处有非静电力(图中未画出)的情形，从其电势变化图中可以看出，根本没有哪段对应Ir。对于图1(b)中的化学电池，在正、负极与电解液之间极薄的反应层(即BC段和DA段)内，存在很大的非静电场和与之抗衡的静电场，导致电势跃变，而且其内阻可以忽略;而在CD段的电解液中，没有非静电力，只有静电力。此时，BC段和DA段的电势跃变之和等于电动势，而CD间的电势降落才等于Ir。文献[1]中的图2.7-2与此类似。

两点说明：(1)化学电池中的内电压，仅指CD段。千万别认为“内电压”真的是指电源内部的电压，因为后者明显包含3段电压：BC段，CD段和DA段，且其代数和就等于路端电压。(2)如果这3段电路分别有内阻r1，r2，r3，那么Ir=I(r1+r2+r3)仍然不对应任何电压，仅Ir2才等于CD段电压(这其实就是无源电路的欧姆定律)。

图1　电路图和电势随回路的变化图

总之，我们常说的“内电压”(或“内电路的电势降落”“内阻电势降”)这一概念其实是需要小心使用的。在有非静电力的地方(尤其在电磁感应中的动生或感生电动势场合)，确实存在电压，但不是等于Ir的那种“内电压”;后一种“电压”和相应的电场其实不存在。电源内部仅在非静电力不存在的地方，才存在等于Ir的内电压(这里r仅为该段的电阻)。但这跟电源外部存在等于IR的电压没什么本质不同。教材[1]讲解的恰是化学电池，且假定了r1=r3=0，故Ir确实等于内电压(CD段)。

还可以看出，“外电压”一词是具有误导性的，它让人以为，从正极到负极，经过外电路还是经过内电路，其电压不同。实际上，由于静电场的保守性∮E·d l=0，从正极到负极的任意路径的电压都相等，不论是经过内电路还是外电路，也不论是经过导体内部还是外部。图2(a)中的4条路径的电压全部相等。(注意导线表面以及不同金属交界面上都会有或正或负的净电荷分布，而所有电荷的共同作用将使得上述论断成立。图中只画出了电源两极的电荷。)故最好的做法是只使用“路端电压”的称呼。

“内电压”一词则具有更大的误导性。首先，等于Ir的“内电压”不一定存在。即使存在，它也不是电源内部两极间的电压。而在化学电池中，CD间(见图2(b))经过路径1(内电路)的电压和经过路径2(两个反应层和外电路)的电压相等，都是所谓的“内电压”。这里的“内”字顶多表明C、D两点在电源内部而已，对路径没有任何限制。另外，我们引入“内电压”其实只是想指称Ir而已，而从下面的分析可以看出Ir有另外的意义和表达。故而应该摒弃“内电压”“内阻电势降”等词汇。

图2　电压的路径无关性

2　IR是外电压吗？——IR(和Ir)的物理意义

注意笔者说的是“Ir等于内电压”，而不是“Ir是内电压”。前者是指数值相等，而后者是术语定义。我们只能说：

(1)场强的线积分(或位移在场强方向分量与场强的乘积)是电压;

(2)Ir等于内电压，IR等于外电压。

第一句是定义，而第二句指数值关系。把第一句中的“是”换为“等于”，我们仍能将其正确地理解为是定义，但将第二句中的“等于”换成“是”，则极易被认为是定义而造成概念混乱。

为了说明电压U和IR(或Ir)确实是两码事，我们看一些例子。①对于有非静电力的一段金属，根据式(2)，U≠Ir，即Ir不等于电压。②对于无非静电力的非线性元件，欧姆定律式(1)不成立：U的意义明确，而R和IR无甚意义，“I R是否是电压”更无从谈起。

那么，对于无非静电力的金属导体(这是线性元件)，式(1)一定成立吗？或者，金属导体的I R在原则上到底表示什么物理意义？我们需要从微观上重新审视欧姆定律。

许多教材[2-5]都从微观上用经典理论解释了欧姆定律的来源。当加上电场E后，电子在热运动速度的基础上叠加定向运动速度。但电子与晶格(即金属骨架，或晶体点阵的原子实)碰撞后该定向运动速度消失，电子被重新加速，作匀加速运动。于是，平均定向速度v与场强成正比：|v|∝|E|。然后利用电流密度的表达式

(q=-e为电子电量;n为单位体积内的自由电子数)便得到欧姆定律的微分形式

其中ρ就是电阻率。对于一段均匀导体，利用U=El，I=JS，R=ρl/S，上式即变为常见的欧姆定律式(1)。

从平均意义上来讲，电子受静电力Fe=q E作用在晶格中作匀速运动，形成稳恒电流。但怎么能平衡呢？注意微观解释中还有一个因素——与晶格的碰撞，故而平均来说，是晶格施予的阻力f与静电力平衡(如图3(a)所示)：

图3　平均而言电子受力平衡

考虑到静电力Fe的宏观体现是式(1)中的U，故而式(6)与式(1)必须相当，也就是说，IR的物理本质就是晶格施予电子的(平均)阻力!具体地，f=-Fe=-q E，考虑到式(5)和式(4)，有

这可以视为晶格阻力的决定式，它与自由电子的(平均定向)速度成正比。而在导体(或晶格)也有运动的情形，式(7)显然需要修改为

其中v′是电子相对于晶格的速度。这就是说，晶格阻力永远阻碍电子与晶格的相对运动。式(7)和式(8)可以成为讨论普通金属电流的一个原始出发点。

既然U是静电力的体现，其意义是静电力对单位电荷所做的功，那么IR作为晶格阻力的体现，其意义就是晶格(平均)阻力对(作平均定向运动的)单位电荷所做的功。

在含源电路情形，电子受静电力Fe=q E、晶格阻力f和非静电力Fk=q K(K为非静电场强)这3个力而平衡(如图3(b)和下文表1所示)：

将式(7)代入，即得

这就是含源电路欧姆定律的微分形式。它表明，静电场强和非静电场强的矢量和决定了电流的大小和方向。考虑电源内部从负极到正极的位移l，注意E=K·l，U=-E·l，ρJ·l=Ir，由式(10)即可导出积分形式式(2)(其中的U和I为代数量，正方向的规定见图4)。

图4　线性电源的伏安特性曲线及5种可能状态

一般而言，电源有5种可能的状态：①充电;②断路;③普通放电;④短路;⑤异常放电(电流正向，且大于短路电流)。它们在电源的伏安特性曲线上的对应如图4所示。电子受力平衡关系式(9)、含源电路欧姆定律的微分形式式(10)及其普通积分形式式(2)这3个关系，在电源的不同状态下有不同的表现。表1例举了3种情形，其中所有的标量都是非负的算术量。从中可以反复看出，Ir源自晶格阻力，与静电力和电压无关。

表1　电源状态与对应的微观图像举例

续表

3　无电压、但有Ir的情形

由于晶格阻力与静电力、非静电力无逻辑关联，故而它并不必然跟后者平衡，从而式(1)～(3)并不必然成立。由此引出两个问题：首先，为什么通常只见到它们成立的情况？那是因为电子质量太小，通常作无惯性处理。此时电子受力必须平衡，即使有加速度(平均而言)也是如此。不论是各种暂态电流还是交流电，我们都使用式(1)～(3)，即默认电流跟电压与电动势之和永远同步变化。这其实就是说，微观上式(9)总成立。

其次，式(1)～(3)何时不成立？自然是必须考虑电子惯性的特殊情形。此时，式(9)需修改为

将速度v用J表示(见式(4))，把式(7)代入，可知对应的欧姆定律的微分形式(10)和积分形式的式(2)就要分别修改为

和

1916年，Tolman和Stewart使一块金属快速往复运动，并测到了交变电流。这显然是由于电子有惯性而跟不上晶格的运动所致，与电动势和电压无关。由此测出的荷质比与阴极射线中电子的荷质比相当，证明金属中的载流子就是自由电子。文献[5]指出，欧姆定律要求场强的变化周期远大于电子平均定向运动时间。如果频率高过微波段，电流与场强将不再同相位。这就是说，电子惯性开始起作用了。这些例子中出现的电流与通常的稳恒电流、暂态电流和交流电截然不同，可将后者称为“同步电流”(满足式(9)、(10)和式(2))，而将前者称为“非同步电流”(满足式(11)～(13))。

由于IR只是晶格阻力的表现，焦耳热功率也就应该只是阻力生热的功率。具体地，一段导体内有n Sl个自由电子，每个电子所受阻力的功率为f·v，故总功率为

这就是焦耳热功率。或者，由于IR是阻力对单位电荷所做的功，将其乘以电量d q=I d t，即得阻力做功为I2R d t，也得到焦耳热。

例如，考虑一个金属环绕垂直于环面的对称轴匀速转动，然后被突然卡住(即晶格突然静止)。此时环中会出现由于电子惯性导致的“非同步电流”，可用式(13)(令E=U=0)处理。经过一段时间后电流消失，电子(定向运动)动能转化为焦耳热。这里没有任何静电力、电压和电功率，却出现了焦耳热。若考虑自感，可把E=-L d I/d t代入式(13)，其能量转化环节中多了磁场能，但仍未出现静电场、电场能和电功率。

4　小结与命名

文献[3]指出：“从金属经典理论来看，电阻反映的是自由电子与晶体点阵上的原子实碰撞造成对电子定向运动的破坏作用，这也是电阻元件产生焦耳热的原因。”本文观点与此相符。电流和电阻相伴而生：因为有“流”(定向运动)，所以受“阻”;阻力正比于速度，从而正比于电流。这才是电流和电阻的物理本质，从而跟电场、电压无必然联系。

可见，将Ir称为内电压(如果确实存在这么一段电压的话)、将I R称为外电压，这些做法是不合适的。非静电力和阻力都不是静电力，从而E和IR都不是电压，就像不能把热量、功和能量当成一回事一样。当然，这种做法也可以理解，因为它们具有相同的单位，可以相加减，而且IR本身的物理意义很少被明确，连一个称谓都没有，更别提字母代号了。之所以将I R和Ir称为电压，一个可能的原因就是无以名之，只好用“电压”将就，久而久之还真把它们当电压了。

根据以上分析，IR具有独立、明确的物理意义，该享有配备称谓的待遇。思来想去，也许称IR为“流阻”比较合适，记为H。如果这样，则物理量“流阻”H的意义是晶格(平均)阻力对(作平均定向运动的)单位电荷所做的功，与电流成正比，定义式是H=IR(正如电压的定义U=El)，单位是V。3个欧姆定律(1)～(3)式可分别写为U=H、E=U+H内和E总=H外+H内，它们都只对“同步电流”成立。“流阻”可以单独存在，独立于电动势和电压。如果不引入“流阻”一词，不介绍IR的物理意义，那么只能说“通常I R等于电压(或电动势与电压之差)”，其中“通常”是指普通的“同步电流”，“等于”是指仅数值相等。

当然，“流阻”H这个概念存在的前提是线性条件，该条件可以用阻力决定式式(7)来表征。实际上，各种欧姆定律的成立和电动势、内阻等概念的存在原则上皆以线性条件为前提。(式(12)、(13)仍可冠名为“欧姆定律”，因为其使用了反映线性特征的式(7)，出现了ρJ和Ir项。)具体地，当某元件(电阻或电源)的伏安特性曲线是直线时，我们用其斜率定义其电阻(内阻)，用其与U轴的交点定义电动势。而在非线性情况下，我们只能得到一条较为一般的伏安特性曲线而已。如果该曲线仍有一些较好的性质，那么也许可以据此定义出一些物理量来，但这些物理量的意义高度依赖于该曲线的具体性质。而电流、电压则与线性条件无关，比如在画一条一般的伏安曲线(非线性)时就使用了电流、电压的概念。

5　几点附注

首先，式(2)和式(3)的区别不仅仅是做了一次代换那么简单。式(1)和式(2)都针对部分导体，属局部特征，都存在微分形式(见式(5)和式(10));但式(3)针对全电路，属整体特征，无微分形式，其中的E=∮K·d l是全电路的总电动势，而电压由于∮E·d l=0而消失。

其次，保守与否决定了谈论“内”“外”是否不妥。前面谈到，“外电压”有误导性，“内电压”问题更大，其基本原因就是静电力是保守力，这导致电压无需“内”“外”这种词汇来加以限定。但对于式(10)中非保守的非静电力和阻力，由于∮K·d l=E≠0，∮ρJ·d l=∑iIiRi≠0，从而两点间的积分对不同的路径(经过内电路还是外电路)会不同，故而谈论“内外”是有意义的，如内阻、外阻、“外电动势”(如电动机的反电动势)等。

另外，有人认为式(3)只适用于纯电阻电路，这其实要看其中的E指什么。以电路中含电动机为例。对全电路而言有