关于Fermat型函数方程的亚纯解

段江梅

（昭通学院数学与统计学院，云南昭通 657000）

1 引言及主要结果

1637年法国数学家费马提出了如下猜想：当n≥3时，丢番图方程xn+yn=zn没有非平凡的整数解。1994年这个猜想被英国数学家A.Wiles完全证明。要寻找方程xn+yn=zn在整数环上的非平凡解，可以转化为求代数曲线xn+yn=1上的有理点。

然而早在1965年，当n≥2时，关于Fermat型函数方程

在整函数环，或是亚纯函数域上的非平凡解的状况已经完全清楚了。

类似地，研究丢番图方程xn+yn+zn=tn整数解的存在性问题可以转化为研究方程xn+yn+zn=1的有理数解的存在性问题。然而，当n≥6时，方程xn+yn+zn=tn整数解的状况不是十分清楚。

相应地，不妨先考虑当n≥2时，Fermat型函数方程

在整函数环，或是亚纯函数域上的非平凡解。对于该问题的研究已有如下结论：

1985年 W.K.Hayman〔1〕证明了：当n≥9时，方程（1）不存在非常数亚纯解；当n≥7时，方程（1）不存在非常数整函数解。

此外，当 2≤n≤5时，G.G.Gundersen等〔2-4〕找到了满足方程（1）的非常数整函数解；当n=6时，G.G.Gundersen〔5〕构造了满足方程（1）的非常数亚纯解。

近期，苏敏等〔6〕证明了：当n=6时，方程（1）不存在级小于1的非常数整函数解；当n=8时，方程（1）不存在级小于1的非常数亚纯函数解。

本文对n=7时函数方程（1）亚纯解的存在性问题进行了探究，得到以下结论：

定理1 设f(z)，g(z)及h(z)均为非常数亚纯函数，它们满足：

（i）f7(z)+g7(z)+h7(z)=1；

（ii）f(z),g(z),h(z)无公共单重极点，则τ(z)是整函数，其中

定理2 函数方程

无满足如下条件的非常数亚纯解：

（i）f(z),g(z),h(z)至多有一个公共单重极点；

2 几个引理

在定理的证明之前，先介绍本文中常用的几个引理。

引理1 若(j=1,2,…,k)为区域D内k个亚纯函数，且的Wronskian行列式〔7〕线性无关，那么φ1,…,φk

引理2 若f(z)是C上的亚纯函数，那么对∀k∈N，f(k)(z)与f(z)的级相同〔8〕。

引理3 若是非常数亚纯函数，且，那么〔9〕

特别地，若非常数亚纯函数g(z)的级ρg＜1，则有

3 定理的证明

3.1 定理1的证明 由于f(z),g(z),h(z)为方程f7(z)+g7(z)+h7(z)=1的非常数亚纯解，则f7(z),g7(z),h7(z)一定线性无关，从而W(f7(z),g7(z),h7(z))≢0。

由（2）可得方程组

则

从而τ(z)≢0。

由克莱姆法则得

于是

同理可得：

我们断言：当f(z),g(z)及h(z)无公共单重极点时，τ(z)为整函数。

事实上，若τ(z)有极点，只可能在f(z)或g(z)或h(z)的极点处产生。用p,q,t分别表示f(z),g(z),h(z)以z0为极点的重数。由方程（2）知，若z0是f(z),g(z),h(z)中任意一者的极点且重数为max{p,q,t}，那么z0至少也为其余两个（亚纯函数）中一者的极点，且重数也为max{p,q,t}，由f(z),g(z),h(z)的对称性，不妨设 max{p,q,t}=p=q，则p=q≥t。在z0的某去心邻域内，设

其中为解析部分。

下面分3种情况讨论：

1）若p=q=t≥2，则

注意到p≥2，所以τ(z)在z0处解析。

2）若p=q＞t≥1（当t=1时，p≥2），则

注意到p＞t≥1（当t=1时，p≥2），因此τ(z)在z0处解析。

3）若p=q＞t=0 ，显然τ(z)在z0处解析。

因此，断言成立。

3.2 定理2的证明 假设方程（2）存在满足条件的亚纯解f(z),g(z),h(z)，

令

则由定理1的证明过程知：

且

下面分两种情形证明：

情形1 当f(z),g(z)及h(z)没有公共单重极点时，由定理1知：τ为整函数。

又由引理2和方程（2）知

故由引理3得

又因为τ是整函数，故τ=0，与（3）式矛盾。

情形2 当f(z),g(z)及h(z)的公共单级极点有且仅有一个，设为z0，在z0的某去心邻域内，设

令F(z)=f((z-z0)2+z0),G(z)=g((z-z0)2+z0),H(z)=h((z-z0)2+z0)，则z0为F(z),G(z),H(z)的公共二重极点，且F7(z)+G7(z)+H7(z)=1。

令

则τ～≡ 0，且τ～在z0处解析。

又由于ρF=2ρf＜1，故由引理3知，τ～=0 ，矛盾。

综上，结论得证。

〔1〕HAYMAN W K. Warings Problem für analytische Funktionen〔J〕. Bayerische Akademie der Wissenschaften Ma-thematisch-Naturwissenschaftliche Klasse，1985，1984：1-13.

〔2〕MOLLUZZO J.Monotonicity of Quadrature Formulas and Polynomial Representation〔J〕.Doctoral Thesis，1972.

〔3〕GREEN M.Some Picard Theorems for Holomorphic Maps to Algebraic Varieties〔J〕.American Journal of Mathematics，1975，97（1）：43-75.

〔4〕GUNDERSEN G G，KAUYA T.Entire and Meromorphic Solutions off5（z）+g5（z）+h5（z）=1〔J〕.In Symposium on Complex Differential and Functional Equations，2004（1）：57-67.

〔5〕GUNDERSEN G G.Meromorphic Solutions off6（z）+g6（z）+h6（z）=1〔J〕.Analysis，1998（18）：285-290.

〔6〕苏敏，李玉华.关于函数方程非平凡亚纯解的研究〔J〕.云南师范大学学报（自然科学版），2009，29（2）：41-44.

〔7〕顾永兴，庞学诚，方明亮.正规族理论及其应用〔M〕.北京：科学出版社，2007.

〔8〕杨乐.值分布理论及其新研究〔M〕.北京：科学出版社，1982.

〔9〕LI Y H.Uniqueness theorems for meromorphic functions of order less than one〔J〕.Northeast Math J，2000，16（4）：411-416.