“面积的意义”前概念调查研究

□ 周君斌

在学习新的数学概念之前，学生的头脑中并非一片空白。通过日常生活的各种渠道和自身的实践，学生对许多数学概念已经形成了初步的认识和观念，建构了大量朴素的“前概念”。也就是说，学生数学概念的学习，总是建立在“前概念”的基础之上。由此，在设计“面积的意义”教学活动前，为了更全面、准确地了解学生的“前概念”，笔者采用问卷调查的方式，对班级47名学生进行了“前概念”调查研究，以便设计出更加合理、更加有效的教学流程，从而提高课堂教学的有效性。

一、调查内容及结果

调查题1：你听说过“面积”吗？你能用自己的话来说一说什么叫面积吗？

调查意图：

考查学生对“面积”一词的知晓率和认知程度。

调查结果：

调查数据显示，在对“面积”一词的知晓度上，有21.3%的学生从不同场合听说过。从他们的表述来看，基本上是用“占地”“一样东西的范围”“地方的大小”等生活化的语言来描述面积的概念。此外，还有学生知道“平方米是一个面积单位”。总体来看，一部分学生在日常生活中对“面积”已经有了初步的感知，但缺乏深入观察和思考。

调查题2：下面六个图形中，哪些图形可以看出它的大小，哪些图形没有大小？先在你认为有大小的图形下面的（）里面打“√”，然后从中选一个图形，用你喜欢的方式表示出该图形的大小。

调查意图：

教材都是用“物体表面或封闭图形的大小”来定义“面积”。在这个定义中，首先要抓住面积的度量对象：物体表面或封闭图形，然后是“大小”。那么，学生在学习面积之前，他的直觉或者说他原有的知识积累，能否对“怎么样的图形才有大小”做出正确的判断？并且，在他们的心目中，图形的大小指的是哪里呢？带着这样的疑问，笔者设计了这道调查题，意在考查学生对“面积”概念的内涵和外延的原始认知。

调查结果：

首先，在判断图形有无大小上，只有15人做出了正确的选择，占样本总人数的31.9%。而在错误选择上，主要是“叶片实物图”和“曲边不规则图形”。需要注意的是，只有2人选择了角，说明在先前的“周长”概念学习里，学生已经对“封闭图形”有了较为丰厚的经验。故而，课堂上不需要做太多的解释。

其次，在表示图形的大小上，21.3%的学生表示正确。这部分学生是用涂一涂或画一画的方式表示出大小。而在错误表示中，多数学生是用粗线描出图形的一周，认为图形的大小指的就是图形的一周。需要注意的是，笔者通过访谈发现，部分学生虽然描画了图形的外缘边线，但他们心里想着的是“边线里边的一整片”。在他们看来，“我把外围边线描画一遍，也就是把边线里面的整片区域包围进来了”。不仅如此，相对于内部区域的白色，外缘边线的黑色也在视觉上给学生带来了强烈的刺激。

调查题3：如下图所示，将正方形甲割成两片，然后再拼成乙图。请问甲、乙两图，哪一个比较大？（）

A.甲图比较大 B.乙图比较大

C.甲图和乙图一样大 D.无法比较

调查意图：

面积是一个几何量。在皮亚杰看来，“守恒是获得数和量概念的重要条件，儿童没有守恒概念就不能真正认识数和量。”介于此，为了考查学生是否具有守恒概念，笔者安排了这道调查题。

调查结果：

调查数据显示，有70.2%的学生不受形状变化的影响，做出正确判断。而有27.7%的学生受知觉变化的影响，认为“当形状改变时，图形的大小也改变了”。

调查题4：小明用同样长的两根铁丝围成了甲、乙两个图形，那么（ ）。

A.甲比乙大 B.乙比甲大

C.一样大 D.无法比较

调查意图：

一个封闭图形，不仅有面积，还有周长。面积与周长是同时存在于一个封闭图形的两个几何量。经验告诉我们，教完面积之后，经常有学生混淆图形的周长与面积。那在没有学习面积之前，学生是否也会出现这样的问题？带着这样的思考，笔者设计了这道调查题，意在考查学生对图形大小与周长关系的原始认知。

调查结果：

按照预想，这两个图形的形状差距较大，学生利用已有的生活经验，应当能轻易得出图形甲比图形乙大的结论。但结果表明：有80.9%的学生认为图形甲和图形乙一样大。究其原因，这部分学生是从周长的角度去思考图形的大小，认为周长相等即大小相等。实际上说明学生受先前“周长”概念学习的负迁移，会更加关注图形的外缘边线，而不是所围平面区域的大小。

调查题5：在方格纸上数一数，然后填写在横线上。（不满一格的都按半格计算）

调查意图：

方格纸是比较或度量图形面积的重要工具。这道题让学生用格子个数来刻画图形的面积，考查学生能否在方格纸上正确数出一个图形所占的单位个数，是否具有基本测量单位的观念。

调查结果：

从统计结果来看，有36人能在方格纸上正确数出每个图形所占的格子数，占样本总数的76.6%。对于不完整的方格，学生想到可以从图中切出一个三角形并将它拼补到另一个三角形，从而得到基本测量单位。可见，多数学生不仅具有面积守恒的观念，而且能运用正方形作为基本测量单位来进行度量。而在错误答案中，有12.3%的学生认为甲图占3个方格，丙图占6个方格；另有2人认为丙图占8个方格。不难看出，这部分学生只计数了图形里的完整方格，没有认识到三角形与正方形所表示的基本测量单位之间的联系。对他们来说，还没有基本测量单位的观念。

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调查题6：两个长方形，都被信封遮住了一部分。猜一猜哪个长方形大，写一写你的想法。

调查意图：

面积是对“面”的度量。因此，学习面积，肯定要研究面的大小。而研究面的大小，学生就要经历比较两个或多个面的大小。需要追问的是，学生是采用什么策略来判断两个图形的大小呢？由此想到设计这样一道调查题，意在考查学生在图形大小判断上所采用的认知策略。

调查结果：

调查显示，有17人只给出了猜想，没有陈述理由。而在给出理由的学生中，将近20%的学生是用部分代替了整体。他们之所以认为②号比①号大，是因为②号长方形露出来的部分要比①号的大；其次，30%左右的学生是以两个长方形的某一个维度作为判断图形大小的标准。其中，有8人是从宽的角度去考虑大小，认为②号长方形的宽比①号的宽一些，所以②号比①号大；有7人是从长的角度去考虑大小，猜想①号长方形的长会比②号长，所以①号比②号大。此外，还有5人是从长方形的两个维度综合考虑，具有辩证意识。

二、教学建议与思考

（一）直面学生认知现实，在举例与对话中，修正原有认知经验

从前测调查中可以看到，有学生早已从买房、搬家等渠道了解面积、面积单位等词汇。不仅如此，对于小学三年级的学生而言，已经在前期的生活和学习中积累了“大小”的观念，无论是在区分哪些图形有大小上，还是在用自己的方式表示某一图形的大小上，都为本节课的学习提供了鲜活的学习素材和学习资源，关键在于我们如何呈现并处理学生的错误资源（或错误的理解）。笔者想到，以学生认知现实为切入口，上课伊始，开门见山，直接揭题，通过“你们听说过面积吗？在哪儿听过？”“我们身边哪儿有面积？”等问题，激活学生已有的生活经验。在这个过程中，通过学生的举例和对话，既实现了对学生原有认知经验的提取和检验，也实现了学生对物体面积的认识。而在学生认识物体的面积后，让学生试着用自己喜欢的方式表示出一组图形的面积（见下图）。接着，通过“并联反馈”的方式（既呈现正确的做法，也呈现错误的做法），引导学生在讨论、辩论中对原有认知进行修正和重构，逐步实现面积概念的同化和学习方式的转变。

（二）在“线”与“面”的辨析中，区分面积与周长

从前测调查中不难发现，在相当一部分学生的心目中，“线的长短”即“面的大小”。对于他们来说，“线”与“面”混为一谈。鉴于此，在建立“面积”概念时，教师就要强化“面积”的本质，注意面积与周长的概念区分。如当有学生举例介绍数学书封面的面积时，可以让学生置身于“指周长”与“摸面积”的辨析活动，使学生结合具体材料初步感知“面积在物体内部，周长在外围边线”。此外，在用自己的方式表示图形的面积时，再次安排辨析，通过对不同作品的比较和讨论，凸显面积是对“面”的度量的核心本质。概念建立的过程是比较、辨析伴随的过程。为了强化两者的区分，教师可以适时呈现一道概念辨析练习。例如，有一个长方形花坛，现在要在花坛的四周围上栅栏，还要在花坛内铺上草坪（见右图）。想想看，哪个情形需要考虑花坛的面积？面积和周长有什么区别？

①在花坛的四周围上栅栏②给花坛铺上草坪

（三）在“一维”与“二维”的感悟中，发展空间观念

学生在判断两个图形的大小时，多数是以图形的某一维度（长或者宽）作为判断标准。那么，怎样引导学生的思维从沿着一个方向延展走向沿着两个方向延展呢？笔者想到，在练习中可以设计一个猜一猜的游戏环节。先让学生根据“每行摆了几个，摆了几行”的直观图示猜想长方形的面积，再让学生根据“长和宽”猜想长方形的面积，接着让学生思考“只看到一条边，能不能想象这个长方形的面积”，使学生直观而又深刻地感悟到：要想象一个长方形的面积，至少要知道长与宽两个元素。显然，这样的应用拓展，不仅有助于加深学生对面积概念的理解，而且也为接下来长方形面积计算的学习进行了有机的渗透。

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[1]刘加霞,易玫.运用定义辨析,生成对“面积”的理解:“面积”课例研究[J].小学数学，2012（6）.

[2]张颖颖.概念，在“线”与“面”的行进中明晰[J].小学教学参考，2016（6）.