深挖教材,优化解题

肖启斌

(福建省武平一中 福建 武平 364300)

目前,在不少中学数学老师中有这样一种倾向：在教学过程中不重视教材中的例题,喜欢另外选题进行教学,这样无形中增加了学生的负担!课本是重要的教学资源,例题是数学教材的重要组成部分,是连接理论知识与问题之间的桥梁,不是题目的简单堆砌,而是教材的精华,其特点是紧扣教材,难度适中,面向全体学生,例题对引导学生如何由知识转化为能力具有很好的示范功能和模型功能。著名数学家G·波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能拿出一个有意义的但又不太复杂的题目,去帮助学生发掘问题的各个方面,使其通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域．”老师应该立足教材,开发教材,做透教材中的典型例题和习题,我们不但应该会做,而且还应该对课本例题进行反思,不仅要反思解题过程,更要反思教材通过例题向我们传达些什么,在解题思路和方法上提示规律,启发思维,帮助学生了解和掌握其丰富的内涵,促使学生不仅要学好基础知识,而且更重要的是提高学生的思维水平;最终实现在日常学习中跳出题海,高效备考。

下面通过几道课本例题的探究,结合自己教学实践谈谈拙见。

在人教A版必修1中§1．2函数及其表示,例题1：

(1)求函数的定义域。

(2)求f(－3),f()的值。

(3)当a＞0时,求f(a),f(－1)的值。

在实际教学中,很多老师一带而过;其实当我们深入体会,认真分析,我们会发现,这是一道信息量非常大的题目：如能讲清这一道题,对指导学生突破高中数学第一个难点,掌握函数概念,深刻理解数学思想,会具有很好的示范作用。

一、求函数的定义域

由第(1)小题可知,x＋3≥0且x＋2≠0,可以得到结论,进而概括有具体解析式的函数的定义域的求法,但我们不该只到此为止,结合第(3)小题,当把x换成a与a－1时,可求出f(a),f(a－1)的值;深入分析,f(x)与f(x－1)中,x的取值范围一样吗?通过分析,其实应该是x与x－1的取值范围是一样的。如此推广,就可以求抽象函数的定义域。

如“已知函数f(2x－1)的定义域,求f(1－3x)的定义域”。

从而可以得到更为一般性的结论：已知函数f(x)的定义域,可以把x代换成g(x),h(x),进而求函数f(g(x)),f(h(x))的定义域,或者已知f(g)(x))的定义域,求函数f(h(x))的定义域,这里面x,g(x),h(x)的取值范围相同,这是求抽象函数定义域的关键。

二、求函数的值

在第(2)小题中,分别把－3,代入,可以求出f(－3),f的值,其本质是一般到特殊的代换。若我们进而设问,如何求f(f(－3))的值?这样实际就是重复代换的过程,先求出f(－3)＝－1,然后把－1代入求出。在此基础之上,就可以引出分段函数或复合函数f(g(x))的解析式及函数值的求解。

如：已知(2))的值,或求f(g(x))与g(f(x))的解析式。

通过比较,我们还可以得到结论,一般情况下,f(g(x))与g(f(x)),因为运算顺序不同,所以所得函数也不同。

三、求函数解析式

在第(3)小题中,求出了f(a),f(a－1)的值之后,继续设问,如何求f(x－1)?这个问题不难。我们要再深入下去,这是由f(x)求f(x－1),那么反过来,已知f(x－1),又如何求f(x)呢?这显然就是逆向思维,前面是把x换成x－1,后面是把x－1换成x,进而,我们又可以概括出,已知的解析式,如何逆求f(x)的解析式,其本质就是一种化归与转化的数学思想。

如：已知求f(x)的解析式。

通过对本例的分析、拓展,我们就可以把函数这一节中的几个难点有机地联系在一起,从而降低学生的学习难度,提高学习效率。

结束语：数学例题的设计与运用不能只满足一题一解一问一答,还需要老师在 “活”字上做文章,对于一道例题,老师可以通过对题目进行变化：如一题多问,从多方面提出问题,让学生思考问题;也可以一题多解,结合学生实际,从不同方面启发,引导学生从不同角度去思考,用多种方法来解答;还可以一题多变,因叙述方法不同,所反映问题的深浅程度也不一样,可以设计顺向性和逆向性的例题,也可以是求同性和求异性的例题。通过对例题的活用,让学生体会数学知识的发生、发展与变化过程,能够较好地帮助学生形成一定的分析问题,解决问题的能力,更好地培养学生的数字素养。

[1]一道课本例题的探究与应用 山西省孝义中学 张立政谈高中数学课本习题功能 田素欣《读写算教研版》15年第8期利用课本习题功能增强教学效果,江苏省张家港市梁丰中学 吴静