基于样本协方差矩阵谱分离特性的波达方向估计方法

郭 拓， 王英民， 张立琛

(西北工业大学 航海学院，西安 710072)

波达方向估计(Direction of Arrival，DOA)是雷达、声纳、通信、无源定位等阵列信号处理中的一个重要研究内容之一。阵列波达方向估计经过近几十年的发展，已经形成了两类技术，即基于波束形成的技术和基于子空间分解的技术。基于波束形成技术的典型方法有常规波束形成器(Conventional Beam Forming，CBF)和最小方差无畸变响应(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)波束形成器；多重信号分类(Multiple Signal Classification，MUSIC)算法是经典的子空间类方法[1]。上述DOA估计算法都需要估计基阵接收到数据的统计协方差矩阵，然而在实际数据处理中都以样本协方差矩阵代替统计协方差矩阵，在小快拍情况下估计出的统计协方差矩阵误差很大，将会导致传统DOA估计算法不能准确估计目标方位。

为了获得与统计协方差矩阵更加相近的样本协方差矩阵，通常情况下会对样本协方差矩阵进行修正，主要的修正方法包括：对角加载方法[2]，收缩因子方法[3]等，通过对样本协方差矩阵的特征值进行加权操作以改进其方位估计的分辨性能；前后向平均技术[4]，空间光滑技术[5]，通过移动窗口虚拟出更多的快拍以达到改进样本协方差矩阵估计的目的；伪随机噪声再采样技术[6-8]则是人为生成伪随机噪声信号加在接收到的信号上，从而对样本协方差样本协方差矩阵进行修正；而子空间泄漏分析方法[9]总共有两个步骤：①采用根MUSIC算法估计目标方位；②根据估计所得的目标方位修正样本协方差矩阵。

上述这些方法的思路都是设法改进样本协方差矩阵，以达到其与大快拍数时的样本协方差矩阵更加相近，而没有考虑样本协方差矩阵与快拍数的关系，以及不同快拍数时协方差矩阵本身所具有的不同特性。

本文将不沿着上文所述那样通过改进样本协方差矩阵来改进方位估计效果的思路，而是转换研究思路，研究不同快拍数时样本协方差矩阵本身具有的一些特性，比如谱的特性，具体的就是通过深入分析相干目标与独立目标的样本协方差矩阵在不同快拍下所具有的各异的谱分离(Spectral Separation)特性，提出一种基于小快拍条件下基于样本协方差矩阵谱分离特性的DOA估计方法。

1 阵列接收信号模型

如图1所示，水平线阵由N个阵元组成，假设有D个相互独立的平面波入射，阵列第k次快拍X(k)的输出如式(1)所示。

图1 阵列信号模型Fig.1 Array signal model

(1)

式中：X(k)=[x1(k),x2(k), …,xN(k)]T，A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θD)]；a(θi)=[1, ej2πd cos θi/λ, …, ej2π(N-1)dcos θi/λ]为第i个入射平面波的阵列流形；阵元间距为d，d为波长λ的一半；θi为第i个平面波入射方向与水平面的夹角；A(θ)为阵列流形矩阵；S(k)=[s1(k),s2(k), …,sD(k)]T,si(k)为第i个平面波信号的第k次快拍；其中T为转置运算。N(k)=[n1(k),n2(k), …,nN(k)]为阵列接收到的加性高斯白噪声。

当信号被假设具有零均值时，阵列接收信号的协方差矩R=E[X(k)·X(k)H]，即协方差矩阵需要通过求集总平均而得到。而实际应用中只能得到有限的采样数据，如有M次观测样本X1,X2，…，XM用这M个样本来估计样本协方差矩阵如式(2)，H为复共轭转置。

(2)

2 基于小快拍协方差矩阵的主特征空间波达方向估计方法

本节将首先深入分析当目标信号分别为相干信号与独立信号时样本协方差矩阵的谱分离特性，然后在此基础上提出样本协方差矩阵主特征空间的概念，最后提出基于小快拍的主特征空间波达方向估计方法。

2.1 相干信号样本协方差矩阵特征的谱分离特性分析

从子空间的角度来解释上述相干源情况下谱分离特性，就是在y较小时，样本协方差矩阵得到较好的估计，相干信号的信息全部集中在一个最大特征值所对应的子空间上；而在y较大时，如y为1此时阵元数等于快拍数，样本协方差矩阵没得到很好的估计，此时信号子空间发生了泄漏，使得最大特征值之前出现一些连续的较大特征值，但是总体而言相干信号的主要信息还是集中于最大特征值处。本文将这个最大特征值所对应的子空间称为主特征空间(Main Feature Space, MFS)，而不是MUSIC算法所假设的那样，即信号子空间就是s个信源所对应的s个较大特征值所构成的空间，通过我们上述对相干源情况下不同快拍数时谱分离特性的仿真与分析，对于相干源来说显然信号信息主要集中在主特征空间而不是MUSIC算法所使用的s个较大特征值所构成的空间，这就很好的解释了MUSIC算法对相干目标DOA估计时为何失效。

(a) 相干源谱分离性

(b) 相干源谱分离性局部放大图2 相干源谱分离性分析Fig.2 Analysis of spectra separation for coherent sources

2.2 独立信号样本协方差矩阵特征的谱分离特性分析

图3 独立源的谱分离性Fig.3 Spetral separation of independent source

由“2.1”节分析可知，对于相干源，主特征空间中总是有个信源的信息，只是在快拍数小时，主特征空间中有一定信号信息泄漏入非主特征空间中，做DOA估计时会导致旁瓣会比快拍数大时的高。

对于独立源，在小快拍情况下，主特征空间中会有所有目标信源的信息；快拍数大时，主特征空间中会完全不存在一部分源的信息，导致DOA估计中没有这些目标。

总之不管是相干源还是独立源，小快拍时主特征空间中包含所有信号的信息(这里的小快拍是指快拍数与阵元数相当，具体是指快拍数是阵元数的2倍以下，即y>0.5的情况)，所以可以利用小快拍时样本协方差矩阵的主特征空间进行方位估计。下文将根据上述分析的谱分离特性提出基于主特征空间的DOA估计方法。

2.3 基于主特征空间的DOA估计方法

(3)

(4)

根据子空间理论，信号子空间与噪声子空间正交，且导向向量张成的空间与信号子空间张成的空间是同一空间，即Ena(θ)=0，Esa(θ)，其中En为噪声子空间，Es为信号子空间。

主特征空间中包含的主要是信号信息，即主特征子空间Emain中主要是Es中的信息。根据分析，在小快拍情况下，不管是相干源还是独立源，主特征空间中都包括所有信号的信息。这样，根据导向向量与信号子空间形成的是同一空间，则Emaina(θ)→1。在极限情形下如果噪声子空间En的信息没有泄漏入Emain，则Emaina(θ)=1，那么arccos(Emaina(θ))=0。因此利用导向向量与信号子空间形成的是同一空间这一特性，定义arccos(Emaina(θ))的倒数为主特征空间方法的DOA估计幅度，且使用Emain与a(θ)的l1范数来归一化，即

(5)

3 仿真实验

3.1 相干信号DOA估计

由于在水池实验中阵元数有限采用了被动合成孔径技术进行了孔径扩展，在仿真中采用被动合成孔径算法ETAM[14](Extended Towed Array Measurements)。仿真采用一个半波长分布的6元均匀线阵，阵列运动速度为0.07 m/s，入射的信号为4个远场窄带信号，频率为6.25 kHz，采样频率50 kHz，4个信号的入射角分别为-20°，-10°，0°，10°，信噪比SNR皆为0，参考声速为1 500 m/s，噪声为复高斯白噪声，快拍数分别取30、12 000，ETAM算法经过8次合成，合成24个虚拟阵元，加6个物理阵元，则总线阵为30个阵元。

合成孔径后30元阵取30个快拍和12 000个快拍时，所提出算法给出的目标DOA估计对比，如图4所示。由图4可知，无论快拍数大小，主特征空间方法都可以分辨出相干目标，只是在大快拍情况下旁瓣会低一些。图5给出使用相同的数据，采用MUSIC算法获得的目标DOA估计。由图5可知，MUSIC算法在小快拍情况下，会出现伪目标，不能正确分辨目标。比较可知，本文提出的方法可以在小快拍情况下，对相干目标

图4 相干源主特征空间DOA估计Fig.4 DOA of coherent source with main feature space

图5 相干源MUSIC算法DOA估计Fig.5 DOA of coherent source with MUSIC

进行很好的分辨，且不需要像MUSIC算法那样需预先拥有目标个数的先验信息，这是相干源时，样本协方差矩阵的谱分离特性带来的好处，即信号信息全部集中于主特征空间，只有很少的信号泄漏于非主特征空间中。

3.2 独立信号DOA估计

本节仿真条件与“3.1”节相同，快拍数分别取30， 12 000，使用ETAM算法经过8次合成，合成24个虚拟阵元，加6个物理阵元，则总线阵为30个阵元，信号源改为独立源，频率为6.24 kHz，6.245 kHz，6.25 kHz和6.254 kHz ，入射角还是-20°，-10°，0°，10°。主特征空间方法DOA估计，如图6所示。

由图6可知，当目标为独立信源，小快拍(30快拍)情况下，主特征空间方法可以很好的估计出目标方位；而在大快拍(12 000快拍)情况下，会发现不能正确分辨出所有目标，有一个目标(0°方向的目标)没能估计出。此仿真验证了“2.2”节所分析的结论，即小快拍时，主特征空间中会有所有目标信源的信息，大快拍时，主特征空间中会完全不存在某些源的信息，导致DOA估计中没有得到这些目标的方位。图7为与图6使用相同数据情况下，MUSIC算法在不同快拍情形下的DOA估计，发现与图6的情况恰好相反，是在小快拍(30快拍)时不能准确估计出4个目标方位，而在多快拍时能准确估计出目标方位。

图6 独立源主特征空间DOA估计Fig.6 DOA of independent source with main feature space

图7 独立源MUSIC算法DOA估计Fig.7 DOA of independent source with MUSIC

4 水池验证

为了验证本文所提算法，在消声水池(长20 m,宽8 m,深7 m，6面消声)进行了相关实验。由于可用阵元数有限，故使用合成孔径方法进行孔径的扩展，然后进行DOA估计。

实验采用由6个水听器组成的均匀线阵，设计频率为6.25 kHz，水平布放于水下2.5 m深处，阵元间距为半波长0.12 m，阵列匀速运动速度为0.07 m/s，采用电机匀速拉动。相干源时，3个发射源发射频率皆为6.25 kHz的连续CW(单频)信号；独立源时，3个源频率分别为6.24 kHz，6.25 kHz和6.254 kHz；与接收阵在同一深度，3个源按远场条件布放，与阵形成的角度分别为24°，33°，44° ；采样频率为50 kHz；参考声速为1 500 m/s。ETAM算法合成6次，得到18个虚拟阵元，加6个物理阵元，共得到24个阵元，快拍数分别取24,12 000。实验系统如图8所示。

图8 水池实验系统Fig.8 Tank experiment system

4.1 相干信号DOA估计

图9为水池实验对相干信号使用主特征空间DOA估计的结果，正如“2.1”节相干信号样本协方差矩阵谱分离特性的分析以及“3.1”节仿真验证，无论快拍数大小，主特征空间方法都可以分辨出相干目标，只是在大快拍情况下旁瓣会低一些，图10中快拍数为12 000时比24个快拍时DOA估计旁瓣低。图10为水池实验对相干信号使用MUSIC算法DOA估计的结果，由图10可知，在小快拍情况下，MUSIC算法有伪目标出现；在大快拍情况下，才可以勉强分开相干目标。

图9 水池实验相干源主特征空间DOA估计Fig.9 Tank experiment DOA of coherent source with main feature space

图10 水池实验相干源MUSIC算法DOA估计Fig.10 Tank experiment DOA of coherent source with MUSIC

4.2 独立信号DOA估计

水池实验采用主特征方法对独立信号DOA估计结果，从图11可知，在小快拍情况下，3个目标都可以分辨开，这是由于在小快拍情况下主特征空间拥有所有目标信号的信息；而在大快拍情况下，主特征空间信号信息泄漏，从图11虚线可知，3个目标有2个已很难分辨出。这与“2.2”节及“3.2”节仿真结论一致，进一步验证了“2.2”节分析的结果。

图11 水池实验独立源主特征空间DOA估计Fig.11 Tank experiment DOA of independent source with main feature space

5 海试验证

海试数据采用1993-10-26/10-27，SACLANT研究中心在意大利西海岸北厄尔巴岛附近进行2天海试的数据，海况等级为2～3级，该实验使用的接收阵是48元的均匀线阵，采样频率1 kHz。参照文献[15]，在335 Hz处有2个目标，本文对时域信号分段，每1 000数据点做为一个快拍，傅里叶变换后，取335 Hz处的数据构造样本协方差矩阵。

图12为使用本文提出方法得到的目标DOA估计，使用了48个快拍(快拍数等于阵元数)，与Qian等获得的目标方位结果一致，即准确估计出目标的方位。图13为与图12使用相同的样本协方差矩阵，通过MUSIC算法DOA估计所得到的结果，由图13可以发现其分辨出3个目标，出现了伪目标，无法准确得到目标方位。

图12 海试主特征空间DOA估计Fig.12 Sea trial DOA with main feature space

图13 海试MUSIC算法DOA估计Fig.13 Sea trial DOA with MUSIC

6 结 论

本文针对MUSIC算法对相干目标分辨的失效以及在小快拍情况下传统波达方向估计方法目标分辨能力的下降，通过分析相干目标与独立目标的样本协方差矩阵的谱分离特性，提出了基于主特征空间的波达方向估计方法。

(1)该方法在深入分析相干目标与独立目标信号信息在特征空间分布的基础上，发现在小快拍情况下，目标信息主要分布在样本协方差矩阵的最大特征值及所对应的特征向量上，将其定义为主特征空间；利用导向向量与噪声子空间正交，导向向量张成的空间与信号子空间为同一空间，定义了基于MFS的目标方位估计方法。

(2)通过仿真、水池实验以及海试数据验证表明，对于相干目标，不管快拍数大小，本文方法都可以实现目标方位的准确分辨，只是快拍数较大时旁瓣较低，弥补了MUSIC算法对相干目标方位估计性能下降的缺陷，且不需要先验信息信源个数；对于独立目标，在小快拍条件下也可以准确分辨目标，改善了在小快拍情况下，样本协方差矩阵估计误差导致的传统DOA估计方法无法准确估计目标，甚至出现伪目标的情况。总之，本文所提方法在不需要信源个数等先验信息情况下，使用小快拍样本协方差矩阵，就能实现相干目标与独立目标的估计，将会在UUV(Unmanned Underwater Vehicle)、鱼雷等水下目标方位估计的小快拍应用场景中有广阔的前景。

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