高中数学的平面向量数量积概念探讨

冯泽雨

平面向量数量积系统概念主要包括定义、几何意义和坐标运算等多个层面。通过概念的应用可以理解为数量积是一个知识系统，学生在分析概念的基础上最终的形成结果必然是要掌握本质知识，灵活运用各种概念解决存在问题。因此作为高中数学教师，需要注重概念的分析教学，并且通过概念分析让学生提高认识，从而提高数学学科文化素养，符合当前高考改革要求，同时促进数学学科的完善。本文对高中数学的平面向量数量积概念进行分析。

平面高中数学平面向量数量积模块知识的学习见于必修四教材中，而在此之前物理学科教学中已经接触了平面向量的概念，有关数学平面向量的学习更为理论化、系统化，因此掌握平面向量数量积概念以解决实际数学问题成为教学重点，这就需要数学教师提出有效应用策略，从本质上来剖析平面向量数量积概念中的三种形式和相互之间的关系。

1 加大运算深入认识向量本质

数量积是向量的一种运算，而运算的法则就蕴含在平面向量数量积中，涉及到数量积的定义、几何含义、坐标运算等形式，想要从本质上解决平面向量数量积问题，就要对概念中包含的各种指示加以深化。向量属于大小和方向同时俱存的量，是矢量，这一特征的掌控是概念理解的基础。高中教材中给出的平面向量数量积定义为：两个向量 ，夹角为 ，那么 叫作 和 的数量积。表面定义看起来比较简单，但是想要学生充分理解这一概念，并且做到灵活运用具有一定的难度，这需要教师在实际解决问题时重视向量运算的讲解，以便引导学生正确把握向量计算中的规律，夯实向量基础功底，以便为解决更为复杂的向量数量积问题打下坚实的基础。因此教師可以从以下例题为切入点，为学生展示出向量知识的活用。

2 应用图形掌握向量规律

高中数学分析平面向量数量积概念时，不能仅仅局限于单纯讲解向量定义和客观规律有关的知识点，还应该学会利用图形，有时能发挥意想不到的效果，让学生更加全面系统理解向量知识在实践中的应用。

平面向量和三角函数相结合的题目是高考中的难点和重点内容，想要顺利解决此类题目，学生就必须熟练各种向量的运算技巧，而且还要对三角函数的多种形式转换完全掌握。根据题目数形结合思想，列出以下演算过程： = cos∠CAD= ·cos∠CAD= sin∠CAB= = 。这种根据图形来做出向量夹角cos 可以联系三角函数中角的转化，需要学生耐心、细心和用心，首先观察图形更加明确向量的方向指示。

3 结合坐标实现坐标表示向量应用

利用坐标来解决问题是参考的图形的几何性质决定的，建立坐标系能够准确使用坐标表示向量。根本难点在于坐标系的建立需要准确，箭头方向要具体。从此进入到平面向量数量积概念的学习中，两个数值之间相乘必然会得到数值，然而多数学生在平面向量数量积的概念中容易和平面向量相混合，存在误区的学生会将数量积概念认为是两个向量的相乘也应该是向量，而不会在公式中表现出来大小和方向，由于两个向量的模和两个向量之间的夹角的余弦值相乘，最后得到的是数，因此这种情况才是数量积而并非向量。少数学生对于数量积和向量两者之间的混合归根结底是对数量积认识不到位，概念理解不够彻底，从而缺乏应用意识和应用能力，对此首先要让学生在理解概念的基础上多加训练题目，这是对数学中基本概念和定义掌握，需要注意的是平面向量数量积是数不是向量，根据字面理解最后的乘积必然是数而并非其它形式。

4 结合题目提高复习效果

复习课的目的在于“温故而知新”，从旧知识的学习过程中能够发现新内容。在高考环境下，高三复习课越来越受到人们的重视，从中发现自身存在的薄弱环节，是对知识进行再次加工的重要手段。教育心理学认为，开始思维过程的过程是以问题为基础展开的，从本质上来讲，学习是提出问题，解决问题的过程，每当学习中遇到新模块和新知识时，如果已有的经验理论不足以转化为新情境，那么在解决问题的过程中获取到的知识与技能都会形成新的科学解决方法，逐渐形成正确的观点态度。其次变中出彩还是以原始问题为核心，向着蕴涵的各方面进行拓展和深化，揭示出数学概念的本质属性和非本质属性，培养出学生知识情境转化意识和辨别能力意识。

我们对这个难点题目进行变式，训练在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120度， ，那么 =？数形结合的解题思路正是当前向量解题方法中最为重要且有效的一种，借助平面集合知识可以快速找到变量和定量。我们设置为变题2：已知向量 和b的夹角为120度， =1， =3，那么求出 ？首先从变题2中继续思考以下问题。变题3：已知 向量 和 的夹角为60度，如果向量k + ， -2 的夹角为钝角，那么求出实数k的取值范围。有人提出：从题意中明显可以得出（k + ）·（ 和-2 ）<0，化简得出k>-7。由于上述没有考虑到这两个向量之间是否反向问题，因此要补充条件k - 。事实上从向量数量积公式中我们知道，无论向量a，b的夹角是锐角或者钝角，我们都要考虑到两个向量的共线问题。任何关于向量数量积的题目，都要从其本源入手，只有遵循探究本源，变中出彩这一原则，才会掌握更多的解题技巧，围绕着平面向量数量积公式来从不同角度创造了使用公式的条件。

综上所述，平面向量的数量积作为高中数学学习的重要内容，同时也是高考必不可少的模块。平面向量是高中数学的重要组成部分，而教学的重点和难点都集中在如何深化学生对平面向量数量积概念的掌握，以便提高学生对向量知识的灵活运用能力。数学概念的理解是建立在发现问题、分析问题和解决问题的基础上，因此高中数学教师必须重视对平面向量数量积概念的教学。本文分析了平面向量数量积的概念，以此提出在解决实际问题中的应用，希望具有一定的借鉴意义和参考价值。

（作者单位：衡水二中）