函数思想在解题中的应用

摘 要：所谓函数思想，是要充分合理地运用函数的概念和性质来分析，转化和解决问题。在高中数学的学习中通常会遇到某些问题从表面来看并非函数问题，我们往往不直接对问题求解，而是通过一系列的数学变形，构造等将问题转化为函数形式，并用函数相关的知识来解决它，从而间接地求解问题。下面结合几个实例谈谈函数思想在不等式，解析几何，数列，方程中的应用。

关键词：函数思想；数学解题；应用

一、 函数在不等式中的应用

若所给的不等式可以通过变量分离使参数与主元分离于不等式的两边，从而构造新的函数，然后将求参数范围使得不等式恒成立的问题转化为求新函数的值域的问题。

例 已知x∈（-∞，1]时，不等式1+2x+（a-a2）4x>0恒成立，求a的取值范围

解：令2x=t，∵x∈（-∞，1]∴t∈（0，2]，∴原不等式轉化为a2-a

∵f（t）=t+1t2=1t2+1t=1t+122-14，∵1t∈[12，+∞），∴f（t）min=f（2）=34，∴a2-a<34∴-12

二、 函数在解析几何中的应用

在解析几何中，某些动点动直线在变化中，就引出了相互制约的量，这些量之间就可以构成函数关系，因此解析几何问题通常就转化为求函数问题。

例 已知点A（0，2）和抛物线y2=x+4上两点B、C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标取值范围。

设点B的坐标为（y21-4，y1）点C（y2-4，y），显然y21-4≠0，故KAB=y1-2y21-4=1y1+2，由于AB⊥BC，∴KBC=-（y1+2），从而y-y1=-（y1+2）[x-（y21-4）]①，y2=x+4②，

由①②，消去x，注意到y≠y1，得（2+y1）（y+y1）+1=0，即y21+（2+y）y1+（2y+1）=0

由δ≥0，解得y≤0或y≥4.则当y=0时，B的坐标为（-3，-1）；当y=4时，B的坐标为（5，-3），均满足题意。故点C的纵坐标取值范围为（-∞，0]，[4，+∞）

三、 函数思想在数列中的应用

数列的通项公式就是一个函数表达式，当求数列的最大值最小值需要分析数列的函数性质，找准单调区间，或画出图像观察最高点和最低点。在解决有些数列问题时，要找出题目与函数之间的关系，再运用函数的性质解题。

例 已知an=n-97n-98，则数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别是

A. a1，a30 B. a1，a9

C. a10，a9D. a10，a3o

解：将an=n-97n-98分离常数得an=1+98-97n-98可以构造反比例函数f（x）=1+98-97x-98，则该函数图像以点（1，98）为中心成中心对称，则可知a9最小，a10最大

四、 函数思想在方程中的应用

函数与方程关系密切，函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程，可见函数与方程之间可以相互转化。对于一般常规的方程可以直接求解，但是对于一些特殊的代数方程，超越方程，高次方程用一般的求解法难以奏效，因此要观察方程，通过移项，换元，配方等将方程与函数结合起来，把方程转化为函数的有关问题。

例 解方程（x+6）1999+x1999+2x+6=0

解：原方程可化为（x+6）1999+（x+6）=（-x）1999+（-x），利用等号两边的对称性，可构造函数f（t）=t1999+t，故方程转化为两边函数值相等f（x+6）=f（-x），根据f（x）在R上是递增函数，把函数值相等转化为自变量相等，即x+6=-x，可解得x=-3

函数是数学中主要的内容之一，是贯穿整个高中的一条主线，函数思想是最重要，最基本的数学思想之一，它的应用广泛，与其他的数学思想方法（如数形结合，分类讨论，化归转化等）存在着密切的联系，除了上述以外，还可以应用于其他的分支，如立体几何，最优问题等。所以在教学过程中，老师应有意识的向学生渗透一些函数思想，用函数思想看待问题，这样既可以让学生对函数的性质与应用有更深刻的理解，也可以激发学生学习数学的兴趣，激发数学的思维品质。解题时学生应仔细分析探究问题，注挖掘题目隐含的条件，构造出函数解析式然后运用函数思想去间接解决问题。

参考文献：

[1] 魏计青.函数思想在数列和方程中的应用[J].科技展望，2015，25（26）：217.

[2] 曹爱丽.函数思想在解题中的应用[J].教育教学论坛，2011（33）：91-93.

[3] 伍欣叶，张浩敏.函数思想在初等数学解题中的应用[J].科技传播，2010（20）：102-103.

[4] 安海龙.浅议数学思想方法在解析几何中的应用[J].成功（教育），2011（5）：82.

作者简介：

黄渝夏，四川省南充市，西华师范大学。