趋势项误差的低频极限特征理论模型与处理方法研究

王乾勋， 闫 明， 杜志鹏， 张 玮， 李 营

(1. 沈阳工业大学 机械工程学院， 沈阳 100870； 2. 海军装备研究院， 北京 100161)

舰艇水下爆炸冲击强度通常通过对加速度信号转换而成的冲击响应谱表征[1]。加速度信号易受测量系统以及环境的因素的影响而产生复杂的误差[2]。实验数据中很小的误差经过积分后会被放大，对数据的真实性会产生巨大的影响，尤其这种误差存在于信号中较为广泛时域范围内[3-4]。趋势项误差就是这一类误差，它是指信号中周期大于记录长度的成分，一旦出现，会影响接下来的整个时域曲线,趋势项的存在，会使得信号在冲击响应谱低频段出现很大的误差，甚至完全失真[5]。

在舰艇抗冲击设计中，虽然有限元仿真法是一种重要途径，但是实船水下爆炸试验仍然是研究舰艇抗冲击能力最有效最直接的方法。为了从实验数据中得到更可靠的结果，诸多学者提出了各种修正数据的方法。李海广等提出利用正负冲击响应谱互相关系数为重构条件的自适应经验模式分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)漂移修正新方法；于大鹏等提出将冲击响应的冲量信息变化情况，作为舰艇船体结构与设备的冲击响应数据滤波截止频率的选取依据；Smallwood提出了使用在小阻尼和无阻尼情况下加速度冲击谱与位移冲击谱在低频处的衰减斜率分别为6 dB/oct与12 dB/oct；杜志鹏等[6]提出一种通过傅里叶变换法将设计谱与实测信号结合的方法，得到了同时包含设备安装部位冲击特性和标准设计谱冲击量值的冲击信号；Irvine等[7]总结了实验中产生趋势项的6种因素；Gaberson[8]强调在绘制冲击响应谱时要保证加速度、速度与位移曲线在冲击结束时刻归零，即保证冲击信号中无趋势项误差，才能使得响应谱在各频率呈现理论特征；Grillo[9]提出对冲击加速度信号积分获得速度信号，对速度信号使用最小二乘法拟合去除趋势项，最后微分获得处理后的加速度信号；胡玉梅等[10]采用低频衰减算法对加速度信号在频率内直接积分，并利用积分精度控制方程保证积分精度的方法去除趋势项；梁兵等[11]利用经验模态法处理非平稳信号中的加速度信号；李慧浩等[12]对小波变换法与EMD法在风电信号趋势项处理中进行了对比分析；吴志成等[13]提出了汽车车身垂向振动加速度实测信号用小波法消除趋势项时小波基的选择方法。

以上作者对趋势项误差的研究做出了重要贡献，但没有给出趋势项误差对冲击谱影响的作用机理。本文对残余冲击响应谱的计算公式进一步推导，建立了趋势项误差的低频极限特征理论模型，解释了趋势项引起冲击谱低频是真的原因。并结合舰船水下爆炸冲击信号的特点，对冲击数据处理方法的效果提出了合理的判据，并提出了一种双指数衰减的修正方法，最后给出了这种修正方法在实船爆炸试验数据处理中的应用实例。

1 趋势项误差的低频极限特征理论模型

1.1 四坐标伪速度冲击响应谱

冲击响应谱是由一系列具有不同固有频率的弹簧-质量振子(见图1)受到瞬时冲击作用后的最大响应值(位移响应、速度响应、加速度响应等)组成的。在舰艇冲击领域，冲击谱常用四对数坐标系来表示，如图2所示。理想的四坐标伪速度冲击响应谱类似三折线谱，在低频，曲线渐进于某一条与横坐标成+45°的直线，谱位移值不随频率降低而改变；在中高频阶段，谱线近似平行于横坐标，谱速度不随频率变化而变化；在高频，曲线渐进于某一条与横坐标成-45°的直线，谱加速度值不随频率升高而改变。存在趋势项误差的四坐标伪速度冲击响应谱，在低频不会出现与横坐标成+45°现渐近线，如图2中含有趋势项的曲线所示。

图1 冲击谱模型Fig.1 Shock spectrum model

图2 四坐标伪速度冲击响应谱Fig.2 Pseudo velocity shock response spectrum

1.2 趋势项误差的低频极限特征理论模型推导

冲击响应谱在低频处的数值，通常决定于残余冲击响应，残余冲击响应是指冲击输入结束后，系统自由振动的阶段的响应。根据文献[8]，单自由度质量-弹簧-阻尼系统的冲击响应可以由式(1)求得，其中等号右边前两项为初始条件，第三项为杜哈梅尔积分

(1)

(2)

假定系统为零输入响应，则根据式(1)可得

(3)

(4)

假设质量-弹簧系统的阻尼比为0，即：ξ=0，则式(2)～式(4)可简化为

(5)

(6)

(7)

式中：ωn为系统的固有频率。

根据三角函数运算，式(5)可以简化为

(8)

由式(8)可知，当sin(ωnt+φ)=±1时，残余冲击响应达到最大值，最大值为

(9)

运用分部积分法，对残余响应的初始相对速度值做进一步分析

(10)

(11)

式中：N=te/Δτ;Δτ为采样时间间隔，Δτ→0。

同样，对式(6)求ωn→0的极限

(12)

将式(10)和式(12)代入式(9)中

(13)

(14)

2 双指数趋势项修正方法

水下爆炸一般分为冲击波和气泡脉动两个过程，持续时间在几十毫秒～几百毫秒[14]，在采样长度足够的情况下，其冲击加速度、速度、位移时域曲线，在冲击结束后皆归零，此结论可以用来作为冲击信号修正合理性的判据。目前常用的趋势项处理方法，皆无法满足以上判据，且存在自身问题。例如，数字滤波法无法确定合理的截止频率，而且会过滤掉有用频率成分；最小二乘法需预先知道趋势项的阶数[15]；EMD经验模态法存在端点效应的问题，且无法确定其几阶imf分量中包含趋势项成分[16-17]。通过大量的数据分析，水下爆炸冲击信号的趋势项是一个缓慢衰减的误差成分，衰减规律近似于指数衰减，为此，设计了一种双指数修正方法，其函数如式(15)。延迟因子υ与衰减因子α两个系数控制修正量的峰值时刻和衰减速率。延迟因子υ前的指数修正函数用来避免修正带来的跳跃波动，延迟因子υ后的指数修正函数用来模拟趋势项的衰减过程。

(15)

式中：A1,A2,A3为待定常数；α为衰减因子，α>0；υ为延迟因子，0<υ

图3 修正方法流程图Fig.3 Flow chart of the correction method

3 双指数修正方法的应用实例

如图4所示(本节图中纵坐标数值只用来表示规律特征)，为实船水下爆炸试验测量获得的冲击加速度信号，及经过积分后获得的速度与位移曲线。由图4可知，通过加速度信号无法分辨数据中是否含有趋势项，但是速度与位移在信号结束后不归零，根据上文中所建立误差模型式(14)可知，信号中含有明显的趋势项特征。

图4 原始信号Fig.4 Origin signal

按照图3中设计方法的步骤，借助MATLAB软件中的Global Search优化指令，编写了计算程序，得到最优延迟因子为0.374 6，衰减因子为3.44×10-7，系数A1=-0.048 2，A2=-0.019 6，A3=6.02×104，修正量的时域曲线,如图5所示。

图5 修正量Fig.5 Correction of the method

原信号减掉修正量，得到修正后的冲击信号，如图6所示。经修正后的冲击加速度、速度与位移曲线在冲击结束时刻皆归零。

图6 修正后的信号Fig.6 Corrected signal

如图7所示，为信号修正前后两者用双对数坐标显示的位移冲击响应谱曲线。由图7可知，修正前的位移谱随着频率减小，数值增大，与式(14)所体现的特性吻合；修正后的信号位移冲击响应谱在低频处数值稳定，在0.1～10 Hz滚降率提高近38 dB/oct，在0.1 Hz处对位移冲击谱修正量接近20 dB。如图8所示，为信号修正前后对应的四坐标冲击响应谱，修正前后冲击响应谱对于不含趋势项的中高频几乎无影响，而对于低频的响应修正较大，并在低频出现明显的渐进线的特征。以上说明，此方法对于实船水下爆炸试验的冲击加速度信号的趋势项处理有效且合理。

图7 修正前与修正后对应的位移冲击谱Fig.7 Displacement shock response spectrum with and without trend items

图8 修正前与修正后对应的伪速度冲击响应谱Fig.8 Pseudo velocity shock response spectrum with and without trend items

4 结 论

(1)利用极限与分部积分的思想，推导了残余冲击谱的计算公式，最终得到趋势项误差的低频极限特征理论模型，解释了冲击加速度信号中的趋势项误差产生冲击谱低频失真的原因，即：趋势项会导致冲击信号的速度在冲击结束时刻不归零，使得谱位随频率趋于零而趋于无穷大，从而产生偏差。

(2)将加速度、速度、位移时域曲线在冲击结束时刻归零作为信号合理性的判据，设计了双指数修正方法；通过对实验数据的应用，表明该方法可以明显去除加速度中的趋势项，在0.1～10 Hz滚降率提高近38 dB/oct，在0.1 Hz处对位移冲击谱修正量接近20 dB，且对不包含趋势项误差的中高频段的冲击谱影响较小。

(3)此修正方法中，引用了自然常数为底数的指数函数，适用于速度信号中含有类似指数函数趋势项误差的舰船水下爆炸冲击加速度信号的修正，并且可以用于其他工程领域的信号处理。

参 考 文 献

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