城市轨道交通快慢车开行方案双层规划模型

孙元广，史海欧，王 莹，陈绍宽*

(1.广州地铁设计研究院有限公司，广州510010；2.北京交通大学城市交通复杂系统理论与技术教育部重点实验室，北京100044)

0 引言

城市轨道交通以大容量、快速、可靠的优势成为解决城市中心交通及通勤出行问题的重要方式.城市中心区轨道交通线路的客流吸引区功能布局完善、发展较为成熟，客流量处于较高水平，站间距较短，运营组织基本采用站站停方案；而服务远距离通勤的轨道交通线路较长，客流时空分布明显不均衡，站站停方案导致乘客旅行时间过长且易与客流状况的匹配程度不足.随着城郊出行“一小时通勤圈”成为众多大城市的发展目标，研究多交路下的快慢车开行方案对缩短乘客出行时间、促进运能与需求匹配、节约运营成本具有重要意义[1].

近年国内外学者开展了较多快慢车开行方案相关研究，例如Ulusoy[2]，赵欣苗[3]将乘客乘车方案分为快车直达、快车与慢车换乘、慢车直达、慢车与快车换乘4种情况，利用Logit模型进行客流分配，对快慢车开行方案展开研究.Lin[4]以列车在时间轴和空间轴上的停站选择作为决策变量，并考虑乘客在各列车分布情况，以运营成本最小化为目标函数进行模型构建.研究快慢车开行方案的既有成果在分析乘车方案的选择时多采用非平衡客流分配模型，此类模型流程清晰、计算简便，但与平衡分配模型相比无法较为精确地反映乘客分布的实际情况.此外，对多交路下快慢车开行方案的优化问题也有待深入研究.

本文通过建立乘客换乘网络及搜索有效路径方法，形成乘车方案备选集反映乘客的乘车选择行为；构建双层规划模型实现快慢车开行方案与客流分配结果的相互协调优化，以满足出行时间、客流时空分布、线路能力等约束下的出行乘客时间最小和列车周转时间最低.最后以广州地铁14号线为背景展开案例研究.

1 快慢车开行方案优化模型

站站停方案中列车在沿途各站均停车，旅行速度没有差异，乘客在出行时不需要对列车进行比选及中途换乘.快慢车方案中，同一线路有快车与慢车同时服务，乘客出行时存在多种乘车方案可选择；快车与慢车之间存在竞争关系，线路客流分布情况与站站停开行方案不同，线路能力计算更为复杂.为保证线路运输能力与乘客出行需求在时空上有效匹配，本文建立双层规划模型[5]，上层规划优化列车开行方案，下层规划确保客流在给定开行方案下的有效匹配，实现城市轨道交通多交路条件下快慢车开行方案优化的目标.

1.1 上层规划模型建立

设1条轨道交通线路上共存在n个车站，编号为1,2,…,n；用j指代沿线车站，那么j站至j+1站间区间对应编码为j.具体符号定义如下：

n——轨道交通线路车站数量；

W——交路方案总数；

C——列车额定载客量；

M——极大值，取100 000；

G,G1,G2——开行方案数量、快车开行方案数量及慢车开行方案数量上限值；

——交路wi下，上行快、慢车发车频率；

——交路wi下，下行快、慢车发车频率；

——交路wi下，上行快、慢车在j站是否停站的0,1变量；

——交路wi下，下行快、慢车在j站是否停站的0,1变量；

λij——交路wi是否包含区间j的0,1变量；

πij——交路wi是否包含车站j的0,1变量；

εi1,εi2——交路wi是否开行快、慢车的0,1变量；

——弧a是否属于由上行快、慢车方案构造的在车弧集合的0,1变量；

——弧a是否属于由下行快、慢车方案构造的在车弧集合的0,1变量；

Fmax——规划时间段内最大发车频率；

Fmin——规划时间段内最小发车频率；

tind——列车起动附加时分；

tina——列车停车附加时分；

ttb——列车折返时间；

——列车在区间j的运行时分；

——列车在车站j的停站时间；

ziq,zq——交路wi下和总快慢车开行比例是否为θq，是取1，否取0；

θiq,θq——快慢车开行比例，一般取整数比，如1∶1,1∶2….

本文模型的决策变量为列车交路、停站方案及开行频率.由于轨道交通线路的交路方案有限，因此交路备选集可视为已知条件.设备选交路方案集合为Ω，有wi∈Ω,i=1,…,W，wi为备选交路，对应有wi1，wi2分别代表交路终点站编号，为便于表示，假设wi1＜wi2,∀wi.y1i,j表示交路wi下上行方向开行快车的停站方案；yi2,j表示交路wi下上行方向开行慢车的停站方案，显然yi2,j=1.则有

式(1)和式(2)表示如果交路wi开行快车，则快车在各站(除终点站)均有可能不停车；式(3)表示如果wi开行慢车，则在交路内每站都停车；式(4)确保各站至少被1类列车服务.

线路最多包含开行方案种类数为

线路最多包含快车方案种类数为

线路最多包含慢车方案种类数为

若备选交路开行列车，则对应开行频率大于0.对快车和慢车方案分别有

规划时段内任意区间的通过能力约束可表示为

假设上下行开行方案一致，对于下行方案存在：

列车车底数由发车频率和列车周转时间获得，需满足

此外，根据下层模型客流分配结果对不同列车在各区间的载客量进行计算，获得各断面客流须低于各列车输送能力.

考虑线路采用快慢车开行方案旨在节省沿线站点间出行时间，结合下层规划模型，可获得乘客在指定车站r与s之间的出行时间约束为

快慢车开行方案通常将快慢车开行比例设为整数比，考虑交路内仅开行快车或慢车的情况，对于快慢车比例有

区间的快慢车开行比例也应保持整数比关系，类似有:

式(24)为决策变量取值范围.

优化目标可从乘客出行、企业运营及两者综合优化角度分别考虑，以乘客出行时间为优化目标时，目标函数为

以列车周转时间作为优化目标时，目标函数为

开行方案进行综合优化时，c1,c2表示两个子目标所占权重，此时目标函数为

1.2 下层规划模型建立

乘客出行时一般需要经过在始发站等待列车、在车运行、在车停站、换乘列车及到达目的车站5个过程，因而可将5个过程视为网络图中的弧，结合线路、交路及停站方案等信息，可计算各过程耗费的时间，对弧权进行赋值，由弧连接而成的路径即为乘车方案.由于线路条件、列车开行方案均能通过点、弧的连接及弧权体现在换乘网络中，因此应用该换乘网络能够研究多交路、多停站方案下的客流分配问题.如线路有A～E这5个车站，上层规划所得快慢车方案中快车停靠A、C、E共3站，慢车站站停车，构造出如图1所示的换乘网络后，通过客流分配模型即可计算乘客的空间分布.

图1 乘客换乘网络Fig.1 Passenger transfer network

乘客在出行过程中总是选择自身认知内的出行广义费用最小的路径，但实际情况中由于信息缺乏和熟悉程度的差异性，其对每条路径的广义费用判断存在差异，导致选择结果不同.路径的广义费用可视为一个随机变量，本文应用Logit模型[7]，建立确定快慢车开行方案下的随机用户均衡配流模型.

式中：r——起始车站；

s——终到车站；

qrs——在起点r至终点s出行的客流量；

xa——网络弧a上的客流量；

ta——弧a上的广义费用，由非拥挤状态下耗费时间求得；

——起点r至终点s的选择路径k出行的客流量；

——0,1变量；θ——非负参数.

2 模型求解算法

根据Ben-Ayad和Blair等的研究，双层规划是一个NP-Hard问题，不存在多项式求解算法.现有的双层规划模型求解方法一般包括解析法及启发式方法，解析法对模型形式要求较高，如要求模型为线性规划[8]、凸规划[9]、二次规划[10]等，缺少对一般非线性双层规划的算法研究.在实际应用中，求解双层规划的算法一般多采用启发式算法[11].

本文应用粒子群嵌套优化算法进行模型求解，算法主体为粒子群算法，相继平均法(MSA算法)嵌套在主体算法中用于求解给定上层决策变量(即快慢车开行方案)的下层规划问题(即客流分配问题)；下层规划问题获得客流分配结果后，又反馈至上层规划模型作为评估粒子群的参数，通过粒子群的优化及上下层规划的反复传递，最终获得最优的快慢车开行方案.具体算法基本步骤如图2所示.

3 案例研究

本文以广州市地铁14号线为案例研究对象，该线整体呈南北走向，主要服务广州市中心及以南的郊区[12].为带动沿线各组团开发建设，项目设计要求江浦站至2号线纪念堂站、3号线体育西路站的出行时间小于1 h；要求江浦站至嘉禾望岗站出行时间应小于35.8 min.考虑到该线线路长，沿线客流分布不均匀，站站停开行方案(如图3所示)难以满足设计要求，此外，运能利用也不够充分.本文应用所建模型开展该线路大小交路条件下快慢车开行方案优化研究.

图2 粒子群嵌套优化算法步骤Fig.2 Frame of nested PSO

图3 站站停开行方案Fig.3 All-stop train operation plan

3.1 快慢车方案与站站停方案对比

应用粒子群算法求解以优化乘客出行时间为目标的快慢车开行方案双层规划模型，所得快慢车开行方案与站站停方案相比，江浦至嘉禾望岗站的站间出行时间从43.3 min缩短至32.34 min，对应目标值为1.5744E+06.求解算法迭代收敛曲线如图4所示，优化后的开行方案如图5所示.将快慢车开行方案乘客总出行时间与站站停方案进行对比，站站停方案客流分配评估所得目标值为1.6614E+06.可知，快慢车开行方案乘客出行时间与站站停方案相比降低了5.24%.

与站站停方案相比，快慢车开行方案最明显的特点是列车的停站次数减少.对快车站出发的乘客而言，其出行过程中在车时间减少，出行时间降低；而另一方面，慢车站出发的乘客候车时间增加，出行时间也会有所上升.为进一步探讨快慢车方案对乘客出行时间的影响，对两方案的组团出行时间进行分析.将组团划分为市区组团(广州火车站—鹤南)、白云北组团(嘉禾望岗—黎家塘)、从化组团(太平—街口)、从化北组团(宣星运动谷—养生谷)及支线组团(知识城北—镇龙北).组团平均出行时间结果如表1所示.

由表1可知，快慢车开行方案与站站停方案相比在市区组团至从化组团、白云北组团及支线组团等远距离出行时间方面具有优势.以支线组团至市区组团为例，快慢车开行方案出行时间节约近16.79%，从化北及从化组团至市区组团的出行时间分别减少5.82%与4.29%.近距离出行方面，快车节省的站间运行时间少于等候列车增加的时间，例如，市区组团内部、市区组团至白云北组团间的出行时间与站站停方案相比分别增加19.77%和2.93%.

总体上，快慢车开行方案能够有效降低大部分组团间乘客的出行时间，但主要以远距离出行为主.主要原因是快慢车方案优化了列车停站方案，使远距离出行的乘客乘坐快车节约了大量站间出行时间.

图4 迭代收敛曲线Fig.4 Iteration of objective value

图5 以乘客出行时间为优化目标的快慢车开行方案Fig.5 Local/express train operation plan for passenger travelling time

表1 开行方案组团平均出行时间对比Table 1 Travelling time between groups of two train operation plans (min)

3.2 不同目标函数优化对比

本文进一步对乘客出行时间和列车周转时间两个优化目标下快慢车开行方案进行分析，各方案的优化结果如表2所示.乘客出行时间及列车周转时间在快慢车方案下均有不同程度的降低，其中以优化乘客出行时间为目标时，快慢车方案相比站站停方案节约5.24%的出行时间；而以优化列车周转时间为目标时，快慢车方案相比站站停方案节约20.37%的列车周转时间.

图6和图7分别是以列车周转时间为优化目标及综合优化获得的开行方案.

如图6和图7所示，以优化乘客出行时间为目标时，所得开行方案数量较少，主要因为开行方案数量少，乘客对应的等待时间也降低，求解会向该方向优化；而以优化列车周转时间为目标时，所得开行方案出现大小交路，主要是大小交路会缩短列车走行公里数，从而减少列车周转时间；进行综合优化时，是对上述两类优化方向的相结合，考虑了开行方案数量对乘客等待时间的影响，同时也减少了列车走行距离.

表2 不同目标函数下的优化结果Table 2 Targets of train operation plans for different objective functions

图6 以列车周转时间为优化目标的快慢车方案Fig.6 Local/express train operation plan for train turnaround time

图7 进行综合优化的快慢车方案Fig.7 Local/express train operation plan for integrated optimization

4 结论

本文建立了多交路条件下的快慢车开行方案双层规划模型，其中下层规划模型以构建换乘网络为基础，解决了给定开行方案下的客流分配问题；上层模型通过客流分配结果优化快慢车开行方案.设计粒子群算法求解所建优化模型，以广州地铁14号线为例开展案例研究.结果表明：与站站停方案相比，快慢车方案能有效缩短长距离出行时间、优化乘客出行选择.对比不同优化目标下的快慢车开行方案结果可知，以乘客出行时间为优化目标的模型向开行方案数量较少的方向优化，而以列车周转时间为优化目标的模型求解过程中则倾向于多交路方案.

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