双曲线解题十二招式理论与实践

摘 要：笔者结合教学经验，总结了双曲线解题十二招式，指导学生在解题时应用所学招式破解双曲线常见题型，提高学习趣味性，增强学习针对性，提高学生学习成绩。

关键词：双曲线解题招式；破解双曲线问题；增强学习针对性

作者简介：薛超群，福建省宁德市高级中学校长、党总支书记，中学高级教师。（福建 宁德 352101）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）07-0083-02

《普通高中数学课程标准》的具体目标提出：“提高数学地提出、分析和解決问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。”教学是一种创造性活动，要求教师不能墨守成规，要勇于创新、积累、总结、提高。数学解题招式理论，即对特定的数学问题形成特定的解题模式；解题招式实践，即应用解题招式理论解决实际问题。在双曲线教学中，笔者在实践中总结出了双曲线解题十二招式，现简介如下：

招式一：“建设现代化”。求轨迹方程步骤：建——建立直角坐标系；设——设点坐标；现（限）——限制条件；代——代入计算；化——化简。

招式二：“双曲线c最大”。c是a、b、c中最大的，c2=a2+b2，字母c形状如双曲线右支。

招式三：“谁正听谁的”。给定双曲线标准方程，判断是x型还是y型，看系数正的，再看分子是x还是y。

招式四：“实轴你真实啊”。双曲线中，不论是x型还是y型，双曲线图像和实轴相交。

招式五：“通径：上下通气不咳嗽”。通径音似通气，电影《红高粱》主题歌歌词“上下通气不咳嗽”，即x型双曲线通径垂直于x轴。

招式六：“a、b、c总动员”。飞机也来了：“a、b、c总动员”，类同“玩具总动员”，数字2形状似同飞机，即x型双曲线通径上端点P坐标（c， ）。

招式七：“点P在双曲线上，满足定义”。点P在双曲线上，满足定义|PF1|-|PF2|=2a.

招式八：“点P在双曲线上，坐标满足方程”。点P（x0，y0）在双曲线上，满足方程 - =1.

招式九：“点P在双曲线上，地毯式轰炸”。焦点三角形面积公式S=b2·cot ，其中字母b为炸弹英文首字母，数字2形状似同飞机。

招式十：“点P在双曲线上，直角坐标转化为参数式”。即x0= ，y0=b·tan？兹.

招式十一：“商标d=b”。在双曲线中，焦点到渐近线的距离等于半虚轴的长，即d=b，如同商标图案。

招式十二：“鸟儿问答”。与已知双曲线 - =1有公共渐近线的双曲线方程为 - =？姿，（其中？姿≠0），字母？姿形如鸟儿。

应用以上双曲线解题十二个招式，可以破解双曲线常见题型，提高学生分析和解决数学问题的能力。

例1. 推导双曲线标准方程。

分析：要求双曲线标准方程，用招式一“建设现代化”。建——建立直角坐标系；设——设点P（x，y）；现（限）——限制条件c>a；代——代入 - = ±2a；化——化简，得 - =1（a>0、b>0）.

例2. 双曲线方程：- + =1，判断是x型还是y型。

分析：要判断是x型还是y型，用招式三“谁正听谁的”即得，一看系数正的，是4，二看分子是y，得知是y型。

例3. F1、F2为双曲线 - =1左、右焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2 =90°，求焦点三角形△PF1F2面积S.

分析：F1、F2为双曲线 - =1左右焦点，点P在双曲线上∠F1PF2 =90°，要求焦点三角形△PF1F2面积S，用招式九“点在双曲线上，地毯式轰炸”，代入焦点三角形面积公式，即得S=b2·cot =5·cot45°=5.

例4. 已知科考队员在相距6百米的海面上观测某种海鱼活动轨迹，队员甲比队员乙迟4秒接收到海鱼发出的声音，假设海鱼声音在海平面传播速度为每秒1百米，求海鱼活动轨迹方程。

分析：要求海鱼活动轨迹方程，用招式一“建设现（限）代化”，以甲乙队员所在直线为x轴，甲乙连线的中垂线为y轴建立直角坐标系，设海鱼为点P，依题意点P的轨迹为双曲线的右支，2a=4，得a=2，而c=3，用招式二“双曲线c最大”，c2=a2+b2，得b2=5，所求轨迹方程为 - =1（x>0）.

例5. 已知双曲线方程为 -y2=1，求焦点到渐近线的距离。

分析：要求焦点到渐近线的距离，用招式十一“商标”，在双曲线中，焦点到渐近线的距离等于半虚轴的长，即d=b=1。

例6. 已知双曲线 -y2=1，求与已知双曲线有公共渐近线的双曲线方程：（1）过点（3，1）；（2）焦距为10.

分析：已知双曲线 -y2=1，要求与已知双曲线有公共渐近线的双曲线方程，用招式招式十二“鸟儿问答”，即可设所求方程为 -y2=？姿.（其中？姿≠0）

（1）因为所求双曲线过点（3，1），用招式七“点在双曲线上，满足定义”，得？姿=2，所以，即得 -y2=2，即得 - =1.

（2）因为所求双曲线焦距为10，得c=5。当？姿>0时，双曲线为x型， - =1，a2=3？姿、b2=？姿、c2=a2+b2=4？姿=25，得？姿= ，所求双曲线方程为 - =1；

当？姿<0时，双曲线为y型，- + =1，a2=-？姿，b2=-3？姿，c2=a2+b2=-4？姿=25，得？姿=- ，所求双曲线方程为- + =1.

总之，在双曲线解题教学中，教师指导学生巧用所学招式、开展解题训练，能有效破解双曲线常见题型，增强训练学习的针对性，在灵活形象的招式变化练习中逐步提高学生的数学解题能力，增添双曲线课堂教学的趣味性，促进数学学习能力和素质的发展。

参考文献：

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责任编辑 黄 晶