数学中的数形结合

方同文

摘 要 数与形是数学中的两个研究对象，在一定条件下能互化。数形结合，就是把数学中“语言文字表现的数量信息与呈现方式”和“几何图形与图像、实物等形象材料呈现数学信息”有机结合解决数学问题。数形结合是数学解题中常用的方法，使某些抽象的数学问题更直观化、生动化、形象化，有助于把握数学问题的本质，使很多问题便迎刃而解且解法简捷；同时，也激发学生对数学的学习兴趣。

关键词 数学概念；数形结合；学习兴趣

中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）02-0086-01

一、数学概念

在数学概念中的数形结合，就是借助于直观形象模型去理解抽象的数学语言或数量关系，即用有形的数学教具、数学模型和数学概念、定义、规律等数学知识有机结合，帮助学生感知、生成、深化概念。

1.图形演示，理解概念

图形演示是理解概念的最常用的方法，借助丰富的感性材料联系具体形象的模型演示出数学概念最抽象的最本质的属性，从而丰富了学生的感性认知，更为理解数学概念。

如“求一个数的几倍是多少”，学生最不易理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有个深刻的印象，用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。可以利用多媒体技术在第一行排出3根一组的红色小木棒，再在第二行排出3根一组的蓝色的小木棒，第二行一共排4组蓝色小木棒。

结合演示，让学生观察比较两行小木棒的数量特征，再启发学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：红色小木棒是1个3根，蓝色小木棒是4个3根；把一个3根当作一份，则红色小木棒是1份，而蓝色小木棒就有4份。用数学语言：把红色小木棒当作1倍，蓝色小木棒的根数就是红色小木棒的4倍。这样，从演示中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。

2.借形设问，形成过程

在概念教学中要借助学生熟知的能够触摸和直接感知的有形物体或图形，设置一些步步深入的诱导性问题，从感知到认识的思维过程，再引导学生通过观察、比较、分析、概括逐步形成新的概念。有助于加强学生理解与运用概念，同时激发学生的数学思维。如，教学“体积”概念。教师可以借助形象物体设问，引导学生分析比较。首先观察物体，初步感知。

让学生观察教室门和黑板并说出谁大谁小，再出示两个边长分别为2厘米和5厘米的正方形纸板用同样的方法，这样建立了学生对物体大小的初步感性认识。接着出示两个同样的玻璃杯都裝有半杯水A、B：在B杯中慢慢加入小石子，学生可以观察到，随着小石子投入的增多，杯中的水位不断上升。问：B杯的水位为什么会上升？再引导“为什么B杯的水位会随着放入的小石子增多而升高”这一问题进行深入讨论，通过讨论交流学生自然地领悟“物体所占空间的大小叫体积”这一概念。为了进一步使概念在应用中得到巩固，继续B杯中放石子，学生观察到水溢了出来，启发学生从观察到的现象中发现了什么问题？学生思考后提出：杯里溢出的水的多少与放进去的石子有什么关系？经过讨论得出：从杯里溢出水的体积等于石子的体积。至此，学生不仅认识了概念，而且能够应用概念。

二、数量信息

数量信息是数学问题中常见的呈现方式，用数形结合把复杂问题简单化、抽象问题具体化，挖掘数学问题的本质。使问题化难为易，化繁为简。既可以引进新知、建构概念，还可激发学生的学习兴趣，有利于发展学生的想象力和提高思维力。

1.“以形助数”借助图形的直观性来阐明数间关系

借助图形的直观性将抽象的数学概念、运算等形象化、简单化，挖掘数学的本质。根据题意画直观图分析和找出数量关系，以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。”

如：A、B两车从甲、乙两地相对开出在某个地方相遇。A车行了5小时，每小时54千米；B车行了7小时，每小时48千米。甲、乙两地相距多少千米？

画图观察分析，明确数量关系：

路程A=速度A×时间A；路程B=速度B×时间B；总路程=路程A+路程B

54×5+48×7

=270+336

=606（千米）

或：54×5=270（千米） 48×7=336（千米）

270+336=606（千米）

答：甲、乙两地相距606千米。

2.“以数解形”借助数的精确性来阐明形的某些属性

通过数的运算和变式，求出相应的结果，增强了学生的学习兴趣，扩展了学生的思维，让学生明白学习数学的价值。如求一元一次方程ax+b=0的解的时候可以进行拓展方法。通常是采用转化数学思想，利用等式基本性质求解。我觉得也可以用数形结合的方法，把求方程的解转化为找函数y=ax+b与x轴相交时（即y=0）的交点坐标的横坐标。以“求2x+4=0的解”来说明。

解：用数形结合的方法，把方程转化成函数y=2x+4再作函数图像。通过学生共同参与列表、描点、连线，由函数图像得知y=2x+4与x轴的交点（-2，0），所以方程2x+4=0的解x=-2。

总之，数形结合是理论与实际的联系，是思维的起点，是学生构建数学模式的基本方法。数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”因此，要巧妙地运用数形结合。

参考文献：

[1]数学概念的学与教.人民教育出版社.