一个与耦合Harry-Dym型方程相关的谱问题及其可积性
2018-06-28，
，
(1.河北工业大学 理学院， 天津 300401；2.石家庄铁道大学 数理系，河北 石家庄 050043)
0 引言
可积系统已经成为当代非线性科学的重要研究方向。Lax对非线性化方法将无穷维可积系统约束为有限维可积系统，并被广泛用于求解非线性发展方程[1]。首先研究一个新的二阶特征值问题并得到其相对应的发展方程族，其次利用Lax对非线性化方法获得有限维Hamilton系统，并证明此系统在Liouville意义下的完全可积，最后求解出相应的发展方程族在有限维空间上解的对合表示。
1 谱问题与发展方程族的Lax表示
讨论二阶线性谱问题
Lφ=φxx+λ3uφ+λ2vφ+λwφ=αφx
(1)
式中，u=u(x,t),v=v(x,t),w=w(x,t)为位势函数；α为常数；特征参数λ∈R；φ=φ(x,t)为特征函数。
在基础空间Ω=(-∞,+∞)上讨论谱问题(1)，假设位势函数u,v,w及其关于x的各阶导数为无穷远速降函数。
命题1下列二阶谱问题构成完整谱系[2]
(2)
设谱问题(1)的辅谱问题为φtm=wmφ，其中
(3)
令，gj=(bj,bj+1,bj+2)T，j=-1,0,1,…,m,则由相容性条件φxxt=φtxx，得出如下递推关系：Kgj=Jgj+1,j=-1,0,1,2,…,其中
定理1在等谱条件下，非线性发展方程族为
(4)
对应的Lax对为
(5)
2 Bargmann系统与Hamilton正则系统
设谱系(2)的N个不同的特征值λ1<λ2<…<λN,Φj,Ψj为对应于λj(j=1,2,…,N)的特征函数，令Λ=diag(λ1,λ2,…,λN),Φ=(Φ1,Φ2,…,ΦN)T,Ψ=(Ψ1,Ψ2,…,ΨN)T。
作Bargmann约束,令g1=(〈ΛΦ,Ψ〉,〈Λ2Φ,Ψ〉,〈Λ3Φ,Ψ〉)得
u=〈ΛΦ,Ψ〉-2,v=-2〈Λ2Φ,Ψ〉〈ΛΦ,Ψ〉3,w=3〈Λ2Φ,Ψ〉2〈ΛΦ,Ψ〉-4-2〈Λ3Φ,Ψ〉〈ΛΦ,Ψ〉-3。
由此谱系(2)等价如下的Bargmann系统
构造Jacobi-Ostrogradsky坐标如下
(7)
在此坐标系下，Bargmann约束化为
(8)
由此Bargmann系统(6)等价于如下Hamilton正则系统
(9)
此时
(10)
3 Hamilton系统的完全可积性
在Jacobi-Ostrogradsky坐标(7)和Bargmann约束(8)下, 应用非线性化方法[2-3]，发展方程族的Lax对(5)可表示为矩阵形式
(11)
其中
(12)
定理3在Bargmann约束条件(8)下，发展方程族的Lax对(5)等价于如下Hamilton正则方程[5]
(13)
其中Hamilton函数h为式(10)，hm为
hm= 〈Λy1,z2〉-2〈Λ2y1,z2〉〈Λm+2y1,z2〉+〈Λy1,z2〉-2〈Λ3y1,z2〉〈Λm+1y1,z2〉-
〈Λy1,z2〉-1〈Λm+3y1,z2〉-〈Λy1,z2〉-3〈Λ2y1,z2〉2〈Λm+1y1,z2〉+
令
定理4:
(1)
(14)
由Arnold定理，Hamilton系统(13)是完全可积系，且Hamilton相流可换。
定理6设(y1,y2,z1,z2)满足Hamilton系统(13)，则式(8)为非线性发展方程族(4)的对合解。
4 结论
对所给定的二阶谱问题，由相容性条件得到了一个耦合Harry-Dym型发展方程族，通过Bargmann约束条件，最终获得一个新的Liouville意义下的完全可积Hamilton正则系统。
参 考 文 献
[1]谷超豪，曹策问，李翊神,等．孤立子理论与应用[M]．杭州：浙江科学技术出版社,1990．
[2]Gu Zhuquan. The Neumann system for the 3rd-order eigenvalue problem related to the Boussinesq equation[J]. IL Nuovo Cimento, 2002,117(6):615-631.
[3]曹策问，耿献国. Bargmann系统与耦合Harry-Dym方程解的对合表示[J].数学学报,1992, 35(3):314-322.
[4]刘亚峰，刘炜.一类新的2+1维非线性发展方程及其解的对合表示[J]. 石家庄铁道大学学报：自然科学版, 2014, 27(1):107-110.
[5]Gu Zhuquan，Zhang Junxian，Liu Wei. Two new completely integrable systems related to the Kdv equation hierarchy[J].IL NUOVO CIMENTO,2008,123(5):605-622.
