数学画：寻找抽象与直观的中间地带

2018-07-07周云丁姣

教育界·中旬 2018年3期

周云丁姣

【摘要】数量关系是解决问题的核心，帮助学生厘清数学关系，成为解决问题教学的关键所在。低年级儿童受其年龄特点和抽象思维水平所限，他们解决问题时往往需要借助几何直观来帮助分析思考，寻求解决问题的最佳策略。示意图作为最重要的几何直观，它在小学低段数学解决问题中发挥着不可忽视的作用。本文以课例《求比一个数多几（少几）的数是多少》为研究载体，展开对画图意识及画图技能培养策略的研究。画数学，数学抽象与直观的应有中间地带，让数量关系水落石出，问题解决水到渠成。

【关键词】几何直观；示意图；数量关系；策略；解决问题

一、缘起：老师，画图让我变笨了

一次教学“解决问题”，下课后正当我拿起书本准备离开教室时，坐在第一排的一个男生跑过来问我，“老师，我画完这道题的图，可是算式是12-8还是12-4啊？”我看着这孩子所指的题目“圆有12个，三角形比圆少4个，三角形有几个？”心咯噔一下，图画对了，怎么会问出这样的问题呢？我连忙问他：“算式中8哪来的？我们还不知道三角形的个数呢。”听完我的话，他尴尬地挠挠头说：“老师，画图让我变笨了。”原来，他对每个数字所表示的意思都懂，就是看着画完的示意图，反而不知道最后到底要求什么了。

“老师，画图让我变笨了”，这句话时常回荡在我的脑海里。作为一个教师，我开始反思，明明画示意图是帮助孩子理解题意，能更好地解决问题，怎么反而让孩子陷入思维泥潭中，到底是什么原因导致这种情况发生呢？

二、审问：“数学画”的前世今生

“几何直观”是《数学课程标准》（2011年版）提出的核心概念之一，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助它可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。示意图，又称为数学画，是让数量关系直观形象地显露出来，因此，加强示意图教学成为貫彻几何直观新理念的重要抓手。笔者就以示意图教学为例，对当下几何直观教学现状进行分析。到底是什么原因导致学生不能正确从示意图中提炼数量关系帮助解决问题呢？除学生自身的原因外，作为教师是否也应该审问自己在平时教学中，有没有关注画图策略的具体指导？课堂中有没有渗透画图的价值？

这一连串的问题，暴露了我们平时对画图策略指导的现状。

1.硬性规定，适得其反

许多教师重视用示意图来解决问题，但是对示意图的用途理解不到位，教师纯粹是为了画图而画图，一味地对孩子进行灌输式教育，认为解决问题就一定要会画示意图，觉得人人都要借助它来解决问题。更多的时候教师把示意图当作梳理题目信息的一种方法，而常常忽视画示意图的另一个功能，就是可以从中提炼出数量关系，从而真正理解题意达到解决问题的目的。然而在低年级解决问题中，由于信息含量比较少，所以很多学生认为他们不需要借助示意图也是可以很清楚地在脑子中梳理题目中的信息，他们反而觉得画示意图是一种累赘，于是他们运用示意图的意识很淡薄。

2.结构乏力，能力尚浅

教师的视野里只有自己所教年段的教学内容结构，不“瞻前”也不“顾后”，而且按部就班，缺乏从学生视角出发研发教材、改善教学行为的主观意识，所以对线段图教学的思路也是模糊的，断点式的，无条理的。

教材、教师的问题导致学生读线段图、画线段图的能力欠缺。大部分学生不能将题目的条件和问题整理到已经画好的线段图上，从抽象到具体的桥梁不畅通，说明学生缺乏“数”“形”结合的能力。

3.沟通联系，桥梁不畅

在解决问题的教学过程中，教师往往注重结果，而忽视画示意图形成的思维过程。尤其是在低年级解决问题中，教师一般会先画好示意图，然后通过示意图来理解题意并列出算式，这样不沟通图文，不借助示意图让学生体会数量关系形成的直接教学，会造成学生听教师讲时明白，自己做时又束手无策。又再加之大部分青年教师，在解决问题教学过程中，本身对教学目标设定上存在一定的偏差，只要有学生能画示意图并解决问题就以为达成了教学目标。像这样一知半解地完成示意图教学不仅束缚了学生的思维，而且学生也体会不到运用示意图在解决问题中的价值。

该如何改变这种现状呢？在一次次的对比研究中，笔者发现只有能根据题意正确画示意图，才能从中提炼出数量关系，从而为解决数学问题提供帮助。

三、笃行：寻找抽象与直观的中间地带

基于以上认识，笔者在教学中做了课例对比研究，以二年级学生为研究对象，以《求比一个数多几（少几）的数是多少的决问题》为载体开展研究。通过“初探”“再探”“总结”三个环节进行比较研究，在实践中探索如何从示意图中提炼出数量关系，真正让数学画（即示意图）成为“抽象”与“直观”之间的桥梁，帮助学生高效解决问题。

1.初探：尝试画图

第一次执教的时候，笔者先出示二年级卫生评比的情境图，让学生观察情境图，提取数学信息，并提出问题：一班得了12面红旗，二班比一班多得3面，二班得了多少面？根据学生的回答和教师的引导，学生基本认同画图能帮助我们解决问题，因此教师提供时间让学生尝试画示意图。如下图：

根据学生的画图一一投影反馈，比较这8种示意图，学生一致得出图5、6、7、8幅比较好，它们画法差不多。然后为了加深记忆，教师自己在PPT 中完整展示这道题的示意图形成过程，最后请学生根据示意图列出算式，再请学生看着算式说一说算式中的每个数所代表的含义，在这里学生依然没有能够看着示意图从中理解算式中的12表示的含义，都认为12表示一班得到的红旗数量，可见示意图并没有帮助学生突破难点。于是教师没有办法只能自己对着算式和示意图来强调12表示的是一班和二班得的红旗同样多。学生也是云里雾里的接纳了这个解释。然而在课下，批改作业的时候笔者才发现，其实大部分学生还是不明白到底为什么要画图，画图到底给解决问题带来什么的好处，显然学生是没有真切感受到画图的意义的。因为有部分学生不画图他也会，而少数学生画了示意图后列出的算式更是不对，经常还会把题目文字中没有告诉的信息根据画图而直接用上去，导致出现问题与算式答非所问。

根据这片段的教学分析，在展示画图的过程中，教师并没有很好地引导学生去理解如何根据题目的意思画出示意图的过程，虽然有些学生能画出正确的示意图，却对示意图的形成还是一知半解，更多的是模仿课前三角形和圆形的对比图进行画图的，没有真正根据题目的意思深入思考。教师只是单纯地注重画图的结果，对学生画图过程的思维并没有进行充分暴露，更多地是为了引出画图而画图，并没有做从文字——示意图的沟通解释，导致学生没有体会到画图的真正作用是什么。在画示意图的过程中学生能根据文字意思逐步梳理信息，再对信息进行分析，那才是画示意图的真正作用。显然从上面的教学过程中教师并没有显露出让学生体会画示意图的作用，学生更不是发自内心的、主动地去感悟到用画图来解决问题更方便。其次在画出示意图以后，教师让学生列出算式解答，再回问学生算式中的每个数所表达的含义，并没有很好地结合示意图去理解，在学生出现理解错误时，教师就采取自己解释其含义，而不是追问，或者利用学生学习的难点进行算式与示意图之间的沟通，从而真正让学生体会到通过示意图原来可以帮助我们提炼数量关系，理解算式的真正含义。

2.再探：反思完善

在第一次教学后，笔者进行了深刻反思。同样在学生认同画图是一种好的方法来帮助我们解决问题后，学生独立尝试画图，然后进行投影反馈。在这次反馈过程中，教师并没有着急评价学生画图的好坏，而是耐心的询问学生你是怎么画的。教师充分暴露学生的画图思维过程，一步一步慢慢将题目的意思转化成简单的图画，让学生经历画图的过程。接着教师在学生初步得出示意图后，又进行了追问：还有比这种画法更简单的画法吗？迫使学生在原有的示意图基础上，寻找更简单的画法，引导学生抓住题目中的关键句进行分析：二班比一班多3面，也就是二班起码和一班有同样多的12面红旗，所以二班前面的12面红旗可以简单用一个长方块表示，写上“与一班同样多”这几个文字表示。最后再追问学生：你能看着这个图画说一说它表示什么意思吗？进一步完善示意图还缺少问题。最后请学生再看着完整的示意图说一说题目的意思，核对图画是否和文字题目所表示的意思相同，更深层次展示了画图的全过程，进而让学生从示意图中理解数量之间的关系。

根据这次的教学片断分析，教师充分暴露学生画图的思维过程，通过问题串一步一步引导学生画出完整而又简便的示意图，在一次次完善图画过程中无形间加深理解题目的意思，教师显然做到了用示意图梳理文字信息的作用，并且沟通了文字与示意图之间的关系，同时也顺理成章地提炼出题目中蕴含的数量关系。在整个过程，既有学生独立动手画图操作的过程，又有分析思考自我内化，让学生在思辨中感悟画图的作用，也理解了抽象的知识。同时教师指导、示范、点拨学生画图的过程，大大提高了学生理解数量关系的水平。大部分学生能理解题意画出正确的示意图来解决问题。

3.总结：优化教学

两个教学片段进行同一教学内容的教学，教学效果却呈现截然不同的结果。究其原因，还是教学环节的呈现上存在很大不同。第一个教学片段中，首先教师在学生画出正确的示意图后，没有深究学生是如何画图的，而是轻描淡写地走过场了，更没有指导学生如何从学生的图转化成书本上更加简单的示意图画法，学生呈现一知半解的状态。其次，教师并没有真正让示意图“活”起来，它是文字意思的另一种表达方式，即文字题意与示意图割裂。第三，在画出正确的示意图后，学生列出算式并解释每个数的含义，然而在学生解释12的含义出现错误时教师没有意识要回到示意图中寻找答案，这个过程又是与示意图割裂的。因此整个教学过程中，教师并没有做到文字——示意图——算式之间的沟通，三者之间互相割裂，导致学生不理解。而第二个教学片段中，教师在学生出示正确的示意图后，充分让学生说一说自己画图的过程，顺着问题串慢慢引导学生理解题意，完善画图的过程。在不断的思辨修正的过程中，教师指导学生理清了题目的意思，最后又让学生看着示意图说一说题意，这无形间提炼出了数量关系并内化。而后，学生静下心来列出算式，并再一次反过来看着算式对照图画来解释算式的意思。这样一个过程真正做到了文字——示意图——算式三者之间的沟通联系，让学生体会到用画图可以方便解决问题。

四、慎思：如何在抽象与直观间自由摆渡

有了《解决问题——求比一个数多几（少）几的数是多少》一课的成功执教，我们欣喜地看到学生能从示意图中提炼出数量关系并解决问题的能力在提升，也看到了学生画图意识的主动形成。但是数学思想方法的建立应是长期渗透、不断完善、循序渐进的过程，一节课起到的应是“抛砖引玉”的作用。作为一线教师应该如何培养学生在解决问题过程中形成主动画图的意识，并从中提炼数量关系来帮助解决问题呢？我们应该先要将教材在解决问题领域中图示策略的分布情况进行整理，仔细分析每一个图示的作用和教材编写的意图，最后根据学生的特点制定出能够培养学生画图意识的教学计划。从中分析，我们不难发现示意图的运用贯穿于小学数学解决问题教学的整个阶段，它也是画好色条图和线段图的基础。

有了这样的分析，让我们对教材有了整体把握，同时在实际教学过程中，教师还要准确定位各阶段的图示教学的目标，对图示的策略进行合理指导，在课堂教学中时常渗透图示的价值和作用，让学生能够主动地画图梳理信息，并从中提炼出数量关系最后解决问题。

1.策略一：培养画图能力，发现数量关系

有人认为用画图帮助解题是高年级的事，是比较难的题才使用的方法，中低年级和比较简单的解决问题不需要画图。这种认识是不适当的，从上面教材在解决问题中的图示教学情况分析来看，我们不难发现学生的画图能力的培养不是一蹴而就的，教材从低年级开始培养用畫图帮助解决问题的意识，中低年级的学生解决问题都是先从画示意图、色条图开始来对解决问题的题意进行理解，最后运用抽象的线段图来解决比较难的题目。然而示意图并不仅仅只出现在中低年级，在高年级的解决问题中也时常会用到。与此同时有些低年级的学生有错误地认为，这么容易的题，我不画图就能理解题意，把题做对，何苦去自找麻烦。因此教师在低年级教学中要经常有意识渗透画图的意识，如果从小基础打不牢固，到高年级遇到比较难的题目决问题，需要画图辅助解题的时候，就会画不出来或画不正确，解题的能力就会的大大降低，就会影响思维的发展。所以，画图的培养一定要从中低年级培养，从简单题入手，从小养成画图解题的意识和良好的画图技能技巧，打下坚实的基础，到高年级才能如鱼得水，应用自如。

2.策略二：正确范画指导，理解数量关系

学生刚学习画示意图，不知道从哪下手，如何去画？尤其是低年级的孩子，因此教师的指导、示范就尤为重要。（1）教师可以指导学生跟教师一步一步来画，找数量关系。教师也可以示范画出以后，让學生仿照重画一遍，即使是把老师画的图照抄一边，也是有收获的。（2）学生可边画边讲，或互相讲解。教师对有困难的学生一定要给予耐心的指导。（3）学生掌握了一定的技能后，教师可以放手让学生自己去画，教师给予适时的点拨，要注意让学生讲清这样画图的道理，可自己讲，也可分组合作讲。教师通过对比，一定要让学生体会用图解题的直观、形象，体会简洁、方便、易理解的特点，提高应用的自觉性、主动性。

3.策略三：沟通文图关系，提炼数量关系

示意图不是盲目地画，随心所欲地乱画。教师要指导学生从示意图中提炼数量关系重点做到以下几点：（1）认真读题，全面理解题意，根据所画的示意图，先自己独立思考，图画是根据题目中的哪些话一步一步画成的；（2）脱离文字，让学生看着示意图说一说从这幅图中知道什么信息，要求什么问题，再次从示意图中理解这道题所表示的意思；（3）根据示意图的理解，列出算式，让学生看着算式说一说算式中的每一个数所代表的意思，可结合示意图来说一说含义。以上过程从文字—示意图—文字，从示意图—算式—示意图这两次循环进行文—图—式的沟通，不仅培养了学生语言表达能力，还充分暴露了画图的思维过程，这更是分析题意、提炼数量关系的重点。我们需要进行长期的训练才能提高学生语言表达能力、分析问题和解决问题的能力。

4.策略四：学会举一反三，应用数量关系

不少的学生遇到这类问题想到用这种示意图来辅助解题，而换成其他同种类型的题目就不会画这样的示意图来解决。实际上，同一种画法的示意图可以表达不同的题目，但实际上题目的类型是同种，我们可以让学生根据一幅示意图编题目，从而得到只要是蕴含这种数量关系的示意图就可以解决这类问题，学会举一反三。例如，二年级下册表内除法（一）中有这样的一幅示意图：

从这幅示意图中我们可以提炼出“每份数=总数÷份数 ”这种数量关系，从而解决这类型的所有问题。

看似简单的数量关系，要从示意图中提炼出来，并学会应用，这对中低年级的学生来说是一个复杂而又难的过程，却能让学生亲身经历画示意图——说示意图形成的过程——从示意图中提炼数量关系的过程，充分感悟到画图是为了提炼数量关系，从而解决问题。

五、展望：数学画，发现更美的数学

在解决问题教学中，能正确画示意图，是提炼数量关系的前提，而数量关系的应用是解决问题的关键！增强画图意识，培养画图能力，辅助解决问题是一种良好学习习惯。经历从示意图中提炼数量关系的过程，能不断增强学生分析问题的能力，激发画图需要，提高解决问题能力。学生体验到学习成功的喜悦，由此唤起儿童在解决问题时需要画图的内在需求。当孩子发自内心的说出一句：“画图真好！”也许这就是作为一名数学老师教学的成功之处！

数学画，抽象与直观的中间地带，一道美丽的数学风景！