基于位移等值面的边坡点安全系数分析

杨 涛，孙立娟，成启航，吴丁丁

(西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031)

边坡稳定分析是土力学经典问题，用于边坡稳定性评价的方法较多，例如，在工程中广泛应用的刚体极限平衡法[1-2]和基于数值分析的强度折减法[3-4]。边坡工程逐渐向边界条件复杂化、设计计算精细化发展，即，不仅需计算边坡的整体稳定性，还要分析坡体各部位的局部稳定性。此外，边坡的破坏是一个渐进发展过程[5-7]，刚体极限平衡法难以直观定量分析边坡的失稳机理。因此，需要从坡体中一点的破坏开始，模拟边坡的应力演变和变形发展过程，提出更合理的稳定性计算指标，以指导边坡各个变形阶段的稳定性评价，据此进行针对性防护，采用适当的支挡结构措施。

文献[8]采用岩体应力与强度的比值定义边坡点安全系数，以此评价边坡的局部稳定性。文献[9]考虑岩土体的剪切破坏，在点安全系数定义中引入Mohr-Coulomb强度准则，定义边坡点安全系数为抗剪强度与剪应力的比值。

( 1 )

式中：c、φ为截面的黏聚力和内摩擦角；σn、τ为截面上的正应力(以受拉为正)和剪应力。

在边坡体从弹性状态发展为塑性状态的过程中，这一定义是合理的，因此其在边坡工程中得到一定的应用[10-11]。边坡体在形成贯通破裂面的过程中，破裂面的发展方向受到周围土体的限制，需要适应整个边坡体的应力发展状态，而不是仅仅取决于一点的应力状态。也就是说，边坡宏观破裂面并不一定与塑性力学的最危险破裂面一致，因此传统的点安全系数定义方法在边坡工程应用中受到一定的限制。

本文分析边坡变形位移等值线与破坏面的一致性，据此提出一种新的边坡点安全系数定义方法，通过比较新方法与几种传统方法的计算结果，验证本文方法的合理性。

1 位移等值面与滑动面的位置一致性论证

采用刚体极限平衡法进行边坡稳定分析时，需要先设定边坡滑动面，在该滑动面上计算抗剪强度和剪应力，据此求得安全系数。

数值模拟难以直接求出边坡失稳破坏时的临界滑动面，仅可提供应力场、位移场等场变量。若假定连续贯通的潜在滑动面已在坡体内部形成，此时滑体和滑床仍为刚体，内部均未产生相对错位，滑体仅发生沿滑面的滑动。显然，坡体平动时相对位移仅发生在滑面处，位移等值线密集；滑体内部无位移梯度和位移等值线，各点合位移保持一致，如图1(a)所示。若滑面为圆弧，则滑体位移方式为转动，位移等值线为同心圆，滑面处产生密集的呈同心圆分布的位移等值线；此时，由于滑体为刚体，可以认为滑面位置与位移等值线一致，如图1(b)所示。

对实际边坡体而言，一旦坡体发生塑性变形，整个边坡的应力状态就会处于动态调整中。由于局部区域应力释放、应力转移等的影响，边坡体会重新调整到新的应力平衡状态，滑面就是在此过程中逐渐形成的。在新的应力调整过程中，局部塑性变形导致坡体内部出现碎裂和相对滑动，由平面滑动和圆弧转动组合形成局部破裂面。随着局部破裂面的继续发展，坡体变形加剧，形成了局部滑动面。滑动面上部和下部具有位移差，滑动面处也是位移等值面。

(a)平面滑动面

(b)圆弧滑动面图1 滑面与位移等值面关系

因此，本文假定边坡体发生塑性屈服时，局部破裂面逐渐发展成为局部滑动面，在滑动面处形成位移差。即坡体在失稳变形过程中产生的滑裂面与该处的合位移等值线(面)具有位置一致性。

2 边坡点安全系数的定义

数值计算中，若坡体中一点发生塑性破坏，仅表明该点最危险截面上的压应力和与压应力所在平面垂直的最大剪应力间服从屈服准则，不能说明垂直滑动面的正应力和滑动方向的剪应力同时满足屈服准则。坡体中的每个单元在发生受力变形的过程中，均受到相邻单元的约束作用，其应力应变需要满足变形协调条件。也就是说，坡体内部完全塑性屈服并不代表边坡发生整体失稳(整体安全系数不大于1)，但一定会发生局部破坏。边坡发生整体失稳的充要条件是全部单元垂直滑面的正应力和滑动方向的剪应力服从屈服准则。这一原理同样可用来解释坡体内部已出现从坡脚至坡顶的贯通塑性区，数值计算结果仍然可以收敛的现象。

基于位移等值面滑动方向定义的点安全系数要点如下[12]：

(1)建立分析模型，滑坡体由滑带、滑体和滑床三部分组成，采用八节点六面体薄层单元对滑带进行离散。

(2)利用FLAC3D计算程序，按照如下步骤计算坡体实际应力状态和位移增量。①采用弹性本构模型，计算坡体初始应力场；②采用符合实际岩土体性质的本构模型，计算坡体塑性变形阶段的实际应力场；③分析以上两步计算结果，求出滑带单元实际位移增量。

(3)计算位移等值面的法向量n，各坐标分量为nx、ny、nz。通过线性插值理论，求得坡体内各计算节点的等值点，利用这些等值点的空间分布特征和拓扑关系，搜索组成等值面控制网格的各等值点排列规则，根据上述信息选用Bezier双三次曲面进行拟合。已拟合等值面的梯度即为各法向量分量。

Bezier曲面的参数表达式为

u，w∈[0，1]

( 2 )

式中：u、w为参数；Pij为控制点；Bi，3(u)、Bj，3(w)为Bernstein基数函数。

( 3 )

等值面的法向量即为该点的梯度。

( 4 )

因此，等值面法向量各分量可表示为

( 5 )

(4)求出位移等值面的滑动方向。设节点位移矢量为u，各坐标分量为ux、uy、uz，位移等值面为S，其投影面为以向量n为法向量的平面S′，节点位移矢量在位移等值面上的投影向量即为该点的滑动方向，其可等效为节点位移矢量u在投影面S′上的投影计算结果。

点(ux，uy，uz)在平面S′外，有参数

( 6 )

点(ux，uy，uz)在平面S′上的投影坐标为

( 7 )

(5)按照弹性力学理论[13]，计算滑动面上的正应力σn和剪应力τ

( 8 )

式中：pnx、pny、pnz为斜截面上的正应力分量。

(6)计算各单元节点的点安全系数Fe，定义为该点抗剪强度与滑动方向上剪应力的比值。

( 9 )

边坡某一合位移等值面上的整体安全系数为

(10)

3 ACADS边坡考题验证

式(10)是在三维位移等值面及空间应力分析基础上推导得出的，因此可以在边坡三维分析中直接应用。为证明本文方法的正确性，本章基于二维边坡实例进行验证。

澳大利亚计算机协会1987年委托Donald和Giam设计的ACADS边坡稳定分析程序考题(图2)被广泛用于验证各种稳定性计算程序的正确性，本文亦采用该模型进行点安全系数的对比计算。按照表1所列参数，将c和tanφ放大后取为计算参数，网格模型如图3(a)所示，采用FLAC3D程序计算得到塑性区和坡体位移场(减去自重沉降位移后)如图3所示。由图3可知，坡体位移等值线凹向临空面，自坡脚贯穿至坡顶，与经验认识的边坡体破坏面形状相同。

图2 ACADS边坡考题模型

参数c/kPaφ/(°)γ/(kN·m-3)E/kPaμ原取值3.0019.6020.001.00×1040.25放大值(1.02倍)3.06119.968 720.001.00×1040.25

(a)塑性区(放大1.02倍)

(b)最终位移云图(单位：mm)图3 数值计算结果 注：(b)中左列数字为位移等级，右列数字为位移值。

图4为边坡体的点安全系数场，根据文献[9]按照式( 1 )计算得到的点安全系数分布如图4(a)所示。文献[9]的点安全系数计算方法基于弹塑性理论，单元的塑性屈服函数决定了点安全系数的大小，对比图3(a)和图4(a)可知，点安全系数为1.0左右的区域对应塑性区。结合图3(b)位移图分析，1～100 mm间的位移等值线从坡脚贯通至坡顶，为边坡潜在滑动面所在的区域，这一区域内的点安全系数分布对于边坡整体安全系数计算和判断滑动机理有意义。因此，将图4(a)中位移大于1 mm的区域绘入图4(b)中。观察图4(b)可知，仅根据图4(b)确定滑动面的具体位置、判断滑动机理以及确定边坡体的整体稳定性，均存在一定困难。

(a)按式( 1 )计算的点安全系数分布场

(b)点安全系数分布(位移大于1 mm区域)

(c)本文方法图4 点安全系数计算结果

图4(c)为按本文方法计算的点安全系数在潜在滑动区域的分布。图4(c)表明，点安全系数在该区域内不完全相同，至下而上呈现出高-低-高-低的分布规律，体现了坡体形态和材料参数对点安全系数分布规律的影响，可据此进行滑动机理分析。

表2列出了潜在滑动区域内特征位移等值面上整体安全系数计算结果。为比较方便，同时列出了文献[9]方法和本文方法的计算结果。分析表2可知，文献[9]方法计算的各等值面上整体安全系数基本一致，最小值1.001 4，最大值1.031 8，难以判断滑面的具体位置。本文方法计算的整体安全系数差别较大，最小值为1.050 0，最大值为3.580 2，60 mm位移等值线上整体安全系数最小(1.050 0)，代表了边坡体的整体安全系数。该等值线上的点安全系数分布如图5所示，可据此进行滑动机理分析。

表2 位移等值线上整体安全系数

图5 60 mm等值线上点安全系数分布

ACADS边坡考题安全系数的裁判值为1.0，图6示出了不同刚体极限平衡方法的计算结果(原取值参数)。对比图6与图4(c)，刚体极限平衡法搜索的最危险滑面与本文方法基本一致。极限平衡法计算安全系数为0.940～1.013，简化Janbu法最小，相对误差为6%。本文以等值线上的最小整体安全系数为边坡安全系数，则安全系数为1.050(放大参数)，相对误差约为3%。考虑到数值计算收敛性与网格划分方法有关，而本例计算结果收敛，可以认为本文计算的整体安全系数是准确的。

图6 刚体极限平衡方法的计算结果

4 结论

(1)边坡的失稳破坏具有渐进性，刚体极限平衡法或强度折减法不能较好体现这一特点。数值计算的塑性区及位移场能反映渐进破坏的过程，但无法给出稳定性判断。本文提出一种边坡点安全系数计算方法，既能计算边坡的稳定性，也能判断其滑动机理。

(2)本文假定位移等值面即为边坡局部滑动面，定义边坡点安全系数为该点抗剪强度与滑动方向上剪应力的比值。

(3)选用Bezier双三次曲面对通过节点的位移等值面进行拟合，曲面上点的梯度即为曲面在该点的法向量，节点位移矢量在位移等值面上的投影为该点的滑动方向。由此计算破坏面上的正应力和剪应力，并计算点安全系数。

(4)通过ACADS边坡考题验证了本文方法的正确性，本文方法能够确定边坡潜在失稳滑动面，计算边坡整体安全系数，分析边坡滑动机理，为边坡工程的精细化设计提供指导。

参考文献：

[1]CHEN W F.Limit Analysis and Soil Plasticity[M].New York:American Elsevier Scientific Publishing,1974.

[2]栾茂田,金崇磐,林皋.土体稳定分析极限平衡法改进及其应用[J].岩土工程学报,1992,14(S1):20-29.

LUAN Maotian,JIN Chongpan,LIN Gao.Improved Limit Equilibrium Method and Its Applications to Stability Analy-sis of Soil Masses[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,1992,14(S1):20-29.

[3]宋二祥.土工结构安全系数的有限元计算[J].岩土工程学报,1997,19(2):1-7.

SONG Erxiang.Finte Element Analysis of Safety Factor for Soil Structures[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,1997,19(2):1-7.

[4]郑颖人,赵尚毅.有限元强度折减法在土坡与岩坡中的应用[J].岩石力学与工程学报,2004,23(19):3381-3388.

ZHENG Yingren,ZHAO Shangyi.Application of Strength Reduction FEM in Soil and Rock Slope[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2004,23(19):3381-3388.

[5]王庚荪.边坡的渐进破坏及稳定性分析[J].岩石力学与工程学报,2000,19(1):29-33.

WANG Gengsun.The Progressive Failure of Slope and the Stability Analysis[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2000,19(1):29-33.

[6]凌道盛,涂福彬,卜令方.基于黏聚区域模型的边坡渐进破坏过程强化有限元分析[J].岩土工程学报,2012,34(8):1387-1393.

LING Daosheng,TU Fubin,BU Lingfang.Enhanced Finite Element Analysis of Progressive Failure of Slopes Based on Cohesive Zone Model[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2012,34(8):1387-1393.

[7]余飞,陈善雄,余和平.顺层岩质边坡渐进破坏及失稳机理的数值模拟研究[J].岩土力学,2005,26(S):36-40.

YU Fei,CHEN Shanxiong,YU Heping.Numerical Simulation Study on Progressive Destruction and Failure Mechanism of Bedding Rock Slopes[J].Rock and Soil Mechanics,2005,26(S):36-40.

[8]王毓泰,周维垣.拱坝坝肩岩体稳定分析[M].贵阳:贵州人民出版社,1982:139-143.

[9]吴家冠,段亚辉.江坪河水电站溢洪洞围岩稳定性仿真分析[J].岩土力学,2009,30(8):2431-2435.

WU Jiaguan,DUAN Yahui.Simulation Analysis of Stability of Spillway Tunnels of Jiangping River Hydropower Station[J].Rock and Soil Mechanics,2009,30(8):2431-2435.

[10]樊赟赟,王思敬,王恩志,等.岩土材料剪切破坏点安全系数的研究[J].岩土力学,2009,30(S2):200-203.

FAN Yunyun,WANG Sijing,WANG Enzhi,et al.Research on Point Safety Factor of Shear Failure Geomate-rials[J].Rock and Soil Mechanics,2009,30(S2):200-203.

[11]周华,王国进,傅少君,等.小湾拱坝坝基开挖卸荷松弛效应的有限元分析[J].岩土力学,2009,30(4):1175-1180.

ZHOU Hua,WANG Guojin,FU Shaojun,et al.Finite Element Analysis of Foundation Unloading and Relaxation Effects of Xiaowan Arch Dam[J].Rock and Soil Mecha-nics,2009,30(4):1175-1180.

[12]杨涛,周德培,马惠民,等.滑坡稳定性分析的点安全系数法[J].岩土力学,2010,31(3):971-975.

YANG Tao,ZHOU Depei,MA Huimin,et al.Point Safety Factor Method for Stability Analysis of Landslide[J].Rock and Soil Mechanics,2010,31(3):971-975.

[13]徐芝纶.弹性力学[M].北京:高等教育出版社,1990:247-251.