考虑巷道周边有非均匀作用力的基尔希解修正

侯公羽 谢冰冰 李子祥 韩育琛

（中国矿业大学（北京）力学与建筑工程学院，北京100083）

在岩体硐室工程稳定性分析中，通常需要对硐室开挖后的围岩应力场和位移场进行理论求解。基尔希解（Kirsch Solution）自1898年求解出来后，对地下工程有较好的指导作用。但基尔希解的不足之一是没有考虑巷道周边的支护力的作用，显然，巷道周边的非均匀支护力［1-2］对围岩的应力场和位移场必然会产生影响。

目前，已有不少学者对圆形巷道在对称荷载作用下的弹塑性解进行了多方面的研究工作，取得了有价值的研究成果。罗超文等［3］基于水压致裂法对地应力进行了大量测量，并对围岩应力进行了分析研究；刘宁等［4］监测到了TBM掘进过程中围岩的应力变化规律；孙闯等［5］将收敛—约束法应用于高应力软岩巷道围岩—支护相互作用分析中；侯公羽［6］根据开挖卸荷的概念和开挖面空间效应原理，提出围岩弹塑性变形二次释放的概念解，研究围岩—支护之间的相互作用；侯公羽、牛晓松［7］采用与卡氏方程求解相同的求解条件和求解假设，分别采用Levy—Mises本构关系及Hoek—Brown屈服准则，对轴对称圆巷的理想弹塑性问题进行了求解；Li、Wang等［8-9］引入与围岩半径相关的系数ε，利用复变函数方法给出带内压支护圆形压力隧洞应力和位移弹性解；侯公羽等［10-11］对轴对称圆巷在对称的地应力和支护力作用下的围岩流变变形进行了理论求解。但这些研究都局限于轴对称荷载作用下这一理想条件对圆形巷道的作用结果，对实际工程中经常遇到的非对称荷载作用下的情况还不能很好地解决。

严克强［12］首次对非对称荷载作用下圆洞围岩塑性区进行估算；侯公羽等［13］对两向不等压条件下轴对称圆巷的弹塑性问题进行摄动求解，给出弹性区域考虑二阶微量的应力分布和弹塑性交界线的摄动解析表达式；孙金山等［14］推导了非轴对称荷载下圆形隧洞围岩弹性区、塑性软化区和塑性残余区的应力场、应变场、位移场和塑性区半径的近似解析解。这些成果虽然考虑了两向不等压的条件，但并未对支护力的影响给予考虑。

总体而言，对于非均匀地应力作用下的巷道/隧道围岩的理论求解研究成果还非常少见。若要获得突破性的求解进展，首先必须搞清楚其弹性解，进而才可能获得其弹塑性求解。因为，围岩弹性应力的求解同样对围岩塑性区的发展有着决定性的影响，围岩塑性区半径的求解也需要弹性解为其提供边界条件。因此，深入地研究非均匀地应力作用下的巷道/隧道围岩的弹性解，具有重要的理论意义和工程实用价值。

基尔希解为非均匀地应力作用下的巷道/隧道围岩的理论求解奠定了一定基础，但还不够完善。因此，有必要对基尔希解进行必要的修正。

本研究采用基尔希解的求解思路，对巷道周边存在的非均匀支护力的形式进行了合理假设，并结合弹性力学中半逆解法［15］进行了两向不等压条件下圆巷围岩在有非均匀力作用时的弹性应力及位移进行了求解。通过算例的计算，对求解的方程和解析解进行了分析，研究了两向不等压条件下圆巷围岩的应力及巷道周边位移的变化规律。

1 轴对称圆巷两向不等压地应力及非均匀支护力作用下的基尔希解修正

1.1 假设条件

（1）围岩为均质的、各向同性的、线弹性的、无蠕变性或线粘弹性半无限体。

（2）原岩应力竖直向为 p0，水平向为λp0，λ＞1（λ＜1的情况类似，从略）。

（3）巷道断面为圆形，长度为无限长（平面应变问题），深埋Z＞20R0（忽略影响圈内自重），结构对称，荷载仅对称于竖轴和横轴。

（4）巷道周边非均匀力如图1所示，其函数形式为q=1+kcos2θ）（0＜k＜1），如图1所示。详细讨论见1.3节。

1.2 围岩—支护相互作用机制

对于地下洞室，如果不考虑开挖面空间效应的影响，那么，围岩的弹塑性变形在被开挖体破碎的瞬间即发生并完成了，因此，在围岩的弹塑性变形发生和完成之前，支护结构是无法及时架设的［16］。由于支护结构（如喷射混凝土、锚杆、格栅支撑等）都是被动受力的，即其作用力是在与围岩的相互作用即变形协调中产生的，因此，在这种情况下支护结构是支护不到围岩的弹塑性变形的［16］。

如果考虑了开挖面空间效应的影响，那么，支护结构是可以及时架设的，在这种情况下，支护结构是可以支护到围岩的弹塑性变形的［17］。支护与围岩因产生变形协调关系而发生相互作用，即：围岩对支护结构施加挤压作用，支护结构对围岩产生被动的反作用力（即支护反力）。侯公羽等［17］对这一问题进行了详细的研究，创造性地将巷道围岩周边的径向位移、开挖面空间效应产生的虚拟支护力和支护结构产生的支护反力之间建立了力学与数学关系，对围岩—支护相互作用的全过程进行了求解。

为什么要对基尔希解进行修正？因为：①基尔希解没有考虑巷道周边有支护反力作用情况的求解；②使用文献［17］的方法对围岩—支护相互作用的全过程进行解析时需要这个求解。因此，需要对基尔希解进行修正，即求解出考虑巷道周边有非均匀支护反力作用的基尔希解。关于非均匀支护力形式的讨论详见1.3节。

1.3 关于巷道周边非均匀力的分布形式的讨论

对于非均匀的径向围岩压力，目前没有明确的分布曲线，常用一些函数曲线近似表示荷载分布规律的不均匀性［18］。例如：采用倍角余弦曲线的非均匀径向围岩压力分布形式，即

也有采用了单角正弦函数形式，即

吴庆良等［18］为了克服式（1）和式（2）在 θ=0°、90°处荷载为零的缺点，又提出

式中，q为作用在巷道外侧非均匀压力，q顶为圆形顶点处的压力，β为荷载分布规律的不均匀性系数，θ为圆筒不同位置的角度，m为荷载非均匀程度系数。

侯鹏翔［19］提出不均匀荷载的分布，即

式中，α为与水平方向的夹角，β意义同式（1）。

以上是围岩对支护结构的荷载形式的研究，但由于非均匀的径向围岩压力和支护力是一对作用力和反作用力，因此，综合以上研究，本文提出巷道周边非均匀的径向围岩压力（即支护反力）的分布形式如公式（5）及图1。

1.4 关于求解思路

如图2在基尔希解（问题（i））的基础上，本研究将求解的问题（ii）分解为模型Ⅰ和模型Ⅱ的叠加。

模型Ⅰ：两向不等压应力作用，竖向 p0，横向为λp0，巷道周围无作用力，如图3所示。

模型Ⅱ：在巷道周边作用非均匀力，如图4所示。其函数形式为q=q0（1+kcos2θ），（0＜k＜1）。

1.5 问题（ⅰ）的求解（即原基尔希解［20］）

其中，M=r2。

1.6 对于只在巷道周边作用非均匀作用力时（ⅱ）的求解

巷道周边处的非均匀作用力的函数形式（如图1）为q=1+kcos2θ），（0＜k＜1），可 展 开 为q=（1+0.5k）q0+（0.5kcos2θ）q0。

按叠加法可将非均匀作用力q分解为

1.6.1 问题（Ⅰ）的解

第一组面力所对应的问题是巷道内边界所受等压支护力为(1+0.5k)q0，边界条件为

由拉梅解求解思路得出各个应力分量为

其 中 ，边 界 条 件 (τrθ)r=R0=0 及 (τrθ)r=b=0 已 自 动 满足。只需要代入其余2项即可，即将式（9）、式（10）分别代入式（13）得

再由 b＞＞R0，可令 R0/b→0，得各应力分量A=q0(1+k/2)R20，C=0，将其代入式（13）、式（14）、式（15）得

1.6.2 问题（Ⅱ）的解

运用弹性力学中半逆解法思路边界条件为

可以看出，要满足外边界条件，则应力函数φ中应当含有cos2θ因子，而从内边界到外边界σr和τrθ都是变化的，即σr、τrθ与r有关，φ是r的函数。因此，可假设应力函数为φ=f（r）cos2θ，应力函数必须满足相容方程∇4φ=1.1。由此可得

化简并整理得

上式的通解为

将式（20）代入应力函数，得

将式（21）代入如下应力分量

整理得

根据边界条件求解积分常数，将式（21）～式（24）代入式（30）～式（32），并令 r→∞ 得 A=B=0，C=-q0k/4，D=q0k12。

将其再代入式（30）～式（32），得

将式（18）～式（20）与式（33）～式（35）分别对应相加，即可得到巷道周边处有非均匀作用力条件下的应力解为

将基尔希解与此解进行叠加即为最终修正解

其中，M=。

2 与基尔希修正解对应的位移解

围岩应力值求出后再根据几何关系和本构关系求出位移解。其中，几何关系如下

本构方程如下

将式（39）、式（40）代入式（45）并注意到ur=dr，且r→∞时ur=0可得径向位移

其中，Q=r，N=(1+v)(2E)。

同理将式（39）、式（40）代入（46）并注意到uθ=-ur)dθ，可得切向位移

3 算例与分析

为了便于进行比较，本文算例基础数据取用文献［13］的数据，即：原岩应力 p0=13.1 MPa，围岩弹性模量E=6 GPa，泊松比v=0.3，侧向不均匀系数λ分别取1.1、1.2、1.3、1.4，k暂取0.5。

（1）应力分析。图5条件为q0=0.5 MPa时，巷道周边不同角度θ及不同λ值时，径向应力σr及环向应力σθ的对比结果。从图5可知，在图5的条件下，角度θ和λ对环向应力σθ的影响规律是：①在巷道的周边处，角度从0°增大至90°，其环向应力σθ大约从21～24 MPa增加到30～40 MPa；②从巷道周边往里，随着角度增大，不同λ值的曲线分布越来越发散。角度θ和λ值对径向应力σr的影响规律是：角度越小，围岩深处的不同λ值的曲线分布越发散；反之，则曲线分布越聚集，说明此种情况下λ值的影响较小。

（2）位移分析。图6为λ=1.2，r=R0时，不同q0条件下任一角度的径向位移ur的对比结果。图7为q0=0.5 MPa，r=R0时，不同λ值条件下任一角度的径向位移ur的对比结果。

由图6可知，非均匀力q0越大时，巷道周边任意角度径向位移越来越小，但总的来看，影响不大。由图7可知，侧压力系数λ变化时，对巷道周边不同角度的径向位移的影响较大。例如：随着λ的增大，水平方向即0°处的径向位移也增大，但随着角度增加至90°处及竖直方向的径向位移却会减小。由此可知，巷道周边存在的非均匀力及两向不等压力对巷道周边的径向位移的影响机理不相同。

4 结论

（1）采用了与基尔希解相同的求解思路，进行了以下工作：①将作用于巷道周边处的非均匀力分解为对称条件和非对称条件的叠加，其中对称条件下的应力解采用弹性力学中拉梅解的求解方法，非对称条件下的应力解采用弹性力学中的半逆解法求解，将二者进行叠加即求得非均匀力作用于巷道围岩周边的弹性应力解的解析式；②将此解析式与原基尔希解再进行叠加即可得到基尔希解的修正解；③利用巷道围岩的几何方程和本构方程推导出了巷道周边处的径向位移和环向位移；④通过工程算例的计算，分别对比分析了λ和q0的变化对σr、σθ和巷道周边径向位移ur的影响。

（2）通过对算例的计算与分析可知，侧压力系数λ增大时，σr与σθ均增大，q0值增大时，σr增大、σθ减小。但是由于非均匀力q相比较原岩应力小得多［21］，因此，它对围岩弹性应力的影响有限。

（3）本研究获得的修正解具有重要的理论意义。与原基尔希解相比，将巷道周边存在的非均匀支护反力考虑在内，更加合理地描述了巷道围岩的实际受力状态，进而能更加准确地计算巷道围岩的弹性应力及位移场的分布情况。

（4）本研究提出的巷道周边非均匀的径向围岩压力（即支护反力）的分布形式并不是唯一的。按照本文的求解思路，读者可以使用自己更易接受的分布形式，对基尔希解进行修正求解。

（5）利用本研究的修正解和文献［17］给出的解析思路，可以进一步地探索非均匀地应力作用下的巷道/隧道围岩与支护的相互作用机制以及全过程的求解。

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