危岩聚集体破坏振动方程研究

陈洪凯, 吴亚华, 王圣娟

(1.三峡大学 水利与环境工程学院，湖北 宜昌 443002; 2.重庆交通大学 岩土工程研究所，重庆 400074)

工程实践和研究表明，几乎所有高陡岩石边坡表面的危岩体均以聚集体形式存在，当其中任一危岩块破坏时都会产生激振效应，劣化相邻危岩块的稳定性，并可能导致危岩聚集体链式崩落[1-3]。对于危岩的破坏问题，陈洪凯等采用损伤力学方法建立了危岩主控结构面断裂损伤本构方程，采用断裂力学方法得到了主控结构面尖端断裂扩展方向岩石的联合断裂强度因子计算方法[4]，进而得到了主控结构面疲劳寿命计算方法[5]，并发现群发性危岩体崩落遵循链式规律[6]。针对危岩破坏激振效应问题，陈洪凯等通过室内模型试验，获得了激振信号小波分解系数时程变化曲线，发现危岩破坏激振信号局部信息存在周期性，分析了实验条件下危岩破坏激振信号的概率统计特征。针对危岩聚集体破坏振动所涉及的相关科学问题，崔宏环等以裂隙外侧危岩体的悬臂段为研究对象，建立并分析了基于平面坐标系统的含纵向裂隙危岩体的稳定性分析模型[7]；Unteregger等[8]依据塑性理论和损伤力学理论，提出了不同类型完整岩石的损伤塑性模型；Mohammad等[9]考虑损伤区的影响，得到了一种隧道周围岩体的应力和位移的完全解析解；Khazaei等[10]通过大量的岩石单轴压缩声发射实验，研究了声发射能和总耗能之间的关系，提出了基于断裂键的岩石损伤参数。

考虑到危岩聚集体中存在多组水平结构面和竖向结构面，在实际案例中，其崩塌源处各结构面组合可形成一个个垂直于临空面叠放的水平危岩棱柱体，据此可将其概化为水平桩模型考虑，国内外学者对桩的动力特性进行了较多研究，如程昀等[11]将桩体简化为一维黏弹性体，应用牛顿定律构造本构方程，在不同边界条件和初始条件下，利用分离变量法求出对应的响应波动方程；Berrones等[12]采用Winkler假设求得了端承桩在地震荷载作用下的动力响应解析式；Novak等[13]假定土层为黏弹性介质，桩头自由和桩底固定，采用与频率无关的阻尼方法，得到了桩侧面土阻力分布式和桩基动力响应关系式；Bhowmik等[14]通过数值分析和实验研究发现，桩的长度对振幅和谐振频率有很大影响，桩在周围土壤中的滑移很大程度上影响了土-桩基础系统的共振频率和振幅；Cerv等[15]推导出了弹性杆的纵向精确三维理论解，讨论了杆中的瞬态波现象，采用逆拉普拉斯变换得到杆振动时域内的半解析解。

本文运用特征展开法，求解危岩聚集体在危岩块破坏激振波作用下相邻危岩块中质点振动方程，据此求解危岩质点应力方程和振动速度方程，研究成果对于进一步开展群发性危岩破坏机理研究有积极意义。

1 危岩破坏振动力学模型

羊叉河岩石边坡表面的危岩聚集体，由岩层面与竖向裂纹组合而成，包括多个危岩体。水平层面基本处于贯通状态，而竖向裂纹几乎都存在未贯通段，如图1所示。图1中，虚线部分为内部嵌入在危岩母体内、外端水平突出的一列危岩体。由图1可知，此列危岩体与左右母岩在竖直方向上存在裂纹面。当最外侧危岩块(临空面下方起崩危岩块)崩落时，必然会在竖向裂纹未贯通段瞬间释放应变能，产生激振波并传到相邻危岩块，劣化相邻危岩块的稳定性甚至诱发群发性崩塌灾害。坠落式危岩聚集体中容易发生崩落的危岩块均发生在此类模型中。

图1 羊叉河岩石边坡危岩聚集体Fig.1 The perilous rock aggregate on rock slope of Yangcha river

提取危岩聚集体物理模型(见图2)，危岩体各层沿x方向有间隔分布的未贯通裂纹，将最下层裂纹的尖端连线，构成一个裂纹尖端面(图中深灰色区域)，尖端面以上部分为破裂区，尖端面以下部分为完整区，完整区为一个四面棱柱岩体。

从图2中选取危岩棱柱体作为研究对象(见图3)，外侧危岩块崩落过程中，裂纹扩展会释放系统内储存的变形能，这部分能量以激振波的形式释放出来，激振波可以等效为作用在主控结构面上的一个激振力F(t)，

图2 危岩聚集体物理模型Fig.2 The physical model of perilous rock aggregate

图3 危岩棱柱体Fig.3 Perilous rock prism

随时间变化，在裂纹贯穿的同时，激振力F(t)随之消失，但激振波仍存在，激振波向左侧岩体传播，并逐渐衰减至零。模型中，长为l的棱柱左端可简化为固定端，沿x轴正向为正，棱柱右侧的自由表面上有荷载F(t)。

对模型列半直线上的波动方程的混合方程为

(1)

2 方程求解

运用特征展开法求解方程，对式(1)作变换，为方便求解，引入函数v(x,t)和w(x,t)，令

u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)

(2)

当v(x,t)为齐次边界条件时，需满足

w(l,t)=0,wx(0,t)=ε

(3)

设w(x,t)=A(t)x+B(t)，将式(2)代入得到A，B两参数，解得

w(x,t)=εx

(4)

将式(4)代入式(2)得

u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)=v(x,t)+εx

(5)

则式(1)中各项可简化为

(6)

将式(6)代入式(1)得

(7)

按式(1)形式整理为

(8)

(9)

将式(9)代入式(8)得到二阶导数与函数本身的关系

(10)

由式(10)可知，如果Tn(t)，Xn(x)满足

(11)

则式(10)必然成立，且由式(9)给出的v(x,t)满足式(8)前两式，于是式(11)可改写为

(12)

式(12)左边只由x决定，右边只由t决定，所以两边均为常数，记为-λn，即

(13)

展开为分别关于x和t的两式

(14)

和

(15)

因为Xn(x)不为零，x项即确定非零解Xn(x)，是求特征值的问题。

当λ≤0时，方程分部积分得

(16)

当λ<0时，Xn(x)≡0，为零解；

因此，当λ≤0时，问题无非零解，即λ≤0不是特征值。

当λ>0时，常系数二阶线性齐次常微分方程为ay″+by′+cy=0，其对应的特征方程ak2+bk+c=0有两根k1，k2，当k=λ±iυ时，通解为

y(x)=eμx(C1cosμx+C2sinμx)

(17)

通解为

Xn(x)=C1cosβx+C2sinβx

(18)

则其导数为

(19)

将Xn(0)=0代入式(19)得C1β=0，又β≠0，可知C1=0

将式(8)和式(9)中的函数v(x,t)和-εx关于x按特征函数系Xn(x)=sinβnx展开得

(20)

由数理方程知识知

(21)

由分部积分得

(22)

化简式(22)，当

n=1时，

n=2时，

n=3时，

……

综上，由数学归纳法得

(23)

将上述展开式代入式(8)的方程和初始条件得

(24)

由特征函数系正交性得

(25)

同前，可得通解以及通解的导数为

(26)

式(26)中的通解化为

Tn(t)=cncosC0βnt,n=1, 2, …

(27)

将式(27)代入式(20)得质点振动位移为

(28)

将式(4)和式(28)代入式(2)得岩体质点振动方程为

(29)

由棱柱质点位移方程，可以得到质点的应力方程和振动速度方程

应力方程为式(30)

(30)

振动速度方程为式(31)

(31)

式中：变量同前。

3 方程验证

岩体质点振动方程的初始时刻，t=0，式(29)化为

(32)

验证模型上左右两端点，左端岩体内部，将x=0代入式(32)得

(33)

左端位移为0，符合实际情况。

右端自由端，将x=l代入式(32)得

(34)

由数学归纳法得

(35)

由数列通项求和公式知

(36)

则

(37)

表明右端符合模型的实际情况。

本方程求得初始状态左端固定端和右侧自由端质点位移均为零，与模型的真实状态一致。

4 模型试验验证

按模型进行实验，沿y方向只取一列危岩体，模型简图(见图4)，实体(见图5)。上部激振激振试件为M20砂浆砌筑，尺寸为0.9 m，0.3 m，0.3 m，从左向右0.7 m处预留一宽裂缝添加静态爆破剂，使裂缝开裂，左侧窄裂缝高度为0.15 m，即单层试件高度的一半，为研究水平层危岩体的振动情况，靠近起裂位置，在底层危岩体高度中心处沿激振波传播方向设置测点1和测

图4 试验模型设计(单位：m)Fig.4 Experimental model design(unit: m)

图5 试验模型Fig.5 Experimental model

点2，具体水平尺寸如图7所示。安装传感器，记录激振数据。当静态爆破剂起作用，最下层裂纹开裂，右端岩块崩落，崩落实况如图6所示。裂纹面上产生激振力，按图2考虑最下层棱柱体，按本文建立模型的方式，取裂纹下部完整体，右侧至静态爆破剂裂纹处，简化模型如图7所示。将此棱柱体模型作为研究对象验证上述方程。

图6 危岩块崩落瞬间Fig.6 The instant form at collapse of perilous rock block

从崩落岩块中制取试件，进行三轴实验，测得模型材料物理力学参数，如表1所示。

图7 模型底层完整棱柱体Fig.7 Model bottom complete prism

模型材料抗压强度/MPa抗拉强度/MPa重度/(kN·m-3)弹性模量×104/MPa泊松比砂浆试件15.810.7719.950.3020.18

在振动监测中，由于振动变化均发生在毫秒范围以内，传统的位移计与速度计的机械原理不能满足如此高频率的变化，并且在地震研究中更是以地震加速度作为衡量地震烈度的标准，故而试验选取加速度传感器作为数据采集仪器。加速度传感器内置压电式加速度感应计，可实时监测试件振动加速度的数据，配套的分析软件可通过内置的积分系统经过零点标定得到速度数据，再次积分与标定得到位移数据，在振动试验中应用性较高。实验最终得到两测点的位移时程曲线，如图8和图9所示。

图8 测点1x方向位移时程曲线Fig.8 Point 1 x direction displacement time history curve

图9 测点2x方向位移时程曲线Fig.9 Point 2 x direction displacement time history curve

再由本文推导的振动方程计算求解两点的振动数据。由于加速度传感器得到的数据为振动数据，不包含静力位移，因此我们按质点的振动位移式(28)提出的v(x,t)来验证。

由图8可知，质点从19 ms开始振动(起振点)，23 ms时达到第一个峰值，因此我们读取时间间隔t=4 ms，期间质点振动位移为u，将模型各个参数代入岩体质点振动方程得，C0=38.907，l=0.7 m，测点1x=0.6 m，测点2x=0.42 m。

则测点1在t时刻

(38)

令通项

(39)

Sanε=-0.636 9ε。

测点2在t时刻，

(40)

令通项

(41)

表2 测点1振动位移前n 项取值

表3 测点2振动位移前n 项取值

最后分析计算数据与实验数据之间的误差。

由于起崩危岩块断裂面上产生的激振力计算式F(t)未给出具体数据，此处分别算出由方程得到的两测点振动位移的比值和由实验得到的两测点振动位移的比值，比较两者的误差，则可验证方程的实用性，有

(42)

由x方向位移时程曲线图中读出

(43)

误差为

(44)

计算结果表明，理论解和实验数据基本相符，误差仅为6.12%，实验数据说明了方程模型的正确性，但由于模型简化了危岩母体对危岩聚集体的影响，因此对于此类坠落式危岩聚集体，本模型在一定程度上可反映工程实际中的激振问题。

在实际工程中，坠落式危岩聚集体中的易崩模型主要为竖向排列的棱柱危岩体，将起崩危岩块断裂面上产生的激振力计算式F(t)和危岩块的各材料参数代入式(29)，便可求得危岩体质点的具体振动数据。

5 结 论

(1)针对危岩聚集体工程实例，分析出坠落式危岩聚集体中的易崩模型主要为竖向叠放的一列水平棱柱体，将每层危岩体概化为危岩棱柱体，从“危岩聚集体中的危岩块在突发性破坏时必然释放应变能”这一客观实际出发，采用波动理论方法建立了危岩破坏振动力学模型。

(2)求解危岩聚集体破坏振动力学模型，得到危岩聚集体质点振动方程、位移方程、应力方程及振动速度方程。

(3)通过危岩破坏激振模型试验，验证了危岩破坏振动力学模型，发现理论解和实验值之间误差仅为6.12%。研究成果对于深入开展群发性危岩破坏机理研究有积极意义。

参 考 文 献

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