例谈数列通项公式的求法

摘 要：本文试图通过例题，阐述数列通项公式的一般求法。

关键词：公式；常数；系数；数列

1. 由数列前几项，通过观察归纳，猜想求出通项公式。

例1 ①已知数列{an}中，a1=2，当n≥2时，an=3an-1+2，写出这个数列的前5项，并求出通项an。

解：a1=2=3-1，a2=3a1+2=3×2+2=8=32-1

a3=3a2+2=26=33-1，a4=3a3+2=80=34-1

a5=3a4=3×80+2=242=35-1

……由此归纳，猜想，得an=3n-1。

②数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an+1=2anan+2，求an，

解：a1=1，a2=2a1a1+2=23，a3=2anan+2=12

a4=2a3a3+2=25，a5=2a4a4+2=

∴前5项为a1=1=22，a2=23，a3=12=24，a4=25，a5=13=26……由此可见an=2n+1

2. 由Sn或Sn与an关系，求an，利用an=S1（n=1）Sn-Sn-1（n≥2）

求出后要验证an是否满足a1。

例2 已知数列{an}中，Sn是它的前几项和，且Sn+1=4an+2，

a1=1，设bn=an+1-2an（n∈N*），求证{bn}是等比数列，并求出它的项公式。

解：∵Sn+1=4an+2

∴Sn+2=4an+1+2

∴an+2=Sn+2-Sn+1

=4an+1+2-（4an+2）

=4（an+1-an）

∴an+2-2an+1=2（an+1-2an）

又bn=an+1-2an

∴bn+1=an+2-2an+1=2（an+1-2an）=2bn

∴{bn}是2 为公比的等比数列。

a2=3a1+2=5

∵a1=1，b1=a2-2a1=3

∴bn=b1·qn-1=3·2n-1

3. 由递推公式（或归纳出递推公式），求项公式an。

常见递推公式有以下几种形式。

Ⅰ. 形如an=an-1+f（n）+p（p为常数，f（n）是关于n的表达式），常用累加法。

例3 已知数列{an}满足：a1=1 an=an-1+3n-1（n≥2）

①求a2，a3；②证明：an=3n-12

解：①an=1 a2=a1+32-1=4 a3=a2+33-1=13

②当n≥2时

an=an-1+3n-1

∴an-an-1=3n-1

an-1-an-2=3n-2

an-2-an-3=3n-3

……

a3-a2=32

a2-a1=3

两边相加，等：

an-a1=3+32+……+3n-1

=3（1-3n-1）1-3=32（3n-1-1）

∴an=123n-12=3n-12共（n-1）个等式

Ⅱ. 形如an=pan-1+q （p，q为常数且p≠0，q≠0）常转化成特殊数列（等比数列）具体做法是：

设：an+α=p（an-1+α）比较系数，及x=qp-1，而{an+α}是以（a1+α）为首项，p为公比的等比数列。

例4 设数列{an}中，已知a1=1，当n≥2时，an=3an-1+2，求an

解：当n≥2时an+α=3（an-1+α）2α=2α=1

∴有an+1=3（an-1+1）

an+1an-1+1（n≥2）

∴数列{an+1}是以a1+1=2为前项，3为公比的等比数列

∴an+1=2·3n-1an=2·3n-1-1

当n=1时a1=2·31-1=1

∴an=2·3n-1-1（n∈N*）

Ⅲ. 形如an+1=pan+qn（p≠0），转化成特殊数列。

例5 设a0为常数，且an=3n-1-2an-1（n∈N*）

证明对任意n≥1，an=15[3n+（-1）n-1·2n]+（-1）n·2na0.

证明：设an-α·3n=-2（an-1-α·3n-1）

则an=-2an-1+2α·3n-1+α·3n=-2an-1+5α·3n-1

与an=-2an-1+3n-1比较系数，得：α=15

∴有an-15·3n=-2an-1-153n-1

∴an-153n是以a1-153= a1-35为前项，-2为公比的等比数列。

∴an-153n=1-2a0-35·（-2）n-1（n∈N*）

即an=15[3n+（-1）n-1·2n]+（-1）n·2na0

例6 已知数列{an}满足an=9，an+1-3an=6·3n求其定项公式。

解：∵an+1-3an=6·3n

∴an+1=3an+6·3n

an+1=3an+2·3n+1

两边同除以3n+1为：

an+13n+1=an3n+2

∴an3n是以a13=3为前项，2为公差的等差数列

∴an3n=3+2（n-1）=2n+1

∴an=3n（2n+1）

Ⅳ. 形如anan-1=f（n），常用累乘法。

例7 设{an}是首项为1的正项数项，且（n+1）an+12-na2n+an+1·an=0 （n∈N*），求它的定项公式。

解：把等号左边看成一个二次三项式，因式分解為：

（an+1+an）[（n+1）a n+1-nan]=0

an>0 （n∈N*）

∴an+1+an>0

∴（n+1） a n+1-nan=0

即an+1=nn+1an

∴an=n-1n·a n-1

a n-1=n-2n-1·a n-2

a3=23a2

a2=12a1

两边相乘，得：an=1na1=1n

Ⅴ. 形为an+1=Pan+qran+s常用参数法转化成等比数列求解。

例8 设数列{an}满足a1=2，an+1=5an+42an+7，求{an}的通项公式。

解：由an+1=5an+42an+7得：

an+1+t5an+42an+7+t=（2t+5）an+7t+42an+7

∴an+1+t（2t+5）·an+7t+42t+52an+7

令t=7t+42t+5 得t=-1，2

an+1-1=3·an-12an+7①

an+1+2=9·an+22an+7②

①÷② 得 an+1-1an+1+2=13·an-1an+2

∴数列{an-1an+2}是以an-1an+2=14为首项，以13为公比的等比数列。

∴an+1-1an+1+2=14·13n-1

∴an=4·3n-1+24·3n-1-1

注：当q=0，P=S，变为形如an=pan-1ran+1+P，此时常用两边取例数的方法，变为：1an=rp+1an-1转化为等差数列。

作者简介：

郭守虎，安徽省滁州市，安徽省定远县第二中学。