数列前n项和的求法

吴佩信

对于等差（比）数列可利用求和公式直接求和，对于有些数列也可以用归纳法求和。此外，对于非等差（比）数列可以考虑应用以下方法求前项和。

一、分组求和法

当数列的每一项都能分成n个部分的和，并且相应部分所形成的数列是等差（比）数列时，可用此方法求解。

【例题1】已知数列满足，求其前项n和

【解答】

【变式1】已知数列满足，求其前项n和.

【解答】

二、裂项相消法

数列的每一项都是分数，其中分子是常数，分母是若干个“间隔”相等的“连续”整数的和，此时可考虑用此方法。

【例题2】已知数列满足，求其前项n和.

【解答】

【变式2】已知数列满足求其前项n和.

【解答】

三、错位相减法

数列为等差数列，数列为等比数列，当求数列的前项n和时，可应用此法求解。

【例题3】已知数列满足，求其前项n和.

【解答】

两式相减，得

【变式3】已知数列满足，求其前项n和.

【解答】略

四、并项求和法

数列的奇数项和偶数项并在一起构成特殊数列时，可以考虑应用此法。

【例题4】数列前项n和满足

【解答】

【变式4】求值：

【解答】略

五、叠加法

对于一些特殊的数列（自然数的若干次方构成的数列）应用此方法较简便。

【例题5】已知数列满足，求其前n项和。

【解答】显然有

令上面式中

得n个式子，然后相加得：

应用此种方法可以求得数列的前n项和。

六、通项公式与其前项n和的关系

【例题6】已知下面各数列的前n项和的公式。

（1）；（2）

求的通项公式.

【解答】（1）当n=1时，；

当时，

即

当时，上式也成立，故通项公式为

（2）当n=1时，；

当时，

即

当n=1时，上式不成立，故通项公式为

七、构造法

当给出了数列的前n项和的递推关系式，可以考虑将构造成一个新数列，利用求通项的方法求出。

【例题7】设数列的前n项和为，且满足求数列前n项和.

【解答】

數列是以2为首项和公比的等比数列，故